六自由度运动平台的振动分析与测试

1、六自由度运动平台的振动分析与测试3V I BRAT I O N ANALY S I S AND TEST O F A S I X D EGREES O F FREEDOM PLATFO R M赵强331李洪人2(1.东北林业大学交通运输学院,哈尔滨150040(2.哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨150001ZHAO Q iang1L I Ho ngR en2(1.School of Traffic Transportation Engineering,N ortheast Forestry U niversity,Harbin150040,China(2.School of M echatro

2、nic Engineering,Ha rbin Institute of Technology,Harbin150001,China摘要刚度和固有频率是影响六自由度运动平台性能的重要因素,文中采用线性化方法推导预载状态下六自由度运动平台的刚度矩阵,建立平台的自由振动方程,并求出其固有频率。利用脉冲激励实验对六自由度平台的频率进行测试,实验结果和理论分析的结果较为接近,验证文中理论和实验方法的有效性。文中方法可用于六自由度平台的刚度设计和频率分析。关键词Stewart平台刚度振动频率测试中图分类号TH113.1AbstractStiffness and natural frequency are

3、 t w o i m portant fact ors t o affect the perf or mance of a six2degree2of2freedom mo2 ti on p latf or m.By means of a linearized method,the stiffness matrix is derived for a p rel oaded p latfor m.The free vibrati on equa2 ti on is further established,and by s olving its characteristic f or mula,t

4、he natural frequencies are obtained for each degree of free2 dom in the p latfor m.Some pulse excitati on experi m ents are carried out t o test the natural frequencies on a real six2degree2of2free2 dom p latfor m.The frequencies measured by experi m ents show better agree ment with the theoretical

5、computati on results,which il2 lustrates the feasibility and effectiveness of the p r oposed method.It can be used f or the stiffness design and frequency analysis of six2degree2of2freedom moti on p latf or m s.Key wordsStewart pl a tform;Sti ffness;V i bra ti on;Frequency;TestCorresponding author:Z

6、HAO Q iang,E2m ail:zhao2q,Tel:+862451282191860Manuscri p t received20060123,in revised for m20060222.1引言刚度是影响六自由度平台性能的重要因素,同时也是评价其性能的一项重要指标。Gosselin1研究了无预载情况下Ste wart平台的刚度映射问题。El2Khasa wneh和Ferreira2从工程应用的角度提出总刚度和一维刚度的概念,并推导了具体公式。Griffis 和Duffy3推导了六根弹簧并联的Ste wart平台的非对称刚度矩阵,Ciblak和L i pkin4进一步扩展并推导了任

7、意数量弹簧并联的刚度计算公式。Huang和Schi m mels5给出无预载情况下简单弹簧并联的空间刚度的计算公式。Selig和D ing6研究了无预载情况下的刚度矩阵,把液压缸看作是弹簧阻尼系统,推导出阻尼矩阵和刚度矩阵之间成正比关系,建立系统振动的线性方程,并进行求解。Svinin7等将Ste wart 平台的静力学方程进行线性化后得到预载情况下的刚度矩阵,对Ste wart平台的稳定性进行分析。本文尝试求出预载情况下的刚度矩阵,建立自由振动方程,并计算出系统的振动频率。利用脉冲激励对六自由度平台的频率进行实验测试,以此验证本文的理论计算方法。2理论分析六自由度运动平台的结构如图1所示,它

8、由上平台、底座、六个液压缸通过虎克铰连接而成。如图建立两个坐标系,动坐标系OXYZ与上平台固联;静坐标系OX YZ与地面固联,在上平台处于中立位置时,它和动坐标系重合。用广义坐标q=q1,q2,q6T描述上平台的运动,其中q1、q2、q3分别表示动系相对于静系的横移量、纵移量和升沉量,q4、q5、q6分别为横摇角、纵摇角和偏航角。取上平台为研究对象,当液压缸的质量相对上平台来说较小时,可以忽略液压缸的惯性,则液压缸对上平台的作用力Pi分别沿着各缸的轴线方向, 设其方向Journa l of M echan i ca l Strength2006,28(S:17213 3320060123收到初

9、稿,20060222收到修改稿。赵强,男,1971年10月生,黑龙江省富锦市人,汉族。东北林业大学交通学院副教授,博士,研究方向为机械动力学理论。 图1六自由度平台示意图Fig .1Sketch of a six DOF (degree of freedom motion p latfor m为指向上平台。设上平台上作用常值力F 和常值力矩M ,在静系中列出上平台的力和力矩平衡方程F +m g +6i =1Pi=0(1M +6i =1r i ×P i =0(2式中,g 为重力加速度,r i 为O 点指向P i 的矢量。设F 和M 的微分分别为F 和M ,由它们所引起的上平台的微小位姿

10、变化为x 和,x =d q 1,d q 2,d q 3T,=d q 4,d q 5,d q 6T 。对式(1和(2分别进行线性化F =-6i =1P i=-6i =1(P ini+P i n i (3M =-6i =1r i×P i +r i ×P i (4式中,k i 为液压弹簧刚度,l i 为液压弹簧的变形,n i为n i 的微分。由Stewart 平台的运动分析可得8P i =-k i l i =-k i n i (x +×r i (5n i =i ×n i =n i ×1l i(x +×r i ×n i (6式中i

11、为液压缸的角速度。将式(5和(6代入式(3和(4可得F =-6i =1-k i n i (x +×r i n i +P i l in i ×(x +×r i ×n i(7M =-6i =1×r i×P i +r i ×-k i n i (x +×r i n i +P i l in i ×(x +×r i ×n i (8根据矢量及并矢的运算规则,式(7和(8可以进一步写作 FM=6i =1k i n i n Ti +P i l i(n i n T i -n i n Ti E 6i =1-

12、k i n i n Ti r +P i l i(r i n Ti E r 6i =1r i k i n i n Ti +P i l i(n i n T i -n i n Ti E -6i =1r k i n i n Ti r +P i l i(n i n T i -n i n Ti E r -(P i r i E -r i P Ti ×x(9式中,r i 为r i 的反对称矩阵,E 为单位张量。由式(9可得刚度矩阵KK =6i =1k in inT i+P i l i(n i n T i -n i n Ti E -6i =1k in inT ir i +P i l i(n i n T

13、i -E r i6i =1r i k i n i n Ti+P i l i(n i n T i -n i n Ti E -6i =1r i k i n i n Ti r i +P i l i(n i n T i -n i n Ti E r -(P i r i E -r i P T i (10由于上平台受到的科氏力为速度的平方项,在平台速度较低的情况下,科氏力的影响很小可以忽略,这时运动平台的自由振动的微分方程可写作N ¨q +K q =0(11式中,N 为质量矩阵。系统的特征方程为K -2n N=0(12式中,n 为特征值,同时也是系统的固有频率,可以通过解上述方程得到。3实例计算与

14、实验测试为了验证上述理论,以某六自由度运动平台(参见图2为例进行计算和实验验证。上平台的框架采用纵横交叉呈网格状的槽钢焊接而成,上面铺有一层铁皮,槽钢框架下面还固联有三组铰座,每组铰座包括两个转动铰轴,以上各部分构成了上平台整体。经过测量及计算确定上平台的质量及惯量参数如表1所示。18机械强度2006年表1上平台的质量及惯量参数Tab .1M a ss and i nerti a param eters of the upper pla tform质量Mass/kg 惯量Inertia /(kg m 2I XI YI Z587.97(升沉662.97177.55134.43331.64平台处于

15、低位时的刚度矩阵为K =1.0×107×1.030000.30 001.030-0.300004.310000-0.3001.83000.300001.83001.66平台处于高位时的刚度矩阵K =1.0×107×0.480000 .16000.480-0.1600005.4100000.1602.24000.160002.24000.77注意到以上刚度矩阵不是对角阵,其中横摇和纵移、纵摇和横移之间分别存在运动耦合,而偏航和升沉分别是独立非耦合的。在计算偏航和升沉频率时,可以采用公式f =12k /m 直接计算,而对于横摇和纵移的频率,可以先从刚度和质量

16、阵中抽取出横摇和纵移所对应的子矩阵,并求出相应子系统的特征向量,然后将刚度及质量子矩阵同时左乘特征向量阵的转置、右乘特征向量阵实现解耦,再利用前述频率计算公式求出横摇和纵移的频率。纵摇和横移频率也可类似求出,最后计算结果参见如表2所示。表2平台振动频率的理论计算结果Tab .2Theoretica l results of pla tform v ibra tion frequencyHz平台位置Platfor m position横移Surge 纵移S way 升沉Heave 横摇 Roll 纵摇Pitch 偏航Yaw 最低The lowest21.021.040.651.158.735.6

17、最高The highest14.414.545.556.565.024.3实验测试示意图如图2所示,采用橡皮锤敲击激振,由加速度传感器记录下来振动的加速度信号并转换成电流信号,经过振动数据采集仪输入到计算机中,图2振动测试示意图Fig .2Schematic diagram of vibration test再采用振动分析软件通过时域处理(截取波形、频域分析(自功率谱分析求出振动频率。图2所示的测试设备及软件是哈尔滨某振动技术开发公司研制的产品,整个测试过程也是在该公司专业技术人员的指导和参与下完成的。测试过程如下:1首先检查各设备是否正常,然后连线,调节测试信号的放大倍数、调节零位及量程等。

18、2使六自由度运动模拟台处于最低位置并锁住不动。安装加速度传感器,用皮锤敲击平台 ,同时启动测试软件采集,并记录加速度波形。根据各单自由度具体情况安装加速度传感器并选择不同激振位置。3启动六自由度运动模拟台,使其处于最高位置并锁住,重复步骤2。各自自由度激振的加速度布置及激振点如图3所示,图3中各正方形为上平台的俯视图,图中的图标“”为加速度传感器的布置点,图中的各个箭头“”及“ ”表示激振点的位置和方向,其中“ ”表示垂直纸面向里(对应实际为竖直向下。图3加速度传感器布点及激振点位置图Fig .3D istribution of acceleration sensors and excitat

19、ion points将测得的信号首先进行时域处理,通过浏览时域中的波形,截取有用的时间段,采用自功率谱分析法进行频域分析,对应图3的结果参见图4和5。由图4和5总结得出平台频率测试结果参见表3。对比表2和表3可以看出,理论计算的结果和实际测试的结果比较接近,相对误差基本在±20%范围之内,其中横移和纵移的计算结果偏低,偏航、横摇、升沉的计算结果偏高,这是由于以下几点原因:1在理论计算中,与转台振动频率有关的参数如第28卷增刊赵强等:六自由度运动平台的振动分析与测试19图4平台处于低位时的自功率谱Fig.4Auto power spectrum w ith p latfor m in

20、the lowest position 图5平台处于高位时的自功率谱Fig.5Auto power spectrum w ith p latfor m in the highest position20机械强度2006年 表3平台振动频率的测试结果Tab.3Test results of pla tform v ibra tion frequency Hz平台位置Platfor m position 横移Surge纵移S way升沉Heave横摇Roll纵摇Pitch偏航Yaw最低The lowest26.424.336.842.560.526.3最高The highest15.515.739

21、.144.966.821.1惯量、质量、刚度等的取值均为估计值,因条件所限无法进行实测,这导致理论计算结果存在较大误差。2实际测试结果存在着误差,如传感器的测量误差、自功率谱分析时误差等等。总体来说,理论计算的结果还是比较符合实际的,二者的相对误差主要由于理论计算的参数估计值存在较大误差。本文的理论计算和实验测试方法对于六自由度模拟器设计具有参考作用。4结论本文采用线性化方法推导六自由度运动平台的刚度矩阵,建立自由振动方程。利用脉冲激励对六自由度平台进行实验测试,实验结果和理论分析的结果较为接近,本文的方法对六自由度运动平台的设计与分析具有参考作用。References1Gosselin C

22、M.Stiffness mapp ing for parallel manipulators.IEEE Transactions on Robotics and Automation,1990,6(3:377382. 2B ashar S El2Khasawneh,Placid M.Ferreira,link manipulators.International Journal ofM achine Tools&Manufacture,1999,39:321 342.3Griffis M,Duffy J.Global stiffness modeling of a class of s

23、i mp le comp liant coup lings.Mechanis m and Machine Theory,1993,28(2: 207224.4Ciblak N,L ipkin H.A sy mmetric cartesian stiffness for the modeling of comp liant robotic system s.AS M E design Technical Conference, Vol.DE272.M inneapolis,US A,2002.197204.5Huang S,Schi mmels J.The bounds and realization of spatial stiffness achieved w ith