实变函数问题

1、实数的完备性1 实数连续性的等价描述 1求数列Jn的上、下确界： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2设在上定义，求证： (1) (2) 3设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何? 4试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界 5试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限2 实数闭区间的紧致性 1利用有限覆盖定理92证明紧致性定理94 2利用紧致性定理证明单调有界数列必

2、有极限 3用区间套定理证明单调有界数列必有极限 4试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样?试举例说明 5若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 (为有限数) 6有界数列若不收敛，则必存在两个子列 7求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列8设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界 9设在无界，求证：存在，对任给，函数在上无界 10设是上的凸函数，且有上界，求证：存在11设在上只有第一类间断点，定义求证：任意的点只有有限多个 12设在上连续且有界，对任意，在上只有有限个根或无根，求证：存在3 实数的完备性 1，

3、设在连续，求证：在一致连续的充要条件是与都存在，2求证数列当时的极限不存在3利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性：(1) (2) (3) 4证明存在的充要条件是：对任意给定，存在，当时，恒有 5证明在点连续的充要条件是：任给，存在，当时，恒有 6证明下列极限不存在： (1) (2) (3) (4) (5) 7设在上可导，单调下降，且存在，求证 8设在可导，且，任给，令求证， (1) 存在； (2) 上述极限为的根，且是唯一的 9设在满足条件： (1) (2) 的值域包含在内则对任意，令，有 (1) 存在；(2)方程的解在上是唯一的，这个解就是上述极限值4 再论闭区间上连续函数的性质 1设在上连

4、续，并且最大值点是唯一的，又设，使，求证 2设在上连续，可微，又设 (1) (2) 如果，则有，求证：的根只有有限多个 3设在连续，求证：存在，使，且4设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证：必存在区间，满足条件： (1)或； (2) ，当 5在连续，且，求证：存在，使 6设在上连续，且取值为整数，求证：常数 7设在上一致连续，证明在上有界； 8若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数，使得证明：在上一致连续 9试用一致连续的定义证明：若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续 10设在上连续，且与存在证明；在上一致连续11若在区间 (有穷或无穷)中具有有界的导数，即，则在中一致连续 12求证：在上一致连续 13设在上可导，且，求证：在上不一致连续14求证：在上不一致连续5 可积性 1判断下列函数在区间上的可积性：(1) 在上有界，不连续点为；(2) (3) (4) 2讨论三者间可积性的关系 3设都在上可积，证明：在上也是可积的4设在上可积，且，求证： (1) 在可积； (2) 在可积 5设在可积，求证：任给，存在逐段为常数的函数，使 6设在上有界，定义 求证 7设在附近有定义且有界，定义 求证：在连续的充分必要条件为 8若函数在可积，证明： 其中 (这一性质称为积分的连续性) 9对任意省仨成立，求证： 10设在有连续的导函数，求证：