用换元法证明不等式

1、用换元法证明不等式范晓云（茂名学员高州师范分院数学与计算机系307数学1班）【摘要】：换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也

2、不能扩大. 在研究条件不等式的证明中有广泛的应用。【关键词】： 换元法;不等式;证明过程;化繁为简； 正数 换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量

3、的取值范围，不能缩小也不能扩大. 在研究条件不等式的证明中有广泛的应用。一，三角换元法三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量-三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。例7：已知：a 1, b 0 , a b = 1，求证：分析：由于a1,b0,a-b=1,并且不等式中有，.因此我们联想三角函数的平方关系： -=1,经过对比发现a相当于,b相当于,因而可令证：a1,b0,a-b=1 不妨设则, 0 sin 0 所以 从不等式的证明过程中，我们可以知道利用整体换元可以简化不等式的证明过程。四，局部换元局部换元是在已

4、知或者未知中某个代数式几次出现而用一个字母来代替它，从而简化问题，当然有时要通过变形才能发现。例4，求证：对任意实数x，有-1证明：令t=sinx+cosx=且由，得-2从不等式的证明过程中，我么可以知道证明不等式时，可以从不等式形式出发，用部分换元让不等式证明得以简化。五，均值换元法在遇到已知条件给出一个等式，如a+b=1，且ab，a0，b0时，可以肯定其中必有一个大于它们的平均数 ，另一个小于它们的平均数 ，不妨令a= +m，b= -m，从而将两个未知数a、b通过换元转化成关于m这一个未知数的不等式，从而使证明简单化。例5，已知a，bR，且a+b=1 求证：证明：，所以可设，左边右边当且仅

5、当t=0时，等号成立从不等式的证明过程中，我们可以知道在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。六，几何图形换元。根据不等式已知条件的结构特点，构出适合条件的图形，通过图形启发思维，找到解题捷径。例6，设a，b，c是三角形的三边长，求证：分析：如图1，D、E、F分别是ABC的内切圆与边BC、CA、AB的切点，令AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z，则a=y+z，b=z+x，c=x+y，x，y，z，通过代换，关于a,b,c的不等式就转化为关于正实数x,y,z的不等式了。证明：令AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z，则a=y+z，b=z+x，c=x+y，x

6、，y，z,则欲证明的不等式等价为： 因为 相加，得从而原不等式得证。 图1从不等式的证明过程中，我们可以看出在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。七，对称性换元例1已知a,b,c，求证abc（b+ca）（c+a-b）（a+b-c）.分析：经过观察，我们发现把a,b,c中的两个互换不等式不变，说明这是一个对称不等式，如果我们令x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c.则元不等式可化为：（x+y）(y+z(z+x 8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式，因而可以上述换元证明不等式。证明：令x=b+c-a y=c+a-b

7、 z=a+b-c 则 因为a,b,c 所以当xyz0 有（x+y）(y+z(z+x8xyz.当xyz0时，有x,y,z(否则x,y,z中必有两个不为正值，不妨设x0,y0,则c0,这与c0矛盾。因此 （x+y）(y+z(z+x 8xyz.综上所述恒有（x+y）(y+z(z+x 8xyz.把x,y,z代入式得abc（b+ca）（c+a-b）（a+b-c）。从不等式的证明过程中，我们可以知道对称不等式可以结合不等式的具体形式换元简化不等式的结构，使不等式容易证明八，向量换元。一般是构造出与欲证明不等式相关两个向量，利用达到证明目的。例8，设任意实数x，y满足，求证：分析：利用证明不等式证明：构造向

8、量，由向量数量积性质得所以即从不等式的证明过程中，我们可以知道把题中的数式的局部换成向量的坐标，运用内积有关性质，使不等式得以简证。九，增量换元增量换元法是在对称式(任意交换两个字母，代数式不变和给定字母顺序(如abc等的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。例9，设x，y，z是非负实数，且x+y+z=1，求证：yz+zx+xy-2xyz。 证明：因为x，y，z的全对称性，不妨设， 令，其中=从不等式的证明过程中，我们可以知道从要不等式的整体结构把握，适度进行变量代换，可

9、使问题简单明了。十，和差换元。在题中有两个变量x，y，可设x=a+b，y=a-b，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。例10，对任意实数a,b,求证分析：对于任意实数，a，b都有a=,b=，令s=,t=，则a=s+t,b=s-t.证明：设a=s+t,b=s-t, 下面只需证s(因为右边-左边=11s 所以s（即原命题得证。从不等式的证明过程中，我们可以知道，利用和差换元，可以简证难度较大的不等式。十一，分式换元例11，已知a，b，且a+b=1，求证：分析：本题的证明方法很多，下面利用分式换元的方法来进行证明。证明：设则当且仅当即a=b=时等号成立。从不等式的证明中，我们知道证明不等式时，

10、可以利用分式换元，使其分式结构变得简单，分母变为单项式，然后把分式按分子逐项分离，便于利用均值不等式。十二，比值换元比值换元是对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个值，然后代入求证式即可。例12，已知x-1=求证：分析：已知条件是一个比值等式，可考虑引进新的变量k，把x，y，z均用k表示，从而减少变量的个数，容易找到证明的方法。证明：设x-1=，于是x=k+1，y=2k-1，z=3k+2所以=十三，复数换元例13，已知x，y，求证分析：从不等式的左边的结构特点容易联想到复数的模。证明：所证式即为令z=（x-1）+（y-1）i，z=（x-2）+yi则=即从不等式的证明中，我们可以知道，利用复数换元，把复数的模的一些基本性质应用到实数不等式的证明中，对于一些较为复杂的不等式给出简单的证明。十四，常值换元例14，求证：分析：从不等式本身特殊情况看，容易让我们联想到待征不等式的一般问题是证明：设n=2004即证（n！）两端同时开你（n+1）次方得所以总之用换元法证明不等式的换元方法多种多样，变换灵活，以上我们在用换元法时证明不等式经常用换元法。再换元方法中，每种方法各有特点，从上述方法可以看出，各种方法各有优