2020-2021九年级数学上册专题八+与垂径定理有关的辅助线同步测试+新人教版

1、与垂径定理有关的辅助线一 连半径构造直角三角形乂教材P83练习第1题)如图1，在。O中，弦AB的长为8 cm ,圆心O到AB的距离为3 cm ,求。O的半径.图1变形1答图解：作 OEJAB 于 E,连接 OA,则 AE = ；AB=2x8 = 4(cm), OE = 3 cm, .OA=-/AE2 + OE2 =42 + 32 = 5(cm).【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以 及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解.变形如图2, AB为。的直径，弦 CD1AB于E,已知CD=12,BE = 2,则。O的直径为（D ）A. 8 B. 10 C. 16 D. 201【

2、解析】 如图，连接OC,根据题意，得CE = -CD=6, BE = 2.在 2RtzOEC 中，设 OC=x,则 OE = x2,故(x2)2 + 62 =x2,解得 x=10,即直径 AB = 20.图2图3圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题:“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现在的数学语言表述是：”如图3所示，CD为。O的 直径，CD1AB,垂足为E, CE=1寸，AB=1尺，求直径CD长是 多少寸.”（注1尺=10寸）解：vABJCD, .AE = BE/.AB=10, .AE = 5.在 Rt加OE 中，.OA2=OE2+AE2

3、, .OA2 = （OA1）2 + 52, .OA = 13,CD = 2OA=26（寸）.二作弦心距巧解题教树埠题F教材P90习题24.1第10题）GO 的半径为 13 cm, AB, CD 是。的两条弦，AB/CD,AB = 24 cm,CD = 10 cm,求AB和CD的距离.解：第一种情况：如图（1）,两弦在圆心的同一侧时，已知CD=10 cm,B(1)DE = 5 cm. OD= 13 cm，.二利用勾股定理可得OE=12 cm.同理可求 OF = 5 cm ,EF = 7 cm.第二种情况：EF = OE + OF=17 cm.【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角

4、三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法.事,如图 4,。的半径为 17 cm,弦 AB/CD, AB = 30 cm, CD =16 cm,圆心。位于AB, CD的上方，求AB和CD的距离.一x 0图4变形1答图解：如图，过点。作OESB,交CD于F,连接OA,;AB/CD,OF JCD.在 Rt9AE 中，.。人=门，AE=BE = ；AB=15,OE=8,同理可求 OF=15.圆心。位于AB, CD的上方，. EF = OF OE = 15 8 = 7(cm),即AB和CD的距离是7 cm.如图5所示，若。O的半径为13 cm ,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5 cm,则

5、弦AB的长为_24_cm.【解析】 点P到圆心的最短距离即点 O到弦AB的垂线段的长度， 当点P是AB中点时，连接 OA,则 AB = 2AP = 2OA2-OP2 = 2/13252 = 2X 12=24(cm).图5图6如图6,在半径为5的。中，AB, CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB = CD=8,则OP的长为(C )A. 3 B. 4 C. 33 D. 42【解析】 如图，作OM1AB于M, ONJCD于N,连接OB, OD. 由垂径定理、勾股定理，得 OM = ON=52-42 = 3.C 弦AB, CD互相垂直， DPB = 90 .QMJAB 于 M, ON1CD 于 N

6、, .OMP = /ONP=90 , 四边形MONP是正方形，.OP = 3a/2,故选C.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图7所示，已知EF=CD=16 cm,则球的半径为10 cm._旷_、F_D r.*、Jh'i c图7_E/飞、F_D 'I工变形4答图【解析】 取EF的中点M,作MNMD于点M,取弧EF所在圆的 圆心为O,连接OF.设 OF = x,则 OM = 16 x, MF = 8,在直角三角形 OMF中，OM2 + MF2=OF2,即(16 x)2+82=x2,解得 x=10.当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个25交点处的

7、读数如图8所示（单位：cm）,那么该圆的半径为:6_cm.图811AB =尹【解析】 连接OA,过点。作ODSB于点D,=OD必B,AD=21) = 4.设 OA=r,则 OD=r3,在 Rt/AD 中，OA2 OD2 = AD2,即r2 (r 3)2 = 42,解得 r=" cm.6国后如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=3 m,弓形的高EF=1 m,现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径.图9解：由垂径定理得 BF = 2AB=1.5, OE1AB,设圆O半径为x,则OF = x1,在Rt9BF中，根据勾股定理得 x2=1.52+(x1)2,解

8、得x= 1.625,即圆O的半径是1.625 m.变瞪r某地有一座圆弧形拱桥，圆心为 O,桥下水面宽度为7.2 m,过O作OCSB于D,交圆弧于C, CD=2.4 m(如图10所示).现 有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面 AB 2 mr的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥?图10解：如图，连接ON, OB,且设DE为船舱的高.OC JAB,D 为 AB 中点.AB =7.2 m, .BD = 1AB = 3.6 m ,又 CD = 2.4 m, 2设 OB=OC = ON=r,则 OD = (r 2.4)m.在Rt生OD中，根据勾股定理得r2=(r 2.4)2 + 3.62,解

9、得r=3.9 m.CD = 2.4 m,船舱顶部为方形并高出水面 AB 2 m,CE = 2.4 2 = 0.4 (m),.OE = r CE=3.9-0.4 = 3.5 (m).在 Rt/IOEN 中，EN2=ON2 OE2=3.923.52=2.96, .ENmaJZ, .MN=2EN = 2X/296c44(m) >3(m),此货船能顺利通过这座拱桥.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽AB = 60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽 MN = 32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由.图11解：不需要采取紧急措施.理由如下: 设 OA=R,在 RtMOC 中，AC = 30, OC=R18,. R2 = 302 + (R18)2解得