不等式证明的常用基本方法(自己整编)

1、.2.证明不等式的基本方法导学目标：1. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.课前准备E自主梳理1. 三个正数的算术一几何平均不等式：如果a, b , c>0 ,那么当且仅当a = b = c时等号成立.2. 基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1, a2，an,它们的算术平均不小于a1 + a2 + + an n 时等号成它们的几何平均，即a1 a2 an-，当且仅当立.3. 证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本

2、思想是0比较大小或 与1比较大小.综合法：从已知条件出发，利用定义、 、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法.(3) 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题 成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法.(4) 反证法 反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到和命题的条件 (或已证明U的定理、性质、明显成立的事实等 )矛盾的结 论，以说明假设

3、不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 反证法的特点先假设原命题不成立， 再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾.(5) 放缩法_简化不等式, 定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法. 思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键.专项训练.凹iZHL胡uAszmi址题型一用比差法与比商法证明不等式1. 设t = a + 2b , s = a + b2+ 1，贝U s与t的大小关系是(A )A.s >tB.s>tC.swtD.s<t【解析】

4、s t = b因为a为正实数，所以a + _ >2 a 2b + 1 = (b 1)2>0,.s>t.【答案】A2. 设 a= (m2 + 1)(n2+ 4), b = (mn + 2)2，则( D )A . a > b B. a< b C. a wbD . a >3 解析：Ta b = (m2 + 1)( n2 + 4) (mn + 2)2 = 4m 2+ n2 4mn = (2 m n )2» , a >b.答案:D3. 设 a,b R,给出下列不等式：lg(1+a 2)>0;a2+b 2>2(a-b-1);a2+3ab>

5、;2b 2；器 其中所有恒成立的不等式序号是【解析】a=0时不成立a2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1) 2 »，成立a=b=0 时不成立;a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有.题型二用综合法与分析法证明不等式4. (1)已知x, y均为正数，且 x>y，求证：2x +>2y + 3;X2 2xy + y2 设 a, b , c>0 且 ab + bc + ca = 1，求证：a + b + cg. 证明 (1)因为 x>0 , y>0 , X y>0 ,1 1 12x + 2y = 2(x y) += (x y) + (x y

6、) +23X2 2xy + y2x y 2x y 21>3x y 2= 3，所以 2x + 2 >2y + 3.x y 2x2 2xy + y2因为a, b , c>0，所以要证a+ b + c>飞包，只需证明(a + b + c)2 >3.即证：a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) >3，而 ab + bc + ca = 1, 故需证明：a2 + b2+ c2 + 2(ab + bc + ca) >3(ab + bc + ca).即证：a2 + b2 + c2 >ab + bc + ca.a2 + b2 b2 + c2

7、c2 + a2而ab + bc + caw+= a2 + b2 + c2(当且仅当a = b = c时等号成立)成2 2所以原不等式成立.5.已知a、b都是正实数,且 ab = 2.求证：(1 + 2a)(1 + b) >9.所以 2a + b >22ab = 4.立.都是正实数，且ab = 2 ,证明：法一因为a、b所以(1 + 2a)(1 + b) = 1 + 2a + b + 2ab >9.法二 因为 ab = 2，所以(1 + 2a)(1 + b) = (1 + 2a)a = 2.所以(1 + 2a)(1 + b) >9.法三因为a、b都是正实数，所以(1 +

8、2a)(1 + b) = (1 + a + a) -1 +|+1 A3彷3 普2，所以(1 + 2a)(1 + b)斜（2）在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.表述简单、条理清楚，所 , 分析法与综合法相互开阔视野.16.已知 0<a< 一,b11a b+，N =市则 M、N的大小关系是（A ）A. M>NB. M<NC. M = ND.不能确定1解析： 0<a< 一,b1 + a>0,1+ b>0,1 ab>0 ,思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是 “执果索因”，它们 是两种思路截然相反的证

9、明方法.综合法往往是分析法的逆过程，以在实际应用时，往往用分析法找思路， 用综合法写步骤，由此可见， 转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路， 题型三放缩法证明不等式2 2ab1 a"M N =+ 彷=1 + a 1 + b >0.答案：A_|a + b| |a|b|7. 右 a, b R,求证：w +1 + |b|a + b|丸时,1 + |a + b| 1 + |a|证明 当|a + b| = 0时，不等式显然成立.当1 1由 0<|a + b| w|a| + |b|?苛市，一 |a + b|所以=1 + |a + b| 1 + 1 |a +

10、 b|a| + |b|1 1 + |a| + |b|1 +|a| + |b|a|b|b|=+w +.1 + |a| + |b|1 + |a| + |b|1 + |a|1 + |b|思维升华（1）在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有:1111 1 2变换分式的分子和分母，如FCh，我>厂丁，灵P +厂，上面不等式中 k N *, k>1 ；Vk pk + 7 k + 1利用函数的单调性；a a + m 真分数性质“若 0<a<b , m>0，则一<”b b + m8. 设n是正整数，求证:1 1 1-<+2 n + 1 n

11、+ 21 一<1. 2n证明 由 2n + k>n(k1 1 1一w< 一2n n + k n=1,2，n），得1 1当k = 1时，w2n n +1 n1 1<一；当 k= 2 时，1 1 1 1 1 w<；.，当 k = n 时，w<_2nn + 2n2nn + nn1 n 111 n一=一w+ <_ =2 2nn +1 n + 2 2nn1. 原不等式成立.题型四 用反证法证明不等式9.设 a>0,b>0,且 a+b= ± + -证明： a b(1)a+b >2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2不可能

12、同时成立.【解析】由a+b= - + 丁 =欝a h,a>0,b>0,得 ab=1.假设a2+a<2 与b2+b<2ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.（1）由基本不等式及 ab=1,有a+b >2苗5 =2,即a+b >2.同时成立，则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而10. 若 a>0 , b>0，且=/ab. a b（1）求a3+ b3的最小值；（2）是否存在a, b，使得2a + 3b = 6 ?并说明理由.【解】（1）由/a

13、b = ?+ b>j；，得ab >2.当且仅当a = b = 2时等号成立.故a3 +匕3>2乂0亦>4/2，且当a = b =2时等号成立.所以a3+ b3的最小值为彳讥. 由（1）知，2a + 3b >26>/ab>4>/3.由于 4t>6，从而不存在 a , b，使得 2a + 3b =6 1. 证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法.2. 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；断

14、定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真.（1）不等式的传递性；（2）等量加3. 放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：不等量为不等量；（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子, 分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小， 但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放 缩有时需便于求和.32+4>2； （2）将分子或分母放14. 放缩法的常用措施：（1）舍去或加上一些项，如a +?1大（缩小），如k2<k k-11k2 k

15、k +yjk yjk +寸k -1 & 乐 +寸k + 1 N*且 k>1)等./ 2ab1.设a、b是正实数，给出以下不等式：/ab>，a>|a b| b ;3a2+ b2>4ab 7 a + b23b2； ab + a；>2，其中恒成立的序号为（A.B.C.D.答案D解析va、b r+时，a + b >2/ab ,2abt7ab不恒成立,排除A、B ； vab + >2yf2>2恒成立，故选ab w1 1 1 12.设 M = 210 + 210 + 1 + 210 + 2 + + 211 1，A . M = 1B.【解析】v 210

16、 + 1>2M<1C. M>110, 210 + 2>2 10，,211 1>2D. M10与1大小关系不定1103.若不等式1A. 6，11 1 1 1210 + 1 + 210 + 2 + + 211 1 <210 + 亦 + +1亦210 个= 1.【答案】Btt2 + 9t + 2<a在t (0, 2上恒成立，则 a的取值范围是（B.1D.e，【解析】由已知1a A 9， t +一 t对任意t (0 ,2恒成立，于是只要当t (0, 2时,1911记 f(t) = t + -, g(t) = - + 2 Y 可知两者都在（0, 2上单调递减,t

17、 minf(t) min = f(2)【答案】B13=丁，g(t) min = g(2) = 1，所以 a 石, 2134. 已知a, b为实数，且 a>0 , b>0.a + b +- a2 + 一 +二的最小值为(C ) aba2C. 9D . 10【解析】因为a>0 ,1同理可证：a2+-+b，由及不等式的性质得5.下列结论正确的是（A .当x> 0 且 XM1 时,lg X>2【答案】Ca2C.当1x>2时，X + -的最小值为2X1D .当0 < x<2时，X -无最大值X解析:当 x>0 时，/X +1当x>2时，X +

18、一的最小值为X1当0 < X < 1时,lg一，错误.2当0 < XW2时,1X是增函数，最大值在XX = 2时取得， D错误答案：By6.若 P=+(x>0 , y>0 ,1 + X 1 + y 1 + zz>0），贝U P与3的大小关系为P<3【解析】 1 + x>0 , 1 + y>0 , 1 + z>0 ,y z1+X1 + y1+ z+<+= 3.即1 + X 1+y1+z 1 +X1 + y1+zP<3.【答案】P<37.某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现 有四

19、种降价方案：(1)先降价a% ,再降价b% ;a + ba + b 先降价b% ,再降价a% ; 先降价%,再降价厂 ；一次性降价(a + b)%.其中a>0 , b>0 , a zb，上述四个方案中，降价幅度最小的是 _ X3>x 1=X2>X4解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为X1、X2、X3、X4.则 X1 = (1 a%)(1 b%) = 1 (a + b)% + a% b%X2= (1 b%)(1 a%) = X1,X3= 1 -%1a + b1F =1 一(a+b)% + 4(a + b)% 2，X4 = 1 一 (a + b)%<1(

20、a + b)% + a% b% = X1 = X2,a% + b%X3X1 =22 a% b%>0 ,/X3>X 1 = X2>X 4.8.已知两正数y满足X+ y = 1，贝y1y+;的最小值为25【解析】z=X + " y + = xy + +"+X y xy X一=xy + +y1( X+ y) 2 2xy 2=+ xy 2 , xyXyXy令t = Xy，则x+ y0<t = xy22由f(t) = t + -在0,-上单调递减，故当 t41t=4 时f(t)33=t + -有最小值一,42525所以当z有最小值一.【答案】49.求证:证明丄

21、k2<k (k 1) k 1 k'11G+尹+1n<1 + (1 一 2)+(2 一 3)(n1n)=1+(1 一 n)=2 一 n<2.111110.设 a、b、c 均为正实数，求证：+ _ + L+ +a b cab pbc pac b + c c+ a a + b【证明】Ta, b, c均为正实数,1124一+-当b = c时等号成立b C fbc b + c1124-+->>当a = c时等号成立a c ac a +c三个不等式相加即得222222444-+-+->=+= +当且仅当a= b = c时等号成立abC 寸abVbc寸aca+ b

22、b +c a +c111 1 1 1 2 2 2即+ + > + 7 + >+.a b c pab pbc pac a +b b +c a +c11. 已知函数 f(x) = m |x 2|，m R，且 f(x + 2) » 的解集为1,1.求证：a + 2b + 3c >9.1 1 1(1)求 m 的值；(2)若 a, b , c 大于 0,且"+ + = m , a 2b 3c【解】(1) /f(x + 2) = m - |x| ,.f(x + 2) > 等价于 凶 wm.由|x| wm有解，得m >0且其解集为x| m wxwm.又 f(

23、x + 2) >0 的解集为1,1，故 m = 1.1 1 1证明：由知a+2b+孑1,且a，b，c大于0，1 1 1+ 3ca + 2b + 3c = (a + 2b + 3c) 一 + 二" a 2b2b a=1 * 3 + 丁 + 云3c a7+二 +3c3c 2b+ 2b 3c>3 + 22b a L+ 2a 2b3c a L+ 2a 3c3c 2b L= 9.2b 3c当且仅当因此 a + 2b + 3c >9.12.设 a,b , c R+且 a + b + c = 1，试求:1 1冇+冇+右的最小值.1 1 1解："a+b+c=1,a，b，c

24、 为正数2a+T+市+玮(2a+1+2b+1+2c+1)1 1 1p +1 +1)2，訂+市+2c+1 59>当且仅当 2a + 1 = 2b + 1 = 2c + 1 ,1即a = b = c时等号成立，.当 a = b = c = 一时,3111920+7+乔+訂取最小值5.答案：方案(3)13.设 a > 0, b > 0 , a + b = 1 ,1(1)求证：ab + ab1再一 ;(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内:41)；a3b3 + 不)；1>4- ? 4a1 2b2 417ab + 4 >0? (4ab 1)(ab 4) >0.由（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.1解析：（1）证法一：ab + abTab