六年级+分数裂项

1、本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。知识点拨分数裂项.裂项分为分数裂项和整一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间

2、具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分， 让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 ,形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b,a b,111 1那么有(1 1)a b baa b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:1n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2) (n一形式的，我们有: 3)11 r11i n (n1)(n 2)2 n(n1) (n1)(n2)1111_ n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1

3、) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是 x(x为任意自然数)的，但是只要将提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式：2222/、ab a b 11,、ab a b a b(1) - - (2)abababbaa b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还

4、有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。蒯1比例题精讲例1 ，j1 2 2【题型】计算【考点】分数裂项【关键词】美国长岛,一 一， 1【解析】原式 一1小学数学竞赛提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为:561111 一 一 ，、,，计算过程就要变为:1 3 3 5 5 7 7 9E1巩固10 11【考点】分数裂项111 12159 60【难度】 一， 11【解析】原式(一一)(10 1111 1259 60【题型】计算11110 60 12【答案】一122【巩固】10 9 9【考点】分数裂项【解析】原式例2 7151r-2【考点】分数裂项28Ill1025【难度】3星【题型】计算112

5、3 10【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”715问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的11代入有7 川八x1(1 1) 11(1 2) 222原式2223100 101(1工)200 101101但10199【答案】1坦 101【例3】1 3【考点】分数裂项III99 101【难度】2星【题型】计算11 350101III199 101(1319950101计算:25【考点】分数裂项【关键词】2009原式年，:1252III23 25【难度】2星【题型】计算迎春杯，初赛，六年级1

6、23125125 -212525224 c1225122514 8【考点】分数裂项2518 122511216III251251【关键词】2008年,【解析】原式25116台湾,11 22000 2004【难度】2星小学数学竞赛，初赛六六日藐200415012008【题型】计算1501 502-21【答案】1521 32251162511111112 2501 501502323 3 42115325015021635 7【巩固】计算：2 5【考点】分数裂项【解析】原式例4 计算:(8124148【考点】分数裂项【关键词】2008年,101原式(2 41 J28491 17 11 11 16【

7、难度】3星11117 11 111180 120中学1461 116 2222 29 29 【题型】计算1111161168【难度】2星168122 4 4 6111 ) 642 18428916 22 22 29 29 2III12241)128288【题型】计算)128)12816 181111116 12 20 30 42 56 72 90【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级根据裂项性质进行拆分为:111111116 12 2030 42 56721901109 9 103【考点】分数裂项【关键词】2008【解析】原式101521 2

8、8【难度】6年级,【题型】计算121 2322HI233 4111 11223 34年，第112127 81 2 311 -76届，走美杯,1117284一 ，-1【巩固】计算：-2【考点】分数裂项111111112 20 30 42 5672 90【题型】计算【关键词】2006年，第届，走美杯,6年级,伏焚【解析】原式2(108 8 9 9 10110)III110104088154238【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算原式例5 1111 1414 171111141417173434计算:【考点】分数裂项【关键词】2005例6 年，第一 ,1原式 -4100400312048045

9、74.51810届,0.11133.75 3.23【考点】分数裂项华杯赛,2003【关键词】2007年，仁华学校15200535III20012003 2005【题型】计算III10040031204804563【难度】3星2001 2003 2003【题型】计算200579 16 1【解析】原式18 2902336计算:113-37413134624121.250.82336111226o 1，134 -1220III2042021011 11【题型】计算【关键词】第五届,小数报,初赛原式 1I 201220III420210210210212 3 :2102021III201212021【

10、考点】分数裂项12012=2701_ _ 1_1_1【巩固】计算：2008 2009 2010 2011一1854108180【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式 2008 2009 2010 2011 201219 121_12 15 15 1812010 5 一9111112 2 31005054E ，“1【巩固l计算：2【考点】分数裂项【解析】原式10050541 _2 _2_ A6 15 35 77一【难度】2星【题型】计算1 32 5375 11 72615357711111111122335577 1110【巩固】计算:1 23 15【考点】分数裂项35 63 99

11、【难度】11143 1953星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为:2322121 3, 15 42 1 3 5,2195 142所以原式1 13115 ,135131515III1T1219113111 11 13115113 15127151_15715计算:11121920【考点】分数裂项29幽309702【难度】3星9899 .9900【题型】计算【关键词】2008年，四中原式 1例8 99999998110098 100【考点】分数裂项【解析】首先分析出原式3535 【答案】2161212III9900III19910011001100III【题型】计算

12、1441441 2 42 3 4【巩固】计算:III【考点】分数裂项【解析】原式198 99 1003星11【答案】2494919800【巩固】计算:【考点】分数裂项1(r2232334 3411 4949 4949)99 1002 9900 19800III【题型】计算春 9940)120 22 24【难度】3星【题型】计算101101【解 析 原式= - + + + + + + 1 3 53 5 719 21 23 2 4 620 22 2411121 23)+ 4(2-4122 24)40652816010465=1=14832112340032 34003238625 =3400323

13、86253400324493 95 97 95 97 99【考点】分数裂项 ,1【解析】(1 3【难度】3星111一 一)(3 5 5 793 95【题型】计算11) (95 9795 9797 9911 332009603197 9932009603巩固34上力 1123 234 34599 100 101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算99100 110011001【斛析】 =-=一1 2 31 2 31 2 32 31 2 32 398100 210021001=-=-2 3 42 3 42 3 42 3 42 3 43 497100 310031001=-=-3 4 53 4

14、53 4 53 4 53 4 54 51100 9910099100199 100 10199 100 10199 100 10199 100 10199 100 101100 101原式1001001001 2 3 2 3 4 3 4 5100( 199 100 101 (2 3100 101100110100) (21101)24511111【例9 1112 3 4【考点】分数裂项一 一， 1【解析】原式-36 7 8 9 78【题型】计算III9 108 9 1018 9 101192160119【答案】一2160_ 3巩固3_1 2 3【考点】分数裂项317 18 193星111【解析

15、】原式3 -(3 123 234 23420【题型】计算111 2 31139【答案】U3968403 19 20 118 19 2018 19 203 4 51139684017 18 19 18 19 20)【例10】计算:【考点】分数裂项2-ri HI 8-r【难度】3星【题型】计算17【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,这一公差为2的等差数歹U（该数列的第n个数恰好为n的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和

16、再进行计算.3 23 43 161 2 3 2 3 48 9 101113 -212 2 31 2 9 101 -122 9012 31224 HI8 9 9 10III1 19 102人六日941 12 10714 60 52315也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n 3,所以 2 3, 再将每一项的 2 上nn1n 2 n 1n 2n n1n2n 1 n 23分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.n n 1 n 2.23【答案】23155【巩固】计算：1155 （III19)【考点】分数裂项【难度】3星8 9 10 9 10 11【题型】计算【关

17、键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:III178 9 10 9 10 11于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.观察可知5 2 3,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以17198 9 10 9 109 1011III 9110inin111III11所以原式1155（法二）10 1110112 103 1135 651 -10 11111HI 911III1118 10 931333355上面的方法是最直观的转化方法，但

18、不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列,通项公式为a nd,其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将变成两个分数，接下来就可以裂项了.11而等差数列的a与nd分开，每一项都1719in8 9 101 8 29 10 111 9 28 9 10 9 10 115 HI 810III8 9 109 10115 HI1011119 1010114112220所以原式11312203155，8 9 10 910 119 29 10 119 1010 115 HI10 111155 一 55本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:17198 9 10 910 11III17III199 109 1

19、010 11151197119 1711917 62 222 33 4224 5229 10210 115111.11912 2- 34 459 10 万 10 115111931 12 3 10 220 5531所以原式 1155 651.55（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:2n 1n(n 1)(n 2)n 2, 3,9)1如果将分子2n 1分成2n和1 ,就是上面的法二；如果将分子分成n和n 1 ,就是上面的法【答案】651【巩固】计算:312 4 5251 f HI 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中

20、如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积， 所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即:原式3242521 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 710- 10 11 12 13 14现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式： 32 1 5 4 , 42 264, 52 3原式2234123452345615426412345234561112 3 4 3 4 5 4 5 6523 4 5 6 73 7 43 4 5 6 7|111 12 13HI7 412210 11 12 13 1410 14 410

21、11 12 13 144441 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7410 11 12 13 141111233434451111 12 12 136162 HI【难度】4星9【解析】原式1 二34 |i| 92 23 234 23452 3 4“| 102 1 3 14 110 1223 23 42 34川 10 11。I 12 2 2 3 2 3 2 3 42 3 4 9 2 3 4| 9 101362879913628800一12例12 _212 12 3【考点】分数裂项 一， 1【解析】原式1 211-213 1 21 21 -2312 3 4【难度】I 4 151

22、2 3 4 5 6【题型】计算6 112 3 4【巩固】计算:【考点】分数裂项原式【例13 1 2 3 4 5 6 750395040 504031 4! hi 1! 一【难度】4星III7 15-6 1 2 3 4 5 6 71【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了.239911 2 3 UI 1001，2 100!11 21而！21 (1 2)(1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)III(12 350| 49) (1 250)【考点】分数裂项一 一， 2【解析】原式=-1 3=(1【难度】3星+旦+上+3十

23、一3 66 1010 151274【答案】127412751 (1 2)【考点】分数裂项3(1 2) (1 2 3)(1 2 3)【难度】3星31 (1 2)1 1 2 (1 2) (1 2 3)【题型】计算501225 1275110)+(1 、1274)=1225 127512754 in 100(1 2 3 4)(1 2 99) (1 2100)【题型】计算1112 12 3,10011(1 2原式1| 99) (1 2 | 100) 12 III 99E，所以1 2|10011， 50505049【答案】50竺50502 I50495050100-2【巩固】1 1 (12)(12) (

24、1 2 3) HI(12 3【考点】分数裂项【解析】原式10III 9) (1 2 3 m 10)【题型】计算313155331310110III10 .45 55145155-1【答案】55【例14 132 1152 1【考点】分数裂项【关键词】仁华学校155192 1【难度】1_ 112 13星1132【题型】计算这题是利用平方差公式进行裂项:(23144114)14 61638)1_10计算:(122)【考点】分数裂项122(1原式2549计算:14(132) (1b22)23(1123222)5222 3【考点】分数裂项2【解析】原式之2122(六110-2) (14【难度】3星124

25、84932，5049732 4211252)(a1b)10112III12)114)(11_3212III【难度】3星22223- 4-22 3232 42(150493)25497215一8228722782(a b),(12 14)12112) (12)482492【题型】计算所以,【题型】计算1213211【答案】6364【巩固】计算:【考点】分数裂项【解析】1 221晨1W636432 1522572 172 1【难度】2III萼19933星219951219951【题型】计算原式 19979979979979971996计算:12【考点】分数裂项1232221可见原式4751198

26、495032252272 1III219952 1IIIIII1994 199611996224232 110322,22324为2 98196196196高997997 199622衿III【难度】3星2324751198495012计算：1 3【考点】分数裂项20一,84一11I 332-24242121521 4 “1199622981009923415Ill1【题型】计算10 44,由于 1 2,33299III4为198 100|(- 9 98 10020844 34 c 42- , - 2一,815151219919911009900-222.233 5 5 7III50299 1

27、013星【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22_222 1, 421, 621, 所以可以先将原式乘以4e- 12242原式 -2-421412, 1002 1后进行计算，品11,可以发现如果分母都加上1 ,那么恰好都是分子的 4倍,得出结果后除以4就得到原式的值了.1002210011122 1112142 111002 1501 3199 10111111III99 101501101150-50 -41016312 -10163【答案】12101【例15】5_65 6【考点】分数裂项7 8 8 9 9 1078 8-9

28、 9 105 6 6 7 7 8解析5 6 6 7 7 83【答案】-10【难度】3星8 9 9 10 18 9 9 10 5【题型】计算111,11、() . ()66 79 101 15 1031011 13【考点】分数裂项6 12 20 30 42【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中3623344556解析原式=_ - 5723 34 45 56【答案】46 1117 2 3 3【巩固】计算：13【考点】分数裂项7 _9_ 10 118 20 21 24【难度】3星1 3 2 5 7 1 1 1 1【解析】原式 一一一 一一一 一一一3457845371935【题

29、型】计算112 11121 111115【考点】分数裂项791117 2512 20 28 30 42【难度】3星12 3 111111【解析】原式 一一一 一一一 一一一3 5 711113 3 6 6344547562 123 13【题型】计算1 36 71 114 4 43(【巩固】1 1 L工工2032 3 30 31 41 51 119263827124120123【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算111111 11111 11 117【解析】原式3 30 31 413 174 303 414 31217巩固35 49 63 77 91 105612 20 30 425618【

30、考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式5791113 156 12 20 30 42 567 138【答案】101111|2334川21 11一 一 5【巩固】计算：1 56【考点】分数裂项11788117 888107911 13 15 17 1912 20 30 42 56 72 90【难度】3星【题型】计算2334455667解析原式 1 7 8 8 9 9 1023344556671 11 11 11 17 8 8 9 9 101 11 11 17 -）（）（）（- J（- -）（- -）t -）（2 33 44 55 66 77 88 91 31 1 ）9 102 10 5798 1755 12 20 15 30 12【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算111111112 111【解析】原式 4 5 3112 -344 4 5 31145 56一 一， 1【解析】原式12-19【答案】361922321821921922022318191920【难度】3星【题型】计算232 3 4191819 20 2 _ 心 19.2 17 -123 4 3181920 19 120【考点】分数裂项36192寸 【例16】1一2-1 2202011