上海海事大学高数第二学期期末考试试卷

1、上海海事大学试卷2021 2021学年第二学期期末测试 高等数学A 二 A卷本次测试不能使用计算器班级学号姓名总分题目一二三1三三3三(4)三(5)三(6)三得分阅卷人-、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中 本大题分5小题,每题4分,共20分32,1、设 f (x, y) = x y +xy -2x+3y -1 ,贝U fy (3,2)=()(B) 40(D) 39(A) 41(C) 422、设圆域D: x2+y2w 1,f是域D上的连续函数,那么(A) 23r r)drJo 27t f1 y( r2)dr0an -13、如果limxf ： an/(4 + /

2、) d?=(B) 4n rf( r)drJ u (D) 4ir I rf( r)dr*J 0答(1二 c3nQ,那么哥级数 an x8n z0A当x 2时,收敛;B当x 时,发散；81D当x A 时,发放；2答x2yzf(x,y2,z3),贝U I =4、设为球体 x2+y2+z2w 1,fx,y,z在上连续,1=(A) 4x2yzf(x,y2z3)dv工x2yzf(x,y2,z3)dv(C) 2| |x2yzf(x,y2,z3)dv(D)0F0答()5、设L是圆周x2+y2=a2(a0)负向一周,那么曲线积分?(x3 - 工 + (xy2 -J L()(A) -(B) - wa4J(C) 一

3、(D)浮二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题,每题4分,共20分)1、设 f(x,y,z) =ln(x2 +y2 +z2),贝U gradf (1,1,2) =2、xyz + Jx2 +y2 +z2 = M2,在(1,0,-1)处全彳分 dz = 2223、设L为圆周x +y =1 ,那么,x ds =4、如果哥级数 工anxn在x= -2处条件收敛,那么收敛半径为 R= 5、曲面zez +2xy=3在1, 2, 0处切平面方程为 三计算题必须有解题过程本大题分7小题,共60分1、本小题8分一oo2u2u u=lnyx1 +y1,试求： -2+2x y2、本小题8分求函数z =

4、x3 + y3 3x2 -3y2的极值.3、此题12分,每题6分判别以下级数的敛散性,假设是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛.2n 12nod(1) (n 1-1七 n444、每题8分在0, n 内把函数f x = n - x展开成以2 n为周期的正弦级数.5、(本小题8分)计算q：jx2dydz + y2dxdz + xydxdy ,工为曲面z = x2 + y2和z = 1所围立体外表外侧. Z6、(本小题8分)fn(x)满足f；(x) = fn(x)+xnex, n为正整数,且 八二,n-ba求：“ fn(x)n 17、本小题8分fx连续,且满足xf (x) =sinx - fo(x

5、-t) f (t)dt,求 f (x). 高等数学A 二?A卷答案一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中本大题分5小题,每题4分,共20分1、C 2、A. 3、 A 4、D5、A二、填空题本大题分5小题,每题4分,共20分1 12、1、 1-1一,一：3 3 31Uxx2、dx -,2dyy -1U y =22(x-1)(y -1)Uyy22(y-1)2(x-1)2 (y-1)2 (x-1)2 (y-1)22Uxx +Uyy = 0.(8分)2、本小题8分2zx = 3x -6x =0 /口,.2,得驻点(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)zy =3

6、y -6y =02D =ZxxZyy -Zxy =36(x -1)(y -1)D(0,0) =360,zxx = -6:二 0,D(2,0)= -36:二 0, D(0,2) = -36 :二 0D(2,2) =360,Zxx(2,2)=6 0点0,2, 2,0非极值点；函数z在点0,0处取极大值z0,0 = 0 ; 7分在点2,2处取极小值z2,2 = 8.=448分3、本小题12分解：Un=W2nd丁 P =lim Vu7 = lim ()k = 0;y 0;z0.u=f(t)是(00 ,+oo)上的偶函数,且在(0, +oo)上严格单调增加,那么()(A) x f (x)dv=4 |l,

7、 x f (x)dv(B) f (x+z)dv=4 |l. f (x+z)dv碉%叫%(C)I, f (x+y)dv=4 |ll f (x+y)dv 丐均(D)f (xyz)dv=4 f (xyz)d va5、微分方程y + y2=yeNy满足条件y0 = 0,y0 = 1的解是1(A) -e22x 1 x入二2 y1(B) -e 22x(C) e2y=1 -2x(D) e2y= 2x1答二、填空题将正确答案填在横线上本大题分5小题,每题4分,共20分222-1、设 f x,y, z =qx +y +z ,那么 gradf 1, 1,42 =2、ez =xyz+1确定了 &x,y的函数,那么全

8、微分 dz =3、设 L 为圆周 x2 +y2 =4,那么 (x2 +2x)ds=4、如果哥级数 工anxn在x= 4处条件收敛,那么收敛半径为 R= 5、x2- y2+z2=3在点1, 1, 1的切平面方程为 三计算题必须有解题过程本大题分7小题,共60分1、本小题8分 z =ln、；1+x2 +y2 ,试求:-2-2二 u二-2-x:y2、本小题8分试求曲面4z=x2+y2含于球面x2+y2+z2=12内部局部曲面的面积.3、此题12分,每题6分判别以下级数的敛散性,假设是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛.二 2(1) %. 2nm n!尸而吃4、(本小题8分)在0,何内把函数f(x)

9、=n-x展开成以2 n为周期的余弦级数.5、本小题8分2 .222计算 狎x dydz + y dxdz + zdxdy ,工为曲面z = qx +y和z =1所围立体外表外侧.6、本小题8分求微分方程y+2y-3y =0的一条积分曲线,使其在原点处与直线y = 4x相切.7、(本小题8分)设 F (x) = f (x)g(x),其中 f (x), g(x)在(-叫+)内满足 f,=g,g=f,且 f (0) =0, f (x) +g(x) =2ex,求：1) F(x)满足的方程,2) F(x) 高等数学A 二 B卷答案一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中本

10、大题分5小题,每题4分,共20分1、B 2、C. 3、 D 4、D5、C二、填空题本大题分5小题,每题4分,共20分1 -1 22 1、一,一,一J2 22,2 yzdx + xzdy ez -xy3、8 二4、45、x - y z -1 =0三、解答以下各题本大题共7小题,总计60分1、本小题8分加解：UxUxxX221 x y1 y2 -x2(1 +x2 +y2 21 x2 - y2一(1 +x2 +y2 22Uxx Uyy =； 7T 1 x2 y2(8分)2、(本小题8分)S = JJl + 比d工dyID巧=y j j r -4 + 产drID 0-?-(3 冉-1 )nJ103、本

11、小题12分,i 2n-1解：Un =0, n!lim unt = lim = 0 : n 1一 一一一 111(2)解：:士 ,? -,级数加绝对值发散3分nd ln(1 n) ln(1 n) n111又lim = 0,收敛,所以nln(1n) ln(1 n) ln( 2 n)原级数条件收敛.6分4、本小题8分解：对f x=冗一 x,0 E x E n在一五,0内作偶延拓,1分所以 bn =0, n =1,2,3,2 ：、,a0 = 1(nx)dx = n ,2 分二02 二2二 2 二an= (二-x)cosnxdx=(二-x)sin nx sin nxd x二0n 二0 n二 027r 2

12、n= -cosnx 1-(-1)n,n= 1,2,3,n n0nlin = 1,2,3,6 分所以,a2n = 0,a2n J =2-(2n -1)二故在0,兀内f(x)=二x = 公2二ncos(2n - 1)x(2n-1)25、(本小题8分)解：原式=JJJ(2x + 2y+1)dv4 分2 二.11= d f rdr ( (2rcos +2rsin +1)dz 6分0,0 T1=8分36、(此题8分)方程的通解为y = 3ex+C2ex(3 分)由y(0) =0,y(0) =4 ,代入上式得G=1,C2=-1(7 分)故所求积分曲线的方程为y = ex -ex(8 分)7、(此题8分)解

13、：1) F= f g + fg= f 2 + g2 = (f + g)2 2fg 2分二 F (x) +2F(x) =4ex4 分2) F(x) = J4exe ?dxdx+Ce2 e2x+Ce4x,6 分F(0)=0, C=-1 F(x)=e2x-e8分上海海事大学试卷2021 2021学年第二学期期末测试 高等数学A 二 C卷本次测试不能使用计算器班级学号姓名总分题目一二三1三三3三(4)三(5)三(6)三(7 )得分阅卷人-、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中 本大题分5小题,每题4分,共20分321、设 f (x, y) =xy +x y2x+3y1

14、,那么 fy (3,1)=()(A) 21(B) 20(C) 22(D)192、设上半圆域D: x2+y2W1, y之0f是域D上的连续函数,那么f(x2 y2)dxdy =方？密D?2(A)?2i rf (r2)dr?2(C)Mn 4 f(r )dr?2(B)?兀 j?rf (r2)dr?2(D)?二 0 f (r2)dr3、如果lim nJotan 1CO,那么哥级数 anx2 nn z0A当x ,、(B) 4xyzf(x2,y,z3)dv222r + y + r鼻勿盯?口(C) 2xyzf(x2,y,z3)dv(D)0322i +/+!答()5、设L是圆周x2+y2=1正向一周,那么曲线

15、积分l (x - y)dx xdy = ? ?(A)Q ：? B ?l ? C ?-2 ? D ?-4 -：二、填空题将正确答案填在横线上本大题分5小题,每题4分,共20分1、设 f x,y,z =,x2 +y2 +z2 ,那么 gradf 1,1 N2 =2、 2xyz+x2 +y2 +z2 =2,在1,0,1处全微分 dz =3、设 L 为圆周 x2 +y2 =1 ,那么 Ly2ds =4、如果哥级数 工anxn在x= 3处条件收敛,那么收敛半径为R= 5、曲面z-ez +2x + y=3在1, 2, 0处切平面方程为 三计算题必须有解题过程本大题分7小题,共60分1、本小题8分 二 2

16、二 2 z = ln Mx2 + y2,试求：2 + 2x t y2、本小题8分求函数z = x3 + y3 -6x2 -3y2 +1的极值.3、此题12分,每题6分判别以下级数的敛散性,假设是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛oO1n2 2n 14、每题8分在0, n内把函数 乂=乂展开成以2冗为周期的正弦级数.5、本小题8分计算 刊xdydz + ydxdz + xydxdy ,工为曲面z = x2 + y2和z = 1所围立体外表外侧.6、本小题8分求微分方程y +2y -3y = 0的一条积分曲线,使其在原点处与直线y = 4x相切.7、(本小题8分)设 F (x) = f (x)g

17、(x),其中 f (x), g(x)在(-8,+o)内满足 f,=g,g,=f,且 f (0) =0, f (x) +g(x) =2ex,求：1) F(x)满足的方程,2) F(x)o 高等数学A 二 C卷答案一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中 本大题分5小题,每题4分,共20分1、A 2、B 3、A 4、 D 5、 B二、填空题本大题分5小题,每题4分,共20分1 -1 应：2、dx -dy3、二4、35、2x y - 4 = 0三、解答以下各题本大题共7小题,总计60分1、本小题8分方？解：Zx =Zxx =x22x y122x y2x22212x y

18、 zyx y2y2x2 y222、本小题解：由ZxZxx Z Zyy = 0.8分)- 2=3x - 12x = 02 ccZy = 3y _6 y = 0(8分),得驻点(0,0),(0,2),(4,0),(4,2)2D = ZxxZyy - Zxy 36(X - 2)( 丫 -1)D(0,0) =72 0,zxx = -12 :二 0,D(4,0) = -72 :二 0,D(0,2) = -72 :二 0D(4,2) =72 0,Zxx(4,2) =12 0点0,2,4,0非极值点；函数Z在点0,0处取极大值Z0,0=1;7分在点4,2处取极小值z4,2 = -35.3、本小题12分解：u

19、n=含广nm江=um 五=已1,原级数收敛(2)解：: limn 1 3ni：3C30工Un收敛,所以原级数绝对收敛.6分n 14、本小题8分解：在冗,0内又fx做奇延拓,延拓后所得函数的Fourier系数 1分an=0, n =0,1,2,3 分,2 二. ,bn = xsin nxdx二 022n 1 2xcosnx cosnxdx = (-1), n= 1,2,3,n 二 0 n二0n6分由f (x )在0,兀)内连续,单调,故在(0,日)内6f x) = x =2%n 1(-1)n*sinnxn5、本小题8分解：原式=| | |1 - 1 - 0dv 4 分=2V 6 分_ 2 二一

20、36、此题8分方程的通解为y =C1ex +C2ex3 分由y0 =0,y0 =4 ,代入上式得G=1,C2=-17 分故所求积分曲线的方程为y = ex -ex8 分7、(此题8分)解：1) F,= f g + fg,= f2 + g2 = (f + g)2 _2fg, F(x) +2F(x) =4ex4 分2)F(x) = J4exe Pdxdx+Ce2dx =e2x +Cex,F(0)=0, C=-1 F(x)=e2x_eNx海事大学试卷20212021学年第二学期期末测试等数学A 二船?A卷、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中本大题分4小题,每题4分,

21、共16分21、设L为下半圆周x + y二1y0满足fx = ex+je2d、dt,求f x所满足的微分方程并求解.5、本小题5分2判别级数Z sin 一的敛散性 n 1 n6、本小题5分判别级数cosn 7r的敛散性,假设收敛,说明其是绝对收敛还是条件收敛 nd n 17、本小题8分2试将函数 y=arctanx展开为x的帚级数8、(本小题8分)2222口 (x -yz)dydz+(y -zx)dzdx +2zdxdy , ：z = 1Jx +y 被 z=0 所截上侧.Z9、(本小题7分)假设对平面上任何简单闭曲线L ,恒有q2xyf (x)d x+ f (x) - x2 d y = 0 ,其

22、中f (x)在(-o ,+=c)内具有连续的一阶导数,且f (0) = 2 ,试求f (x).10、(本小题6分)1 二一一二 a 一f(x)=2 = anxn,证实工 n平 收敛.1 _ x _ x n 1n 4 an an 2试卷号：?高等数学B 二船?A卷答案一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中本大题分4小题,每题4分,共16分1、答：D 2、A 3、C4、B二、填空题将正确答案填在横线上本大题分4小题,每题4分,共16分1、2一 *2、y = xAcos4x Bsin4xydx xdyez 14、三、解答以下各题本大题共10小题,总计68分1、本小题

23、7分cos 二I 二/ndH 工f (r cos8,rsInH)rdr7 分-22、本小题6分1/八、Zx =一(6 分)x3、(本小题8分)Z =3x2 3y +6 = 0C 9)由xy,得驻点(0,2), -,9zy = -3x +6y -12 =0ZxxZyxZxy zyy6x -3 = 36x9-3 6D(0,2) =9 01 9),zxx -,一12 4)-3 0d&4)=9 0点0,2非极值点.一,一, 一 门 9,、函数z无极大值点,在点 -9 1处取极小值.8分4、本小题8分X2X2 x t2fx=e +e e e f tdt 2分f x =2xf x + f x3 分故fx所

24、满足的微分方程是f (x) =(2x+1)f (x)、-f(0)=1f(x) =C 2x 1(4分)6分C=1, f(x)=x；2x+15、本小题5分一2 八解：un = sin 一 0, nu n lim 2,. n F： 1,一二1,原级数与 -同发散.n工n6、本小题5分= 0,-n 1n1一,一,一一所以原级数条件收敛.27、本小题8分解：y = 2x4= 2x (-1Jx4n1 +xn=0,4 分二二4n 2 二二4n 2=2、-1 n- =、-1 n-n 0 4n 2nz02n 1x I- 1, 1 1o8、本小题8分补一曲面2： x2+y2 =1下侧.那么原式=f -ff 3分E

25、 2(x y 1)dvQ2 二39、本小题7分 解：- 2xyf (x) I - f(x) - x1 3.一一=+ =3 局部和,拆项. a a2 2jy：:x小2xf(x)=2x2f(x) = -1 Cex由 f (0) = 2,求得C =3,故 f(x) - -1 3ex7分10、本小题6分证实：1 x-x2、anx, n 1n =1,anxn卡=1 2 分be.a0 a1x -二：an 2xn.(a0xn =0-be- -an .1Xn=0-ben 1、)-ann =0n:f2X = 1a.=1,a1-1, an =2 - an 1 - an=0,an 1an an 2anan 2a2

26、= a1 . % = 2, a3 = a2 . a1 = 3, an - nlim n /= 0,_aL_ nd an an 2所以级数收敛海事大学试20212021学年第二学期期末测试等数学A (二)(船)?(B卷)(本次测试不得使用计算器)班级学号姓名总分(A) 36 兀;(C) 20;2、设汇为柱面I izdxdy xdydz ydxdz = E31 /2(A) 3ygU1-x dx；(B)jdzRl2 .-y dy；(C) 31d6 卜1 r2rdr;(D)2 二13 0 d 810 r cosdr .题目一二三12345678910得分阅卷人-、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选

27、出一个正确答案,填在题末的括号中)(-5天画芬-4不顾玉了画了芬英-布-芬丁221、设C表示椭圆、一 +匕=1,其方向为逆时针方向,那么曲线积分 (2x + y2 )dx =()49C(B) 0;(D)-18ttXz3、设 z = 2xy+(y-1) arcsin J - ,那么 ycx(1.1)(A) 0(B) 2ji(C) 2-n(D) 2+ -.4、旋转抛物面/ 、 x -1(A)二2/x -1(C) -2z=x2+2y2-4 在点(1,-1,-1)处的法线方程为()-1z 1x -1(B):2x 1-1(D)-2一 4y-14z 7-1x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限

28、局部,那么二、填空题将正确答案填在横线上本大题分4小题,每题4分,共16分cO1、级数Zn卫2n(x-1)_n2 n!的和函数为2、微分方程y4y =2cos4x用待定系数法确定的 特解形式是 3、设 z =zx, y,由 F x+三,y+三=0 给出,Fu,v可微 y xz ；z贝U x一 y一 = Fx；:y22y ,y24、交换 1 dy2, fx,ydx 得三计算题必须有解题过程本大题分10小题,共68分1、本小题7分D 由 x+y=1,x y=1,x =0 围成,求 JJxdcr D2、本小题6分设z3-3xyz =1确定了 z是x, y的二元函数,求 N.3、(本小题8分)求f (

29、x, y) = (x2 2x + y)ey的极值点和极值.4、(本小题8分)求解微分方程ydx -(x - y)dy =0的通解5、本小题5分2 n二二 ncos 判别级数 3-的敛散性nJ n 16、本小题5分判别级数 1nsinan 1, a .1的敛散性,假设收敛,说明其是绝对收敛还是条件收敛 n 1 a7、本小题8分1试将函数fx= 2展开为x的哥级数.x2 3x 28、(本小题8分)计算q寸xz2dydz + yx2dzdx + zy2dxdy其中二是球面 x2+y2+z2=l的外侧. Z9、(本小题7分)2(xy(x+y)yf (x)dx+(f (x) + x y)dy = 0为全微分 万程,其中函数 f(x)连续可微,f (0) = 0 ,试求函数f(x),并求该