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文档简介

1、 反对称矩阵 n 阶方阵，若 AT = - A ，即 aij = - a ji ， 定义 设 A 为 那么 A 称为反对称矩阵. æ 0 -1 2 1 ö ç 1 ÷ 0 5 -2 ç ÷ 如 ç -2 -5 0 1 ÷ ç ÷ è -1 2 -1 0 ø 反对称矩阵的主要特点是: 主对角线上的元素为0,其余 的元素关于主对角线互为相 反数. 特别 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩 阵的乘积不一定是反对称矩阵. 例2.设

2、A = (aij 3 为一个3阶实矩阵，若A ¹ 0. T T 证明：AA 为对称矩阵且AA ¹ 0. 证明: AAT T = ( AT T AT = AAT , 故AAT 为对称 （ 矩阵；设 则bij = ai1a j1 + ai 2a j 2 + ai 3a j 3 (i , j = 1,2,3 特别地，B的对角元素bii 是实数的平方和, 即：bii = ai21 + ai22 + ai33 ³ 0( i = 1,2,3, é a11 B = AAT = êa 21 ê êa 31 ë a12 a 22 a

3、 32 a13 ù é a11 a 23 ú êa12 úê a 33 ú êa13 ûë a 21 a 22 a 23 a 31 ù a 32 ú , ú a 33 ú û 再由题设A ¹ 0知，A至少有一个元素akl ¹ 0, 则bkk > 0, 于是B = AAT ¹ 0. 例3 设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) ，满足 X T X = 1, T E 为 n 阶单位矩阵，且 H =

4、E - 2 XX T ，证明 H 是对 称矩阵，且 HH T = E . T 证明 Q H = (E - 2 XX ) = E - 2( XX = E - 2 XX T = H , T T T T T ) 又 HH = H = (E - 2 XX T 2 H 是对称矩阵. T 2 = E - 4 XX T + 4 X (X T X )X T = E - 4 XX T + 4 XX T = E . = E - 4 XX T + 4(XX T )(XX T ) ) 例7 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与 反对称阵之和. 证明 T C = A + AT 设 则 C = A+ A ( T )=A T T + A = C, 所以C为对称矩阵. B = A - AT , 设 则 B = A- A T ( T ) T = A

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