与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明(1)类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P= PC为0 0的切线，/ PC3 90°,在 Rt 0CP中, v 0C= 1,Z P= 30°,0P= 20C= 2, PB= 0P- 0B= 2- 1 = 1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017 天津已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O 0于点C, E是AB

2、上一点，延长CE交0 0于点D.(1) 如图Z12-2，求/ T和/ CDB勺大小；(2) 如图，当BE= BC时，求/ CDC的大小.解：（1）如答图，连结AC AT是。0的切线，AB是。0的直径， AT丄AB,即/ TAB= 90°,vZ ABT= 50°,AZ T= 90°/ ABT= 40由AB是O O的直径，得Z ACB= 90°,如答图，连结AD在. BCE中, BE= BC, Z EBC= 50 ° ，Z BCE=Z BEC= 65°,：Z BADZ BC465°,vOA= OD / OD比 Z OA圧 65&

3、#176;,vZ ADC=Z ABC= 50°, Z CDQZ ODZ ADC= 65° 50°= 15° .【中考预测】2017 宿迁如图Z12 3, AB与。O相切于点B, BC为。O的弦，OCLOAOA与 BC相交于点P.(1)求证：AP= AB；若044, AB= 3,求线段BP的长.解：(1)证明： 0C 0B / 0C*/ 0BC/AB是。0的切线，OBLAB:丄 0BA= 90°,./ ABPZ OBG90° ,v OCLAO .Z AOG 90° ,.Z OCBkZ CPO= 90°, vZ APB

4、Z CPQ.Z APB=Z ABP . AP= AB； 如答图,作 OHL BC于 H 在 Rt OAB中 , v OB= 4 , A吐 3 ,.OA= 32 + 42= 5, v AP= AB= 3 ,.PO= 2.在 Rt POC中 , PC= OC+ OP= 2 5 ,v PC- OH= 2OC- of,2 2 'OP- OC 4込 .0H= PC 二 5,.CH= oC oH= 85 ,v OHL BC, . CH= BHBC= 2CH=16 ;'55 ,.BP= BC- PC= 16?5 2 5=6±.55类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已

5、知：如图Z12-4, A是。0外一点，A0的延长线交。0于点C,点B在圆上,且A吐BC, / A= 30°,求证：直线AB是O0的切线.证明：如答图，连结0B/ 0B= OC A吐 BC / A= 30OBC=Z C=/ A= 30° ,/ AO圧/ C+Z OBC= 60°vZ ABO= 180°- ( Z AO+Z A) = 180° (60 ° + 30° ) = 90° , AB丄OB又v OB为OO半径，二AB是OO的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中

6、考变形】1. 2016 黄石如图Z12 5 , OO的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B) , AD 丄CD(1)若 BC= 3 , AB= 5 ,求 AC 的值； 若AC是Z DAB的平分线,求证：直线 CD是O O的切线.图Z12 5中考变形1答图解：（1） v AB是OO直径,C在O O上 ,'Z ACB= 90 °,又v BC= 3 , AB= 5 ,由勾股定理，得AG4;证明：如答图，连结0G AC是/ DAB勺平分线，/ DAC=Z BAC又 ADLDC / ADCZ ACB= 90°, ADSAACB / DCAZ CBA又 OA= oc / OA

7、GZ OCAvZ OACkZ OBG 90°, AZ OC/N-Z AC亠Z OC圧 90直线CD是O O的切线.2. 2017 南充如图Z12-6,在Rt ACB中 Z AC*90°,以AC为直径作O O交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是OO的切线;若CF*2, DF*4,求OO直径的长.图 Z12- 6中考变形2答图【解析】 连结OD欲证DE是O O的切线，需证ODL DE即需证Z OD* 90°，而Z AC* 90°，连结 CD根据“等边对等角”可知Z OD*Z OC* 90°,从而得证；

8、(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结 OD CDv AC 是OO 的直径，aZ AD(* 90° . Z BD(* 90° .又v E为BC的中点， DE= 1bC* CE, aZ ED(*Z ECD0亠 OC / ODG/ OCD:丄 EDOZ ODCZ ECDbZ OC圧/ AC*90° ./ OD490°,二 DE是OO的切线；(2)设O O的半径为 x.在 Rt ODF中, OD+ DF= OF2,即 x2 + 42= (x + 2)2,解得 x= 3. /.O O的直径为 6.【中考预测】如图

9、Z12-7, AB是OO的直径，点C, D在O O上，Z A= 2Z BCD点E在AB的延长线上，Z AED=Z ABC(1) 求证：DE与OO相切；(2) 若BF= 2, DF= 而，求OO的半径.C解：(1)证明：如答图，连结OD AB是OO的直径，Z AC* 90°,Z A+Z ABC= 90°, Z BOD= 2Z BCD Z A= 2Z BCD Z BO圧 Z A, Z AED=Z ABC /Z BO+Z AED= 90° , Z ODE= 90°,即 ODL DE DE与O O相切；如答图,连结BD,过点D作DHL BF于点H DE与O O相

10、切，/Z AC+Z BC4Z OD+Z BDE= 90 Z ACD=Z OBD Z OB圧 Z ODB /Z BDE=Z BCDvZ AE亠/ ABC :丄 AFC=Z DBF/ AFC=Z DFB :. FDB都是等腰三角形,1 , FH= BH= qBF= 1,二 H亠 DF FH= 3,在 Rt ODH中 OH+ DH= OD,即（OD- 1）2+ 32 = OD,OD= 5.即O O的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明(2)1.如图8, CD是O0的切线，切点为A,AB是O0的直径.E,F O0上的点,C的直线切(1)求证：Z DAEZ FDE2)若EF图7 O0的半径为1,过点A(

11、2 ,O 0于点B,交y轴于点C.(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.AB(1) 求线段AB的长;3、在厶ABC中，AB=AC内切圆 0与边BG AC AB分别切于 D E、F.(1) 求证：BF=CE(2) 若/ C=30°, CE 2 ；3，求 AC.4.如图 10,在O O中，/ ACBM BDC=60 , AC=2 . 3cm ,(1)求/ BAC的度数；(2)求00的周长5已知：如图，AB是OO的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交O O于E,连结DE BE且/C=Z BED(1) 求证：AC是O O的切线；(2) 若 OA=10，AD=16，求 AC的长.6如图，

12、MP切OO于点M，直线PO交OO于点A、B，弦AC / MP,(1)求证：MO / BC.(2补充)连结CM,当四边形BCMO菱形时,求/ P的度数或反过来问：当7如图，在 ABC中，AB AC，以AB为直径的O0交BC于点M , MN丄AC于点N (1) 求证MN是O0的切线；(2) 若 BAC 120° AB 2，求图中阴影部分的面积.8如图， ABC内接于半圆，AB是直径，过 A作直线 MN若/ MACW ABC .(1) 求证：MN是半圆的切线；(2) 设D是弧AC的中点，连结 BD交AC于G过 D作 DEL AB于 E,交 AC于 F.求证：FD= FG9.如图，半圆的直径 AB 10，点C在半圆上，BC 6.(1)求弦AC的长；(2)若P为AB的中点,PE丄AB交AC于点E,求PE的长.AB AC, BC交OO于点D , AC交OO于点BM平分 ABC交AE于点M ,10.已知：如图， AB为O0的直径,E, BAC 45