定积分在几何物理中应用 非常好

1、1.7.1定积分在几何中的简单应用定积分的简单应用1、定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 x yOab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 -S 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，一、复习回顾定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）2、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式-( )|( )( )( )bbaaf x dxF bxFFa

2、或或(F(x)叫 做 f(x)的 原 函 数 , f(x)就 是 F(x)的 导 函 数 ) 如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b上的连续函数上的连续函数, ,并且并且F F(x)=f(x),(x)=f(x),则则baf x dxF bF a-( )( )( )一、复习回顾二、热身练习1dxx - - -2224解： 如图由几何意义22222214 - - - - dxx2计算:计算： - - xdxsin解：如图由几何意义0sin - - xdx定积分的简单应用xysin0yx定积分的简单应用3.2 2yx计算由与x轴及x=1，x1所围成的面积12( )( )bbaasf x d

3、xfx dx-xyNMOabABCD4用定积分表示阴影部分面积)(1xfy )(2xfy 二、热身练习二、热身练习A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形面积 A=A1-A2ab1三、问题探究三、问题探究曲边形面积的求解思路定积分的简单应用四、例题实践求曲边形面积例计算由曲线2xy 22xyxy与所围图形的面积解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积解方程组xy 2得交点横坐标为0 x1x及曲边梯形曲边梯形dxx10dxx-10210331x-3231-31102332x定积分的简单应用ABCD2xy xy 2xyO11-1-1归纳求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：（1）画草

4、图，求出曲线的交点坐标（3）确定被积函数及积分区间（4）计算定积分，求出面积定积分的简单应用（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积4xyO8422Bxy24- xyS1S2-442122844021dxxdxxsss：4yO8422AS1S2例2计算由曲线xy2直线4- xy以及x轴所围图形的面积定积分的简单应用四、例题实践求曲边形面积442128021-dxxsss：xyO12xycosxysin五、巩固练习书本P58练习提高:书本P66复习参考题A组16题定积分的简单应用4xyxycos,sin求曲线与直线2, 0 xx所围成平面图形的面积S1dxxdxxS-40401sincosdxxdx

5、xS-24242cossin21SSS解题要点:S2有其他方法吗？S1=S2七、作业1、书本P60 习题A组1 B组32、全优设计P48493、思考B组1，2六、小结1本节课我们做了什么探究活动呢？2如何用定积分解决曲边形面积问题呢？3解题时应注意些什么呢？4体会到什么样的数学研究思路及方法呢？思考hb 如图, 一桥拱的形状为抛物线, 已知该抛物线拱的高为常数h, 宽为常数b. bhS32求证: 抛物线拱的面积定积分的简单应用建立平面直角坐标系 确定抛物线方程求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤课本P60 习题B组2xhby0),2(hb-证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为)0(2

6、-aaxy2)2(bah-则有24bha 得224xbhy-所以抛物线方程为于是，抛物线拱的面积为-dxxbhhbsb)4(2222220-2032)34(22bxbhhbbh32代抛物线上一点入方程S2S定积分的简单应用定定积积分分在在物物理理中中的的应应用用2 . 7 . 1教学目标教学目标: 会用定积分求变速直线运动的路程、会用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等问题。变力做功等问题。教学重难点教学重难点 ：重点：重点：用定积分求变速直线运动的路程、用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等问题的步骤变力做功等问题的步骤难点：难点：理解可理解可用定积分求解的物理问题的用定积分求解的物理问

7、题的特点，确定积分的上下限。特点，确定积分的上下限。Oab( )vv ttvit( )( )iiiSv ttv tt 1lim( )( )nbiaxiSv ttv t dt 设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)v=v(t)0，则此物，则此物体在时间区间体在时间区间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为( )basv t dt一、变速直线运动的路程一、变速直线运动的路程11( )nnniiiiSSv ttbatn- 变速直线运动的物体变速直线运动的物体V（t）区间）区间a, b内的积分内的积分与位移和路程的关系：与位移和路程的关系：(1)若V（t）0，则路程( )basv t

8、 dt位移M=( )bav t d t(2)若V（t）0，则路程()basvtd t-位移M()bavtd t.min1.37.13行驶的路程行驶的路程这这求汽车在求汽车在所示所示如图如图线线时间曲时间曲度度速速一辆汽车的一辆汽车的例例-o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37.1-图图o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37. 1-图图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5. 1;40t10,30;10t0, t3- tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100- .m1350t90t

9、43t30t236040240101002-.m1350min1行驶的路程是汽车在这答l法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30 6030 13502s变力沿直线作功二.FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力 ?xF,babxaxxF,xF所所作作的的功功呢呢那那么么如如何何计计算算变变力力移移动动到到相相同同方方向向从从并并且且物物体体沿沿着着与与动动的的作作用用下下做做直直线线运运如如果果物物体体在在变变力力探探究究变力所做的功变力所做的功 物体在变力（物体在变力（x x）的作用

10、下做直）的作用下做直线运动，并且物体沿着与（线运动，并且物体沿着与（x x）相同的）相同的方向从方向从x=ax=a移动到移动到x=bx=b（abab），那么变力），那么变力（x x）所作的功）所作的功( )iiWF xx1lim( )( )nbianiSF xxF x dx ( )baWF x dx11( )nnniiiiWWF xxbaxn- Oab( )yF xxFixlQF47.1-图图.或或压压缩缩拉拉伸伸动动画画演演示示弹弹簧簧., 47 . 14力所作的功求弹处拉到离平衡位置将一弹簧从平衡位置度内在弹性限如图例ml- .k,kxxF,xxF)(,是比例系数数其中常即成正比的长度或压缩弹簧拉伸与弹簧所需的力压缩或拉伸在弹性限