高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习新人教A版选修2_1

1、2.3.1双曲线及其标准方程（建议用时：40分钟）6、选择题1.已知平面内两定点丹一5,0) , R5,0),动点 M满足|MA |MB = 6,则点 M的轨迹方程是（）A.162y=9 2y9=1(x>4)22C.16D- /*1(x")【答案】D 由题意知，轨迹应为以A（ -5,0） , B（5,0）为焦点的双曲线的右支.由 c=5, a=3,知 b = 16,22.x y，P点的轨迹方程为 万一行=1（x>3）. 916222.若方程-x- + -y-= 1 , kC R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是（）k十3 k十2A. 3<k<2B. k

2、<- 3C. k< 3 或 k> 2D. k> 2k+ 3>0【答案】A 由题意知；,解得3<k< 2.k+2<03.已知双曲线的中心在原点，两个焦点Fi, F2分另11为（木,0）和（一寸5, 0）,点P在双曲线上，且PFXPR, APFFz的面积为1,则双曲线的方程为（22x yA 23=1_ x1 22C. -y = 14B.D.22x y = 13222 y .x -= 14右焦点F2, |AE| = m Fl为另一焦点，则 ABF的周长为（）B. 4a +2mA. 2a+ 2mC. a+ mD. 2a +4m【答案】B 由题意知| AF

3、| | AF| =2a'| BF| -| BF| =2a,| AF| = 2a+ | AF>| BF| =2a+| BF且 |A桎| 十| B桎| =| AB = m所以 ABF的周长为 |AFi| + |BF|+|AB=4a+2m5.已知双曲线过点Pij 2, 羊，口已呼，4）,则双曲线的标准方程为（）A.C.229-16X? y2 16- 5B.D.22/徐122上X=116 9【答案】B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mX+ny2 =45一 .4m 4 n= 11(mr<0).因为 川一2, 3251 Pa147, 4所点在双曲线上，所以1 出一16

4、 解得1| m+ 16n= 1922,于是所求双曲线的标准方程为1含=1.故选B.二、填空题26.设F1, F2是双曲线X2 24=1的两个焦点，P是双曲线上一点，且 3| PF| =4| PR| , 则APFFz的面积等于 .【答案】24 双曲线的实轴长为 2,焦距为| FF2| =2X5= 10.由题意，知| PF| | PE| =4| PE| |PF| =g| PE| =2, .-.| PF>| =6, |PF| =8,. | PE| 2+| PE| 2= | 爪|2, . PFIPE, 33-11 S/ pf F2= 21 PF|PE| =2*6*8= 24.7 .以椭圆x-+y

5、7=1长轴的两端点为焦点，且经过点 （3, 赤）的双曲线方程的标准方8 5程为.22x轴上，且c=2.、2【答案】1 5=1 由题意得，双曲线的焦点在设双曲线的标准方程为22a2 b2= 1( a>0,b>0),则有 a* 2+b2=c2=8,9 10孑一=1,解得 a2= 3, b2= 5.22故所求双曲线的标准方程为y-y5=1.8. 一动圆过定点 A(4,0),且与定圆 B: (x 4)2 xy曲线C的方程为-1=1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得II MA |MB| =|PA |PB<| AB =4.曲线C是以A B为焦点的双曲线.+y2= 16相外切，

6、则动圆圆心的轨迹方程为.22【答案】卷=1(xw 2)设动圆圆心为 P,由题意知| PB =| PA+4,即I PB | PA= 4<|AB,则动圆圆心P的轨迹是以点 A, B为焦点的双曲线的左支，又 a=2, c=4,则b222= 12,故动圆圆心的轨迹方程为 x4-；y2=1(x<- 2).三、解答题9.如图2-3-3,在以点 O为圆心，|AB=4为直径的半圆 AD珅，ODLAB P是半圆弧 上一点，/ POB= 30° ,曲线 C是满足| MA|MB|为定值的动点 M的轨迹，且曲线 C过点 P,建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程.图 2-3-3【答案】法一：

7、以O为原点，AB, O所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 则 A( 2,0) , B(2,0) , D(0 , 2) , R .3, 1),依题意得 | MA | MB| = | PA | PB =设双曲线的方程为X22【b2= 1(a>0,他)2 11-2；2= 1 ,b>0)，则有 4 a b82+ b2= 4,解得 a2=b2=2.22曲线c的方程为X2-2=1.10.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【答案】(1)当k=0时，y=±2,表布两条与x轴平行的直线；(2)当k= 1时，方程为x2+y2=

8、 4,表示圆心在原点，半径为 2的圆;22(3)当k<0时，方程为y4 2彳=1,表示焦点在y轴上的双曲线；-k22(4)当0vkv1时，方程为；+ =1,表示焦点在x轴上的椭圆；k22(5)当k> 1时，方程为4 + 4=1,表示焦点在y轴上的椭圆.k一"、E x2y2”十 m日曰兀)则关于x, y的万程 丁 +Wr =1所表不的曲线是(A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【答案】B 由题意，知sinx 0 _ c0s 0 =1,因为0 £ 兀!；所以sin 0 >0, cos 0 >0,则方

9、程表示焦点在 x轴上的双曲线.故选 B.222.已知P为双曲线x-y9=1右支上一点，Fi, F2分别为双曲线的左、右焦点，凶为 PF1F2的内心，若 SA PMF= SA PMF+ 8,则4 MFE的面积为()A. 2巾 B . 10C. 8D. 6【答案】B 设 PFF2的内切圆的半径为 R,由题意，知a=4, b=3, c= 5. -. SA PMF一-11_ _=0 PMf+ 8,2(| PF|- PF2|) R= 8，即 aR= 8,R= 2, . SmfW 2 c R= 10,故选B.3.已知双曲线x-三=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上的一点，且 PF与圆x2 + 16 25y

10、2=16相切于点N, M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN |MO=.【答案】一1 设F'是双曲线的右焦点， 连接PF'(图略)，因为M O分别是FP, FF'.1 一, 1的中点，所以|MO = 2|PF | ,又| FN =4|OF2 = 1.6805X340I ON2 =5,由双曲线的定义知|PF|PF I,1.1,1=8,故 | MNI MO= I MF I FN 2|PF I = 2(| PF I PF I) | FN =万><8 5=- 1.224 .已知方程 V=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取m+n 3mn值范围是.

11、【答案】(一1,3)由题意得(M+n)(3 m2n)>0 ,解得一n2<n<3ni,又由该双曲线两焦 点间的距离为4,得n2+ n+3ni-n=4,即n2= 1,所以一1<n<3.5 .某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位置 (假定当时声音传播的速度为 340 m/s,相关 各点均在同一平面上).【答案】以接报中心为原点O正东、正北方向分别为 x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系.设A, B, C分别是

12、正西、正东、正北观测点，则代1 020,0) , B(1 020,0) , C(0,1 020).设P(x, y)为巨响产生点，由A, C同时听到巨响声，得I PA = I PC ,故P在AC的垂直平分线 PO上，PO勺方程为y = x.点B比点A晚4 s听到巨响声，. I PB I PA =340X 4= 1 360.22由双曲线的定义，知点 Rx, y)在以A, B为焦点的双曲线%b2=1的左支上，二. x<0.依题意，得 a=680, c=1 020 ,b2=c2-a2= 1 020 2-6802=5X3402,故双曲线的方程为22将丫= x代入上式，得 x= 68045或x = 680?(舍去)， . y=6805,即 P( 6805, 680,5),故 | PO = 680q10.，巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心 680«iOm处.1 PF| - I PF| =2,【答案】C 由ijpfJ+ipei2：.&)2