(完整版)2019全国2卷理科数学试题及详解

1、2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。1.设集合 A= x|x2- 5x+ 6 > 0,B= x|x- 1 < 0,则 A AB= ( A )A. (- V,)B.(-2,1)C.(-3, -1) D. (3,+8)2 .设z = -3 + 2i,则在复平面？对应的点位于(？)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .已知？?= (2,3),?= (3,?,|统?= 1,则？?？? ( ?)A. -3B.-2C. 2D. 34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实

2、现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月拉格朗日？?点的轨道运行，？点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为？,月球质量为？?2,地月距离为？ ？?点到月球的距离为？?!据牛顿运动定理和万有引力定律，？满足方程:?1(?+?2+ *=(?+ ?g?.设厂?,由于？咐值很小，因此在近似计算中3?3+3?4+?夕(1+?)2= 3?则？的近似值为(？)A.彳?B.噌?C.卷?3 9?2D. U?5 .演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从原始评分中去掉1个最高分、一个最低

3、分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A )A.中位数B.平均数C.方差 D.极差6 .若 a> >则(C )A.ln(a- b) > 0B.3?< 3? C. ?- ? > 0 D. |a| > |b|7 .设%3为两个平面，则 a/3的充要条件是(B )A. a内有无数条直线与3平行 B. a内有两条相交直线与3平行C.E, 3平行于同一条直线D. a, 3垂直于同一平面8 .若抛物线？另=2Px(p> 0)的焦点是椭圆 赤+ ?= 1的一个焦点，则?= ( ?)A. 2B. 3C. 4D. 89 .下列函数中，以

4、2为周期且在区间(4?,2)单调递增的是(a )A. f(x) = |cos2x|B. f(x) = |sin2x|C. f(x) = cos|x|D. f(x) = sin |x|,兀-r10 .已知 a C (0, 2) ,2sin2 = cos2 a+ 1,则 sin = ( B )A.B.D.2V5 ？夕11.设F为双曲线C:理-?诂=1(?> 0,?> 0)的右焦点,?妁坐标原点，以？?？直径的圆与圆？+ ? = ?交于？ ？口点.若|?= |?|?则？?勺离心率为(？)A. v2B. v3C. 2D. v512.设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x + 1) =

5、 2f (x)，且当 x C (0,1时，f(x) = x(x - 1).若对任意x C(-oo, m,都有f(x) >- 8,则？?的取值范围是(？) 9A. ( 或B. ( 盲，C.(- 001D.(- 昌，二、填空题：本题共 4小题，每题5分，共20分。13 .我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14 .已知 f(x)是奇函数，且当 x< 0 时，f(x) = -?：若?2= 8,则？?= 15 .4ABC

6、 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c.若b= 6, a = 2c, B = 3,则 4ABC的面积为16. 中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方个面，其棱长图2第 22、23题为选考题。体的表面上，且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有解答题：共70分。第1721题为必考题。(一)必考题：共 60分17. (12分) 如图，长方体

7、ABCD- ?的底面？?是正方形、点 E 在棱 A?上，?L ?(1)证明：BE，平面 E?;(2)若AE= ?求二面角B- EC- ?的正弦值.18. (12分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10: 10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立。在某局双方10:10后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束。(1)求P(X= 2); (2)求事件'X= 4且甲获胜”的概率。19. (12 分)已知数列?和?势满足？ = 1,?= 0,4?2

8、?+1= 3?- ?+ 4,4?+1= 3?- ?- 4.(1)证明：?+?)是等比数列，?- ?是等差数列；(2)求?和?4的通项公式. .一一?+1. 一.一 .一 .一.20. (12分)已知函数f(x) = lnx -豆7(1)讨论f(x)的单倜性，并证明f(x)有且仅有两个季点； ?-1(2)设？?是？?？的一个零点，证明曲线 ？?= ? ?,?的切线也是曲线？?= ?的切线。121. (12分)已知点 A(-2,0 ), B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明 C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C于P, Q

9、两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E, 连结QE并延长交C与点G. (?)证明：4PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面积的最大值.二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .【选修4-4 :坐标系与参数方程】(10分)在极坐标系中，O为极点，点 M(?,?)(? > 0)在曲线C: p= 4sin比.直线想点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.? .(1)当？?二 I时，求？?及附极坐标万程； 3(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23 .【选修4-5 :不等式选讲】(10分)已知 f(x) =

10、 |x - a|x + |x - 2|( x - a).(1)当a= 1时，求不等式f(x) < 0的解集；(2)若x C (-8, 1)时，f(x) < 0,求a的取值范围参考答案：2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。1.设集合 A= x|x2- 5x+ 6 > 0,B= x|x- 1 < 0,则 A AB= ( A )A. (- V,)B.(-2,1)C.(-3, -1) D. (3,+8)解析：A = x|x2- 5x + 6 > 0 = ?|?< 2 或？?> 3,?= ?< 1, .A AB

11、= x|x < 1,选 A2 .设z = -3 + 2i,则在复平面？?应的点位于(？)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：.2= -3 + 2i, .? -3 - 2?寸应点(-3, -2 )位于复平面第三象限，选?3 .已知？?= (2,3),?= (3,?,|?= 1,则？?: ( ?)A. -3B.-2C. 2D. 3解析：,.,?= ? ?= (1,? 3), .?？=+ (? 3)2 = 1, .?= 3.-.?= (1,0), . .? 2,选?4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月

12、球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月?拉格朗日？?点的轨道运行，？点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为,月球质量为？?2,地月距离为？ ？?点到月球的距离为？据牛顿运动定理和万有引力定律，？满足方程:?2?(?+?2 + ? = (?+ ?后?3?3+3?4+?5设a= ?，由于？勺值很小，因此在近似计算中.；1+?2? 3?歹,贝11?的近似值为(?)(1 ,)A. V?2?B. V? C. V?2?D. V?V?12?1?i3?1 ?0_ ?1?1?2?1 解析：.E+ 额=(?+ ?颉

13、，?= ?；(?+W+ a=(?+ ?打1 c3?3 +3?4 +?5。？/?>= ?1?(1 + ?-(i)? =?1?(1+?)2忆？? ?3?3= 3?1?3,.?卫？另.二？? 3/?22?选? 3?!,v3?1M5 .演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到 7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A )A.中位数B.平均数C.方差 D.极差解析：不妨把9个原始评分从小到大排序记作：？?,？?,？，？?,去掉？?,？,剩余7个有效评分为，？?,？,？，？,由数字特征定义知，不变的数

14、字特征是中位数，选 ?6 .若 a> >则(C )A.ln(a- b) > 0B.3?< 3?C. ?- ? > 0 D. |a| > |b|解析：由函数y= Inx, y= 3?= ?2?= |?的基本性质知，当？?> ?时，只有？5 - ?> 0成立，选C7 .设% 3为两个平面，则 a /3的充要条件是(B )A. a内有无数条直线与3平行 B. a内有两条相交直线与3平行C. a, 3平行于同一条直线D. a, 3垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，B正确，选B?吊？吊8 .若抛物线？3= 2Px(p> 0)的焦点是椭圆3?

15、+9=1的一个焦点，则?= ( ?)A. 2B. 3C. 4D. 8?解析：抛物线？3 = 2px(p > 0)的焦点为？?(2,0)，所以椭圆焦点在 x轴上，由题知，3?= p +(32, .,.?= 8?又？?> 0, .?= 8,选?9 .下列函数中，以2为周期且在区间(4?,?)单调递增的是(A )A. f(x) = |cos2x|B. f(x) = |sin2x| C. f(x) = cos|x|D. f(x) = sin |x|解析：由y = |cos2x|,y= |sin2x|,y= cos|x| ,y = sin |x|的函数图象可知，周期为 ,且在区间(箕?)单调

16、递增的函数是 y = |cos2x|,选?10 .已知 a C (0,昼),2sin2 = cos2 a+ 1,则 sin = ( B )1V5S2Vs.5. 53.5解析：2sin2 a= cos2 a+ 1 , ，4sin a cos = 2?, .?= 41(1 - ?), .?= 5 ,又 aC(0, 2),二？?5 ,选?一 ？, ？夕11 .设F为双曲线C:谴-?= 1(?> 0,?> 0)的右焦点，？妁坐标原点，以？?根直径的圆与圆？+ ? = ?交于？ ？口点.若|?|?= |?!?则？?勺离心率为(？)A. v2B. v3C. 2D. v5解析：由题知，|?= |

17、?|? ,2 等?, .?= 4?七? = 4?(? - ?),.?- 4? + 4?巾=0, .(?- 2?)2= 0, .?- 2? = 0, .,.?!= 2, .,.?= v2,选?12.设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x + 1) = 2f (x)，且当 x C (0,1时，f(x) = x(x - 1).若对任意x C(-oo, m,都有f(x) >- 8,则？?的取值范围是(？) 9 9758A. ( 呼 B. ( 手，C.(- 0°，习D.(- 郑1解析：,f(x+ 1) = 2f(x), .? = 2? 1),? = -?+ 1)一一 一 一1.x

18、e (0,1时,f(x) = x(x- 1) 丁- 4 , 1. x C(1,2时,f(x) = 2f(x- 1) = 2(? 1)(? 2) >- 2x C (2,3时，f(x) = 2f(x- 1) = 22(?2 2)(? 3) >-1? ,?e (?+ 1(?e ?时，?= 2?2 ?(?- ?- 1) >-2 ?-2, ,1 1 _1?e(-1,0 时,？?？= 2?+ 1)= 2(?+ 1)?为-8一，11 .、.1x C(-2, -1 时，?= 2?+ 1) = 2(?+ 2)(?+ 1) > -一 ,11? , ?e (-?- 1,-?(?C ?时，f(

19、x)=江(x+ n+ 1)(x+ n) >-，故当 x e (2,3时，令 f(x) = 22(? 2)(? 3) = - 8,得？?= 7,?= 8,结合图象 933x C (- oo,7时，都有都有 f(x) > - 8 , . .m <7 ,选? 393二、填空题：本题共 4小题，每题5分，共20分。13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为102010解析：平均正点率估计值为 0.97 X40+ 0.

20、98 X40-+ 0.99 X40= 0.98,填0.9814.已知 f(x)是奇函数,且当 x < 0 时,f(x) = -?若?2 8,则？?=解析：二已知f(x)是奇函数，且当 x< 0时，f(x) = -?1 ?1 ? .f(ln2) = -f (-?2= ?'?= ?2( = (2) = 8, .-.?= -3,填-315.4ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c.若b= 6, a = 2c, B = 3,则 4ABC的面积为解析：.b = 6, a= 2c, B = ?,由余弦定理？ = ?3 + ?- 2?, 31 _ o _ _ _ _36

21、 = 4? + ?- 2 ?2?2 = 3?, . .?= 2 V3,?= 4 V3一一一一11丁 V3丁. V.ABC 的面积 S= 2?4v3 ?2v3 ? = 6v3,填 6V316.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面，其棱长为 (本题第一空2分，第二空3分。)解析：由图知，该半正多

22、面体的面数为26,设所求棱长为 a,则由题知a+ v2?= 1,，？?= v2 - 1,第一空填26,第二空填 v2- 1三、解答题：共 70分。第1721题为必考题。第 22、23题为选考题。（一）必考题：共 60分17. （12 分）如图，长方体 ABCD- ?的底面？?？?E方形、点 E 在棱 A?上，?£ ?（1）证明：BE，平面 E?；（2）若AE= ?求二面角B- EC- ?的正弦值.解析：（1）在正方体 ABCD- ?中，？，平面？?？BE 平面？?密，.？，？?？又. ?£? ?0?= ?,且？，？平面 E?, . .BE，平面 E?（2）二,底面？?正方形

23、，若 AE = ?由（1）知 BE，平面 E?,则？?L?,9BE为等腰直角三角形，取 AB = BC= 1,则AE = 1 , ?= 2以C为坐标原点，以 CD, CB, C?分另J为？?轴如图建立空间直角坐标系 ？?- ?则 C 0,0,0) ,B(0,1,0) ,E(1,1,1), ?(0,0,2),?= (1,1,1),?= (0,1,0),?= (0,0,2)?= 0 一 一0，取？?= 1,则？?= 0,?= -1设平面 CEB的法向量 ？= (?,则?遇=0 .?+ ?+'?>= 0,?=设平面CEG的法向量?=(?贝U ,，r,八n.,.?= (1,0, -1)蟹

24、?= 0, ?+JX_?= 0,取？?= 1,贝U?= -1, ?= 0? ?= 02?= 0.?= (1, -1,0)密密？11-cos < ? ,?>= 同丽= v2v2 = 2二面角B- EC- ?的正弦值为了18. (12 分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立。在某局双方10:10后,甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。(1)求 P(X= 2);(2)求事件'X= 4且甲获

25、胜”的概率。解析：(1)用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用的表示甲发球时乙得分,用？?表示乙发球时甲得分，甲先发球,X=2, ,甲：乙为10:12或12:10时比赛结束。则 P(X= 2) = ?K 甲？?)+ ?K?j?乙)=0.5 X0.4+ (1 - 0.5) X(1 - 0.4) = 0.5(2)二甲先发球，？?= 4且甲获胜，则甲：乙为 13:11时比赛结束则P(X = 4且甲获胜)= P(第营甲号)+ P(甲乙甲？)=(1 - 0.5) X0.4 X0.5 X0.4 + 0.5 X (1 - 0.4) X0.5 X0.4 = 0.1.事彳X= 4且甲获胜”的概率为0

26、.119. (12 分)已知数列?和?。满足？ = 1,?= 0,4?3?+1= 3?- ?+ 4,4?+1= 3?- ?- 4.(1)证明：?+?)是等比数列，?- ?冽是等差数列；(2)求?和?的通项公式.解析：(1) .4?3?+1= 3?3?- ?+ 4，4?+1 = 3?- ?- 4.1 一 + 行：4(?+1 + ?+1)= 2 (?+ ?,即？?+1 + ?+1 = - (?+ ?-得：4(?+1- ?+1)= 4(?+ ?) + 8,即？?+1 + ?+1 = ?+ ?+ 2又？= 1,?= 0, .?+ ?= 1, ?- ?= 11 . .?+ ?势是首项为1,公比为5的等比

27、数列，?- ?是首项为1,公差为2的等差数列.1_(2)由(1)知，?+ ?=尹,？?- ?= 2? 1, ?=1( ?+?+(?-?引=J+? 1 ,?私=1( ?+?)-(?-?科=7?-?+ 122222220.(12 分).一，.?+1已知函数f(x) = lnx - ?-1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设？?是？?？的一个零点，证明曲线？?= ?初?(？?,？?的切线也是曲线？?= ?的切线。解析：(1) -. f(x) = lnx - 箸=?焉-1(?> 0 且？?w 1) ?-!?-|.?(?= 1?+ (?21产0, ?在(0,1)上单

28、调递增，在(1 , + 8)上单调递增。1 1+?2_ 1?吊 + 1二一 1为？+1一一2、? + 1- f(?= -1 - 而=?71> 0，？?：初二诉- 2< 0,?(/?尸2 -法 < 0,?) = 2 -而>0.f(x)在(0,1)和(1, + 8)上各有一个零点.f(x)有且仅有两个零点.2(2)设？?是？?的一个零点，则l? - 1 = 0? 0-1. y = lnx, ? = !，？?=?翟？?,？?？?的切线斜率为 1-, ? 0.?= ?,?处的切线方程为：？? ?!(? ?),?0即 y = ?+ ? 1 = ?+ -21 y ?0?-1设该切线

29、与 y= ?初于？?，又？ = ?.?= ?,且?=2？+L 000 11 = -?,?.,!= L?二，？ 1-%=-二 ?0?-1?-1?3-1曲线？?= ? ?,?的切线也是曲线1?= ?油切线且切点为 B(-ln?0,?)21 . (12 分)已知点A(-2,0 ), B(2,0)，动点M(x,y)满足直线,一一、.1AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明 C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E,连结QE并延长交C与点G.(?)证明：4PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面积的最大值.解析：(1)设

30、直线？?有？?勺斜率分别为？? ? .点A(-2,0), B(2,0)，动点M(x,y)? _ ?+2 ' ?-2 = ?g-41? ?名，八 一,一,一，2，.? 了+了= 1(?w ±2),.曲线C是去掉左右顶点A(-2,0 ), B(2,0),长轴长为4,焦点为(土”2,0)的椭圆.(2)(i)设 P(x0,?),则 E(X0,0),Q(-x 0,-?0),由题知直线PQ斜率存在且不为0,则直线PQ的方程为尸,直线QM方程为y =?Z菊(？?- x"?-?且？ + 2?= 4,?> 0,? > 0,I ?吊？多? g由7+ ±二 1与丫 = 2x7?万，联立得(2? + ?)x2 - 2?+ ?”8? = 0,解得，？?= -?0,?= '"(:黑?2)直线PG的斜率为?02?省+?犷，0?0(3?布2?0) ?2?)+?0-' .0?一 ,， 一.-0, .'.?£? ./?越直角三角形. ?0(Ii)由(i)得|PQ| =