2021版江苏高考数学一轮复习集训17利用导数解决函数的单调性问题

1、课后限时集训利用导数解决函数的单调性问题建议用时:45分钟(对应学生用书第240页)4组基础巩固练一、选择题1 .函数/(x) =3+xlnx的单调递减区间是()B因为函数/(x)的定义域为(0, +°°),且，(x) =ln x+x-=ln xA+ 1,令/ (x) <0,解得 OVxv1, e所以/)的单调递减区间是(o, £).2 .已知函数/(x)的导函数/ (x)的图象如图所示，则函数/(工)的图象 可能是()ABC 由导函数/' (x)的图象可知，函数y=/(x)先减再增，可排除选 项A, B:又/ (x) =0的根为正数，即y=/(x)

2、的极值点为正数，所以可排除选项D,选C.3 .若函数/(x) =Hlnx在区间(1, +8)上单调递增，则k的取值范围 是()A. (8, 2B. (8, 1C. 2, +8)D. 1, +8)D 由于/' (x) =k-/ (x) =h-lnx 在区间(1, +°°)上单调递 .X增，"(x)=攵一1三0在(1, +°°)上恒成立.由于左N，而OVV1, XAX所以即攵的取值范围为1, +8).4.设函数f (x)91n a在区间a1, ”+l上单调递减，则实数a的取值范围是()A. (1,2B. (4, +8)C. (一8, 2)D

3、, (0,3199A 因为/(x) =29In x,所以， (x) =x; (x>0),由 x:WO, Z.-VA得0<xW3,所以/(x)在(0,3上是减函数，则a1, a+1 G (0,3,所以。一1>0 且 a+lW3,解得 1V“W2.5 .若函数/(x)在R上可导，且满足/(x) <xf (x),则下列关系成立的 是()A.2f (1) <f (2)B.2/1 (1) >f (2)C.2f (1) =/ (2)D./ (1) =/ (2)A 设 g (%)="上，则屋(x)=寸"(X)J' G).因为 / (x) <

4、;xf(x),所以g' G) >0,所以函数g (x)在区间(0, +8)上单调递增，所 以匕12/2,即4(1) V/(2).故选 A. 1乙二、填空题6 .函数/(X)=nx-ax («>0)的单调递增区间为.0, J由题意，知/(X)的定义域为(0, +°°),由广(A-) =3 4>0 G/>0),得OVxV：, /(X)的单调递增区间为(0,：).7 .若函数/(x) =,，+3/一工恰好有三个单调区间，则实数。的取值范围 是.(-3,0) U (0, +8) 由题意知/' (a) =3加+6%一1,由函数/(x)

5、 恰好有三个单调区间，得了' (a)有两个不相等的零点，所以3+6x-l=0 需满足“WO,且=36+1皆>0,解得>一3且aWO,所以实数a的取值范围 是(-3,0)U(0, +8).8 .若函数/(x) =ln工一%/一2%存在单调递减区间，则实数。的取值范围 是.1 cix"-2a,1 1, +°° )/' (%) =一一c/x2=;,由题意知， (x) <XX0有实数解，Vx>0,.,.+2x-l>0有实数解.当。20时，显然满足；当 “V0 时，只需/=4+4。>0,，一 IV4 Vo.综上知。>

6、一1三、解答题9 . (2020无锡期初)已知函数/ (x) =lnx, g (x) =ax2+2x (aWO).（1）若函数（x） =/（x） g （x）存在单调递减区间，求”的取值范围;（2）若函数/? （x） =f （x） g （x）在1,4上单调递减，求。的取值范 围.解(1) h (x) =nxax22x, aG (0, +°0),所以/?' （x） =-t/A2,由于/? （x）在（0, +°°）上存在单调递减区间, 所以当（0, +oo）时，一如一2Vo有解.X1 2即。有解，设 G （x） W所以只要。>G（X）min即可.2而 G（

7、A-） =（：一 1）一1,所以 G （x） min=-l.所以a > 1,即a的取值范围是（一1, + 8 ）.（2）由/? （x）在1,4上单调递减得，当1,4时，h' （x）=一以一2<0恒成立, . 112即a恒成立.入 x所以 aNG（X）max_! 1因为1,4,所以段-,147所以G（X）max=一而（此时X = 4）,所以即。的取值范围是一白，+ 8.16/10 .已知函数/（X）=-ax-.（1）若/（X）在R上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数/（x）在上为单调减函数，求实数”的取值范围;（3）若函数/（x）的单调递减区间为求实数。的值；（4）若

8、函数/（X）在区间（一1,1）上不单调，求实数。的取值范围.解（1）因为/（X）在（-8, H-OO）上是增函数，所以（x） =3/一。三0在（一8, 4-oo）上恒成立，即。对x£R恒成立.因为3/20,所以只需“W0.又因为 “=0 时，（X）=3f20,fG） =/-1在R上是增函数，所以W0,即实数的取值范围为（一8, 0.（2）由题意知广 G） =3记一“W0在（一1,1）上恒成立，所以在（一 1,1）上恒成立，因为当一IVxVl时，3/V3,所以“23,所以。的取值范围为3, +8）.（3）由题意知，（a） =3/一/则/（、）的单调递减区间为（一巧，弱,又/<）的

9、单调递减区间为（一1,1）, 所以率=1,解得4 = 3.（4）由题意知：f （%） =3/一，当"W0时，r （X）力仇 此时/（x） 在（一8, 4-00）上为增函数，不合题意，故4>0.令，（A-） =0,解得X = ±华.因为f （x）在区间上不单调，所以f （x） =0在（- 1,1）上有 解，需0V卑VI,得0VV3,所以实数。的取值范围为（0,3）.8组综合运用练1. （2016全国卷 I ）若函数/ （x） =aIsin 2x+r/sinx 在（一8,十8）单 调递增，则。的取值范围是（1A. -1,1B. “一亍手Mt，1 ,2C 取。=1,则/&#

10、39;（x） =xsin 2xsin x, f （x） = 1 cos 2xcos2 2X,但，（O） =1T1 = T<0,不具备在（-8, +oo）单调递增的条件，故排除A, B, D.故选C.2 .已知函数），=,（X）的图象如图所示（其中/' （X）是函数/（x）的导 函数）.则下面四个图象中，y=f （x）的图象大致是（）C由条件可知当0<¥<1时，（X）<0,所以，（A-） <0,函数递减.当 x>l 时，M" （x） >0,所以广（x） >0,函数递增，所以当x=l时，函数取得极小值.当工<一1时，

11、xf （x） <0,所以，（x） >0,函数递增.当一luvO时，xf （x） >0,所以，（a） <0,函数递减，所以当工=一1时，函数取得极大值.符合条件的只有C项.3 .已知/ （X）是函数/（X）的导函数，/（I） =e,对于任意的x£R,4（x） f （x） >0,则不等式J （x） Ve2c的解集为.f M（f （%）（1,+8） 设尸（X）=-k,则/ （X）=亨力，因为"（X）f （X）>0,所以尸 （x）f (x) If (x)<0,即F (x)是减函数,f (x) Ve2'T 等价于，盘V 1,即尸(X)

12、<1.又因为f (1) =e,所以尸(1)=百声一=1, C则不等式/G)9门的解集是(1, +8).4 .已知函数g (x) =lnx+2- (2.+ 1) x,若。20,试讨论函数g (x)的 单调性.解g'lax1- (2a+l) x+1(2ax 1) (x 1)=x函数g(A-)的定义域为(0, +8),Y 1当”=0 时，/ (X)=-.由 g' (x) >0,得 OVxVl,由 g' (x) <0,得 x> 1.当。>。时，令/ (x) =0,得x=l 或 x=,若去VI,即由 g' (x) >0,得 x>l

13、 或 0VxV4,由 g' (x) <0,得±VxVl;若:白>1,即 0V“<5，由 g (x) >0,得 或 OVxVl,由 g' (x) <0,得 IVxV；当=1时，即4=时，在(0, +°°)上恒有g' (x)20.综上可得：当。=0时，g (x)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单 调递减;当OVV；时，g (x)在(0,1),七，+司上单调递增，在(1, 0上单调 递减；当4 时，g(X)在(0, +°°)上单调递增；当时，g(X)在0, a), (1, +°

14、°)上单调递增，在(4,1)上单调递 减.C组思维拓展练,且/(XI)1 . (2019南昌模拟)已知函数/(X)=xsinx, xi,也£(一方 </(x2),那么()A.X1 X2>0B.Xi+x2>0C.xt-a5>0D.R一/ VOD 由 ftx) =xsin x,得 f' (x) = sin a+acos x=cos x(tan x+x),当 x£ I。，引 时，/ (x) >0,即/(x)在(0,另上为增函数，又/(-X)= -xsin (-x)= xsin x=f (x),所以/(x)为偶函数，所以当/(内)&l

15、t;/ (x2)时，有/(Nil) <f (lx2l),所以MV如2l, XT-A?<0,故选 D. r 12 .设函数/(x) =6/lnx+,其中。为常数.(1)若。=0,求曲线y=/(x)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)讨论函数/(x)的单调性.解(1)由题意知a=o 时，/ (x) ="qzy,不£(。，+°°).人I 121此时，(X)= (+) 2,可得/" (1)=耳.又/ (1)=0,所以曲线),=/(x)在(1,/'(1)处的切线方程为x2y1=0.(2)函数/(x)的定义域为(0, +8).a 2/

16、+ (2a+2) x+a/ (幻=7+ G+1) 2=x G+1) 2一当。N0时，/' (X)>。，函数/<)在(。，+°°)上递增.当 “VO 时，令 g (x) =ax2+ (2。+2) x+o, 由于/= (2a+2) 246/2=4 (%+1),一12当 ”=-5时，/=o, f (x) =( d wo,函数/O在(0, +°°)上递减.当 “V-；时，J<0, g (x) <0, 乙r (X)<o,函数/<)在(0, +8)上递减.当一：VV0 时，J>0.设即，X2 (X1<X2)是函数g (X)的两个零点， («+ I ) +2a+1 («+ 1) yl2a+1贝 xi=, x?=.a，/a«+ 1 a/2</+ 1 yla2+2a+1 xl2a+1由 x=>0,aa所以 (0, Ai)时，g (a) <0, f (a) <0,函数/(x)递减;(%i,工2)时，g (x) >