复合函数的定义域和解析式

1、复合函数的定义域和解析式1、复合函数的定义设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数，求若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域例2（课时练 2 例1）若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而

2、成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0， 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是1，）例3已知函数定义域是（a,b），求的定义域解：由题， 当，即时，不表示函数；当，即时，

3、表示函数，其定义域为说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。2求有关复合函数的解析式例4已知 求；已知 ，求例5已知 ，求； 已知，求点评：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再

4、把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。例6已知是一次函数，满足，求；已知，求点评： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。三、课堂练习：已知，求和解：令，设，令，设，已知，求分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。Key:；注：。四、课堂小结

5、：复合函数的定义；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法五、附录：求函数的定义域的主要依据有： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当

6、为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。例说函数值域求法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由

7、定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1 求函数y=的值域 解：x0，0显然函数的值域是：（ -，0）（0，+）。 例2 求函数y=3-的值域。 解： 0 - 0 3- 3故函数的值域是：-，3 2、配方

8、法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。 解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x-1，2，由二次函数的性质可知：当x=1时，y =4当x=-1，时=8故函数的值域是：4，8 3、判别式法例4 求函数y=的值域。解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0（1）当y1时，xR,=(-1)-4(y-1)(y-1)0解得：y（2）当y=1，时，x=0,而1,故函数的值域为， 例5 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1） xR，=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-

9、x）0，得：0x2。由0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6 求函数y=值域。 解：由原函数式可得：x=则其

10、反函数为：y=其定义域为：x故所求函数的值域为：（-，） 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7 求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例8 求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+）=3y 即 sinx（x+）= xR，sinx（x+）-1，1。即-11解得：-y 故函数的值域为-，。6、函数单调性法例9 求函数y= （2x10）的值域解：令y=，=，则 y ，在2，10上都是增函数。所以y= y +在2，10上是增函数。当x

11、=2时，y =+=，当x=10时，= +=33。故所求函数的值域为：，33。例10 求函数y=-的值域。解：原函数可化为： y=令y =，= ，显然y，在1，+）上为无上界的增函数，所以y= y +在1，+）上也为无上界的增函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。显然y0，故原函数的值域为(0,。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11 求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t0）则x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可

12、知当t=0时，y=1，当t0时，y+。 故函数的值域为1，+）。例12 求函数y=x+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin（+/4）+10，0+/45/4 -sin（+/4）1 0sin（+/4）+11+。 故所求函数的值域为0，1+。 例13 求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=- 可令x=tg，则有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时，=。当=k/2+/8时，y=-而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-，。 例14 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x-/12/

13、2的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1） y=（-1）+t+1=由t=sinx+cosx=sin（x+/4）且x-/12，/2可得：t 当t=时，=+，当t=时，y=+ 故所求函数的值域为+，+。例15 求函数y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x故可令x=cos，0， y=cos+4+sin=sin（+/4）+40， /4+/45/4 当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线

14、斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16 求函数y=+的值域。 解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+）例17 求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=AB=， 故所求函数的值域为，+）。 例

15、18 求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP¹-BP¹AB= 即：-y （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有 AP-BP=AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：（-，-。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

16、如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。 9 、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 10、多种方法综合运用例21 求函数y=的值域解：令t= （t0），则x+3=+1（1） 当t0时，y=， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号所以0y。（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：0，。注：先换元，后用不等式法。 例 22 求函数y=的值域。 解：y=+=+令x=tg，则=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+当sin=时，=。当sin=-1时，y=-