有关正态分布的研究

1、有关正态分布的研究 课题组成员：施雷特 朱博言、董昕航、孙谭霖、施雷特、孙昊指导教师：黎宁 一、任务分工： 朱博言、董昕航：绘制调查问卷，收集实际数据。 孙谭霖：搜集并提供学习资料。 施雷特、孙昊：对收集来的数据进行编辑、整理。 全体组员在数据收集完成后分析数据，总结评价，共同撰写结题报告。 二、研究的背景、意义与目标： 1背景 通过我们对正态分布的初步认识，得知正态分布在生活生产、科技实验中具有很强的应用价值。例如通过零件尺寸的正态分布曲线，我们可以评价工厂的生产水平；通过身高、体重的正态分布曲线，我们能得知某地区青少年身体的发育状况生产中，电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水

2、的含铅量、纤维的纤度等服从正态分布；在生物学中，同意群体的某种特征、在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服从正态分布；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位，也都近似服从正态分布。 2意义 我们希望通过进行此课题的研究，能够提升我们以数学的思想解决实际问题的能力，以及提高数学思维能力。同时我们可以以一种理性的思维分析生产、生活以及科学中的一些规律与现象，为今后的学习打下一个良好的基础。 我们也希望在探究学习的过程中，学会与人合作，学会独立思考，学会自主学习，培养严谨执著的科学精神，体会数学在自然中的应用影响、数学的发展对人类生活的影响，从而

3、感悟科学中的美，培养学习兴趣。 我们知道，著名数学家高斯正是因为他细心留意生活与自然中的现象，才总结出正态分布曲线的解析式。我想，之所以能他成为一名伟大的数学家，其原因也尽在于此吧！善于思考、善于发现和解决问题，这是每一位科学家所具备的品质，也是我们希望通过研究性学习所拥有的品质。 3研究的目标： （1）通过自主学习与研究，了解正态分布的有关概念与意义，旨在拓展课外知识与培养自主学习的能力。 （2）当制定调查表、搜集数据后，学会用Excel等软件对数据进行统计分析，体会数学理论在生活中有很强的应用性。 （3）在进行研究性学习的过程中，发展同学们之间的友谊与团结协作的精神，为日后的进一步学习打下

4、良好基础。三、研究的过程：简述课题与开题报告（2课时） 组员利用课上和课余时间合作学习有关概率与正态分布的基本知识，并有所感悟与延伸。（9课时） 在高一年级内及校外搜集数据。如调查学生的视力、身高、体重、生物学药品等生活实例。（3课时） 对数据进行列表，画出频率分布直方图。同时利用计算器作出曲线图象。在这个过程中，我们要学会如何处理数据，并培养严谨执著的科学精神。（5课时） 组员共同分析并验证正态分布曲线，体会数学规律的和谐统一性，获得对数学研究的快乐。（9课时） 整理数据、撰写结题报告。（4课时）四、研究的结果； （一）、正态分布的理论分析：1、概率密度曲线若数据无限增多且组距无限缩小，那么

5、频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线概率密度曲线的形状特征：“中间高，两头低，左右对称” 2、正态分布与密度曲线总体在(a,b)内取值的概率上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是 式中的实数、( 0， R) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差.不同的，对应着不同的正态密度曲线。3、正态密度曲线的图像特征（1）曲线在x轴上方，当X=时，函数值为最大。 （2） 的值域为 。（3） 的图像关于X=对称。（4）当x（，时 为增函数 当x（，+）时 为减函数（5）当一定时，曲线的形状由确定，

6、越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中4、正态分布：若X是一个随机变量，对任给区间(a,b，P(aXb)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a,b上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为和2的正态分布，记作XN（ 、2） 5、标准正态曲线当0，1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表达式是 ，其相应的曲线称为标准正态曲线。（二）数据分析：案例一：我们小组的同学对陈经纶中学高一年级学生身体状况进行了调查，内容包括：身高、体重和视力。并相应用Excel 作出频率表与频率分布直方图。1、身高分组频数累积频率频率147,153）51.44%0.0

7、14368153,159)279.20%0.077586159,165)10037.93%0.287356165,171)8963.51%0.255747171,177)5679.60%0.16092177,183)5896.26%0.166667183,189)1099.14%0.028736189,195)3100.00%0.008621Max = 191Min = 150Ave = 169.02Std = 8.02Ave+3193.08= 193.08Ave-3144.96 = 144.96Sample S348ize = 348Defect R0.0atio = 0.0% 分组频数累积

8、频率频率32,40)30.86%0.00862140,48)6318.97%0.18103448,56)11552.01%0.3304656,64)7372.99%0.2097764,72)5588.79%0.15804672,80)2595.98%0.07183980,88)797.99%0.02011588,96）499.14%0.01149496,104）299.71%0.005747104,112）1100.00%0.0028742、体重 Max = 110Min = 39Ave = 58.47Std = 11.61Ave+3 = 93.29Ave-3 = 23.65Sample Si

9、ze = 348Defect Ratio =0.0 分组频数累积频率频率<3.841.15%0.0114943.8,4.2）6118.68%0.1752874.2,4.6)14861.21%0.4252874.6,5.0)9387.93%0.2672415.0,5.342100.00%0.120693、左眼视力LSL = 2.7Target = 2.9USL = 3.1Max = 5.3Min = 0.3Ave = 4.569Std = 0.416Ave+3 = 5.816Ave-3 = 3.321CpL = 1.5Cp = 0.16Cpk = -1.18Skewness = -3分组频

10、数累积频率频率<3.830.86%0.0086213.8,4.2)6318.97%0.1810344.2,4.6)15563.51%0.4454024.6,5.0)8186.78%0.2327595.0,5.34599.71%0.129314、右眼视力Max = 5.6Min = 0.3Ave = 4.563Std = 0.421Ave+3 = 5.826Ave-3 = 3.3Sample Size = 348Defect Ratio = 0.0%据分析：在上面四幅图中，红色的曲线是由每一组样本的平均数和标准差画出的正态分布曲线。可以看到，总体而言，直方图较接近正态分布曲线，然而在这其中

11、的有些矩形却并不接近。（例如在体重频率直方图中x40,48)的这一矩形）针对这种现象，我们认为原因可能是以下两点：分组频数累积频率频率0,20)20.40%0.00403220,24)41.21%0.00806524,28)62.41%0.01209728,32)114.63%0.02217732,36)218.85%0.04233936,40)3115.09%0.062540,44)3121.33%0.062544,48)4530.38%0.09072648,52)5240.85%0.10483952,56)5050.91%0.10080656,60)4860.56%0.09677460,6

12、4)5772.03%0.11491964,68)4180.28%0.08266168,72）3386.92%0.06653272,76)2090.95%0.04032376,80）2495.77%0.04838780,84)696.98%0.01209784,88)1199.20%0.02217788,92)399.80%0.00604892,96)1100.00%0.002016（1）在频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率。当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小时，频率分布直方图才会是或近似是正态曲线。然而在这个案例中，每组的样本容量只有

13、348个，而且所分组组距也没有尽可能地缩小。所以才会导致这种现象。（2）因为在数据收集时需要同学们自觉填写真实信息，所以这些数据有一小部分可能是不真实的。案例二 我们小组对高一年级第一学期期中考试成绩进行分析，现对历史成绩与总分成绩进行说明。1历史成绩Max = 93Min = 19Ave = 56.18Std = 14.31Ave+3 = 99.13Ave-3 = 13.24Sample Size = 496Defect Ratio = 0.0%2总分成绩分组频数累积频率频率0,410)20.40%0.004024410,440)51.41%0.01006440,470)83.02%0.01

14、6097470,500)115.23%0.022133500,530)209.26%0.040241530,560)2113.48%0.042254560,590)7127.77%0.142857590,620)8344.47%0.167002620,650)8661.77%0.173038650,680)9580.89%0.191147680,710)5491.75%0.108652710,740)3097.79%0.060362740,770)11100.00%0.022133Max = 915.4Min = 465Ave = 804.4Std = 69.3Ave+3 = 1012.3Ave-3 = 596.5Sample Size =