第4章功和能习题集解答

1、第4章功和能4-1如图，质量为 m的小球由长为I的轻质细绳悬挂在天花板上 0点，求小球沿圆弧从最低位置a运动到细绳与竖直方向夹角为0的过程中重力 mg所做的功。（不考虑空气阻力）解方法一，建立如解用图r所示的直角坐标系，重力 Grmgj，位移drdxi dyjdWrdr (r r mgj) (dxidyjj)mgdy细绳与竖直方向夹角为0dWy0 mgdymgymgl(1cos 0)*方法二，如解用图2，设质点位置与竖直方向夹角为，重力G与位移dr的夹角为（）2dW Gdrnmgcos(3)ds mgsin ds式中ds是位移dr所对应的圆弧,dsld ，细绳与竖直方向夹角为W dW00 mg

2、l sin dmgl(1cos 0)习题4-1图习题4-1解用图1习题4-1解用图24-2 如图，一根长为I，质量为M的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位0角的位置。求在此过程中置。现将细杆在拉力F的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成重力矩所作的功（不考虑空气阻力）解 如图，设刚体与竖直方向夹角为，此时重力矩M mg sin重力矩做的功W Md0mg sin dmg-(1cos 0)习题4-2图4-3质量为5kg的质点在变力F的作用下沿空间曲线运动，其位矢(2t3rt)i42 I2(3t t +8)j12t k m求力rF的功率。r drdt = (6t2r1)i(

3、12t3 2t)r 24tk m/sF ma m£ dt60ti (180t2 10)j120k N53(2160t -120t +2960t)W4-4质量m2 kg的质点在力作用下沿x轴运动，其运动方程为x t t3m，求力在最初2.0秒内所做的功。解方法一dWPdt F dtdx dT1 3t2 m/sad2x dt226t m/sF ma12t N力在最初2.0秒内所做的功WFdt2012t(13t2)dt 168J方法二dxdT1 3t2 m/s，(1)1 m/s，(2)13 m/s应用动能定理W1 -m22 1(2) 22m 168J4-5 质量为m10kg的物体沿X轴无摩

4、擦地运动，设t 0时，物体位于原点，速率为零。如果物体在沿着X轴方向的作用力F 3 4x N的作用下运动了 3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少?解力F在3米内做的功3W Fdx03o(3 4x)dx 27J根据质点的动能定理m 22J2W 2.32m/sV m质点处于3米处的力F 15N，加速度a "m/s2 1.5m/s2 m 104-6质量为m的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数f km ，式中k是正常数。试证明物体以初速度0开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。证物体开始时速度为0后来静止，则在此过程中损失的动能Ek1

5、22m 0阻尼力所做的功fdx0X0mk0dx由牛顿第二定律得代入功的表达式积分得mkdmdtdxdmdx dt0m d0dx4-7质量分布均匀的柔软绳子, 未找到引用源。开始时下垂部分为1-m2一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂，Ek绳全长为错误!错误！未找到引用源。，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）解 以整个绳子为研究对象，下垂部分为 错误!未找到引用源。时，绳子所受合力为 m yg错误！未找到引用源。若在此力作用下，绳子下移了错误！未找到引用源。，则合力做的元功 错误！未找到引用源。整个绳全部离开桌面时合力所做的功dW : mygdy 壬 m

6、g(L2 L2)L0 L2L由动能定理可得J¥（l2-l2） 错误！未找到引用源。4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第 一次时，能将小钉击入木板内 1cm，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁钉时的速度。铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能Ek全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。阻力对它所作的功即为其动能的变化。设木板对铁钉的阻力为 F kx，第一次击入深度为 x1，则阻力的功Fdx0 0

7、kxdx-kxi22设第二次打击钉后深度达 x2，则阻力所做的功铁锤两次打击时的速度相同，W1第二次击入深度为x2 xkxdxxiW2，解得2k(xfXi2)X20.41cm4-9 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面上运动，先使小球以速度0绕小孔做%半径为ro的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为ri，求力习题4-9图F所做的功。，则解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力 矩为零，满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为0rirom 0rimr根据动能定理得力 F所做的功W 1m2 Im； lm；

8、(ri4-10如图，长为I、质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端与 一固定铰链0相连并绕其无摩擦地转动，此杆因受到微小扰动在重力 作用下由静止开始绕 O点转动。以O点为重力势能零点，当 角为何 值时刚体定轴转动的动能等于其重力势能。解 经分析知，刚体在绕铰链 0点定轴转动的过程中，只有重力 做功，满足机械能守恒的条件，取O点为势能零点。刚体处于竖直位置E0Ek0Ep00 mg-，处在如图所i*4*G示位置时的角速度为，EEkEpIj 2 mgicos习题4-10图1jmg?刚体定轴转动的动能等于重力势能有ij 222 mg； cosmgcos ，即 mg2 mg 3 cos解得60°4

9、-11长为I、质量为M的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有一粒质量为m的子弹以水平速度 ；从杆的中点穿过，穿出r速度为 ，如图所示，求杆的最大摆角。解选子弹和木杆组成的系统为研究对象，子弹和木杆相互作用过程角动量守 恒。开始时，系统相对于 O点的角动量 5=（如 0，则系统的角动量1 m2设相互作用后，木杆转动的角速度为L 3m'得到解得Lo（2）me)m3m (02MI木杆在摆动过程中（图示位置）,所受重力矩为W 0 Mg知习题4-11图Mg-sin，负号表示与转动方向相反，所做的功d Mg-(cos 1)(1)2应用刚体定轴转动的动能定理得将式（1 ）代入

10、上式，求得最大摆角Mg 那COS1)cos14-12 如图，质量为m、长为I、初始角速度为0的匀质细杆，可绕光滑垂直轴0在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为，求细杆在停止转动前所转过的角度。解 取0为正向，由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为 M = - mg2”表示力矩使杆减速。根据刚体定轴转动的动能定理M =0解得4-13如图，一半径为 R、质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘在停止转动前所转过的角度。解取0为正向，由习题3-13的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩为_2 m

11、gRM =3表示力矩使盘减速。根据刚体定轴转动的动能定理2 3m|23m2 (4gM 2l ( 0习题4-12图Md01ml26Ek Eko 得0MdEk Ek0 得解得3R 0在摩擦系数为的水平面上。初速度为0的小球。由相碰的过程角动量守恒4-14 质量为M、长为I的匀质细杆，可绕 光滑端点0自由转动，质量为 m的小球和细杆均与细杆另一端垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度 为。求细杆从静止开始转动到转动停止时所转过 的角度。解取细杆逆时针转动的角动量正方向，设碰撞后细杆获得角速度为离。试证明：(1)r0为分子势能极小时的原子间距;分子势能的极小值为E0 ； 当Ep(r) 0时,m 0lJm(-

12、 )1解得3m( 0+ )由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为表示力矩使杆减速。设细杆转过的角度为m=-ML2，则刚体定轴转动的动能定理得0 -21 2 2 -Ml2 23解得3m2( 0gM 2I4-15 质点沿x轴运动，势能为Ep(x)，总能量为E恒定不变。开始时质点静止于原点，试证明质点到达坐标x处所经历的时间tt0dt 0x 1xdx 0 & E Ep(x) /mdx证明机械运动的总能量为Ep(x)Ek(x)，得Ek(x) 1mEp(x)2 E Ep(x)dxdt对上式分离变量后积分，并注意到0，则质点到达坐标x处所经历的时间t为t0dtx 10FXdx4-16一双原

13、子分子的势能函数为Ep (r)0"Ep(x) /mE0r(纠122(0)6 ，式中r为两个原子间的距r原子间距为证明(1)令空0，得drro(2)将rr0代入势能函数，得分子势能极小值Ep(r0)Eo(3)解方程 Ep (r)0,得rV23倍于地球半径 质量m、地球的半径 R、万有引力常量 G和地球的质量 me来表示： 势能；(3)卫星的总能量；(4)卫星对地心角动量的大小。2(1)万有引力提供向心力，有m4-17 质量为m的地球卫星，在地球上空高度为4R(2)卫星的势能(3)卫星的总能量(4)卫星对地心角动量的大小4-18 如图，发射一宇宙飞船去考察一 质量为M、半径为R的行星，当

14、飞船静止Ek于空间且距行星为4R时，以速度0发射一质量为m(mM )的仪器，要使仪器恰好掠着行星表面着陆，角应是多少？着陆滑行初速度大小为多少？R的圆轨道上运动。试用卫星的卫星的动能；(2)卫星的引力(1)単，即m(4R)G e，卫星的动能4REpEk Ep4RmmemG-8RG mem4RmemG 8R2mjGmeR习题4-18图解 仪器处于行星的引力场中，仪器所受引力对行星中心的力矩为零，所以仪器对行星中心的角动 动量守恒。又因为行星与仪器间的引力是保守力，所以行星与仪器组成的系统的机械能守恒。于是，4Rm 0 sinRm解得GmM4Rsin14(13GM2R2)(13GM )1/2“ 2

15、 ) 02R 04-19试用机械能守恒定律重解习题4-7。外力的功如下：水平恒力F的功为Fx、摩擦力的功 fx解分析物体受力知r,物体受重力G、支持r r力Fn、拉力F、摩擦力rrf和弹簧弹性力F弹。习题4-20图物体向右先作加速运动（F f F弹），后习题4-20解用图作减速运动（F fF弹），直至物体的速度为零,之后物体又将向左加速运动。当物体向右运动速解选绳和地球为系统，系统无外力和非保守力作功，机械能守恒。选桌面为重力势能零点，由机械能守恒定律，初态与末态机械能相等，有1 2 -m24-20如图，劲度系数为k的轻弹簧水平放置，一端固定、另一端系一质量为m的物体，物体与水平面间的摩擦系数

16、为。开始时，弹簧处于原长，现以拉力F将物体从平衡位置开始向右拉动，求弹簧的最大弹性势能。度为零时，弹簧伸长量最大，弹性势能最大。方法一：质点的动能定理物体动能的变化Ek外力的功如下： 水平恒力F的功为Fx、摩擦力的功fx、弹簧弹性力的功等于弹性势能的增量I 2(产20)由动能定理得Fx(fx)(解得2(F1 2 -kx2)02mg)弹簧的弹性势能Ep尹x222( F mg)k方法二：功能原理起初物体和弹簧组成系统的机械能为零，即E00，后来系统的机械能为E Ek Epkx2由功能原理得I 2Fx ( fx) 2kxnih，则 E kh2 mgh，可得与方法（1）同样结果。24-21如图，滑轮转动惯量为J 0.01 kg m，半径为r 0.07 m ,物体质量为m 5 kg ，由绳与劲度系数k 200 N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物 体由静止而下落的最大距离