平行四边形中位线专题培优训练

1、四边形-平行四边形专题培优训练.选择题（共6小题）1 . （2011?孝感）如图，在 4ABC中，BD、CE是4ABC的中线，BD与CE相交于点。，点F、G分别是BO、CO的中点，连接 AO .若AO=6cm , BC=8cm ,则四边形 DEFG的周长是（）SCA. 14cmB. 18cmC. 24cmD. 28cm2 . （2011?黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线 BD上一点P,作EF / BC , HG /AB ,若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为 S1和S2,则S1与S2的大小关系为（）A . S1=S2B. S1 >S2C. S1VS2D,不能确定3

2、 .已知四边形 ABCD中，AB / CD, AB=CD ,周长为40cm,两邻边的比是 3: 2,则较大边的长度是（）A . 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm4 .下列说法中错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形5 .如图， ABC中，/ABC=/BAC, D是AB的中点，EC / AB , DE / BC , AC与DE交于点。.下列结论中，不一定成立的是（）A . AC=DEB. AB=ACC. AD=ECD. OA=OE6 .如图 AB /

3、 FD, GE / AC, EF/ DG , GF/ BC ,点。为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）A . 3个B. 4个C. 5个D. 6个二.填空题（共6小题）7 .如图，在平行四边形 ABCD中，AB=2AD , / A=60 °, E, F分别是AB, CD的中点，且 EF=1cm ,那么对角线BD=cm.15 / 328 .如图，在四边形 ABCD中，P是对角线 BD的中点，E, F分别是 AB , CD的中点，AD=BC , /PEF=18°,则 / PFE的度数是 度.9.如图所示,?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将 AABE向上翻折，点

4、A正好落在CD上的点F,若 FDE的周长为8, 4FCB的周长为 22,则FC的长为10. （2011?黔西南州）如图，小红作出了边长为 1的第1个正三角形AlBlCl,算出了正AiBiCi的面积，然 后分别取A1B1C1三边的中点A2B2c2,作出了第二个正三角形 4A2B2c2,算出第2个正 A2B2c2的面积，用同 样的方法作出了第 3个正4A3B3c3,算出第3个正4A3B3c3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n次作出的正 AnBnCn的面积是.11. 在梯形 ABCD中，AB /CD, M , N分别为上底 CD,下底 AB的中点，则 MN -(AD+BC ).(填 法"

5、; T" =")12. （2011?黑龙江）如图，四边形 ABCD中，对角线 AC ± BD ,且AC=8 , BD=4 ,各边中点分别为 A1、Bv C1、D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 .三.解答题(共16小题)13 .如图所示.D, E分别在 AB , AC上，BD=CE , BE, CD的中点分别是 M, N,直线 MN分别交AB , AC于P, Q.求证：AP=AQ .BC14 .如图：AD是4AB

6、C的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点.(1)求证：ME=DN ;(2)若BC=AD=12 , AC=13 ,求四边形 DEMN的面积.B E D15 .如图，已知：四边形 ABCD中，AD=BC , E、F分别是DC、AB的中点，直线 EF分别与BC、AD的延长线 相交于 G、H.求证：/ AHF=/BGF.16 . (2011?厦门)如图，在四边形 ABCD 中，/ BAC= /ACD=90 °, / B= / D .(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；(2)若AB=3cm , BC=5cm , AE=4AB ,点P从B点出发，以1cm/s的速度沿 BC-CDf

7、DA运动至A点停止，则3从运动开始经过多少时间，4BEP为等腰三角形？17 .已知：如图， D, E, F分别是ABC各边上的点，且 DE / AC , DF / AB .延长FD至点G,使DG=FD ,连 接AG .求证：ED和AG互相平分.18 .如图1,已知在 4ABC中，AB=AC，点P为底边BC上(端点 B、C除外)的任意一点，且 PE/AC , PF/ AB .(1)试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；(2)如图2,将点P为底边BC上任意一点”改为熏P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论 还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由19

8、 .如图， ABC中，AD为中线，E为边BC上一点，过 E作EF/AB交AC于F,交AD于M , EG/AC交AB 于G.(1)如图1,若E与D重合，写出图中所有与 FG相等的线段，并选取一条给出证明.(2)如图纸，若E与D不重合，在(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段，并给出证明.(3)如图3,若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形(不写作法)，FG=.20.在4ABC中，AB=AC，点P为4ABC所在平面内的一点，过点P分另1J作 PE / AC交AB于点E, PF/ AB交BC于点D,交AC于点F.(1)如图1,若点P在BC边上，/此时 PD=0,猜想并写出PD、

9、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)如图2,当点P在4ABC内，猜想并写出(3)如图3,当点P在4ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想;PD、PE、PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)21 .平行四边形 ABCD中，AB=2cm , BC=12cm , /B=45°,点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm,点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒 1cm,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)当t为何值时，四边形 ABPQ为平行四边形；(2)设四边形ABPQ的面积为ycm2,请用含有t的代数式表示y的值；(3

10、)当P运动至何处时，四边形 ABPQ的面积是？ABCD面积的四分之三？22 .如图a、b在平行四边形 ABCD中，/ BAD, / ABC的平分线AF, BG分别与线段 CD两侧的延长线(或线 段CD)相交于点F, G, AF与BG相交于点E.(1)在图 a 中，求证：AF ± BG , DF=CG;(2)在图b中，仍有(1)中的AF ± BG , DF=CG成立.请解答下面问题：若 AB=10 , AD=6 , BG=4,求 FG 和 AF 的长；是否能给平行四边形 ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且 ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不

11、能，请说明理由.23 .如图(1) , BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF，BD , AGXCE,垂足分别为 F、G,连接 FG,延长 AF、AG ,与直线 BC相交于M、N.(1)试说明：FG=- (AB+BC+AC );2(2)如图(2) , BD、CE分别是4ABC的内角平分线；如图(3) , BD为4ABC的内角平分线，CE为 ABC的外角平分线.则在图(2)、图(3)两种情况下，线段 FG与4ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的 一种情况说明理由.(1 )(2)3)24 .小杰遇到这样一个问题：如图1,在？ABCD中，AELBC于点E, AF，C

12、D于点F,连接EF, 4AEF的三条高线交于点 H,如果AC=4 , EF=3,求AH的长.小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将4AEH平移至4GCF的位置(如图2),可以解决这个问题.请你参考小杰同学的思路回答：(1)图2中AH的长等于.(2)如果 AC=a , EF=b,那么 AH的长等于 .图1图225 .已知在 DABCD中，AELBC于E, DF平分/ ADC交线段 AE于F.(1)如图1,若AE=AD , / ADC=60 °,请直接写出线段 CD与AF+BE

13、之间所满足等量关系；(2)如图2,若AE=AD，你在(1)中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请 说明理由；（3）如图3,若AE: AD=a： b,试探究线段 CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.-26 . （ 2011?北京）在？ABCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线 DC于点F.（1）在图1中证明CE=CF ;（2）若/ ABC=90 °, G是EF的中点（如图 2）,直接写出/ BDG的度数；（3）若/ ABC=120 °, FG/CE, FG=CE ,分别连接 DB、DG （如图 3）,求/ BDG

14、 的度数./ ACB=90 °, D 是 BC 的中点,DE ± BC , CE /AD ,若 AC=2 , CE=4,求27. （ 2011?北京）如图，在 4ABC中,四边形ACEB的周长.28.已知：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD=24cm , BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，至UD点即停止.点 Q自点C向B以2cm/s的速度运动，至U B点即停止，直线 PQ截梯形为两个四边形.问当 P, Q同 时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？参考答案与试卷解读一.选择题（共6小题）1. （2011?孝感）如图，在 4ABC中，BD、

15、CE是4ABC的中线，BD与CE相交于点。，点F、G分别是BO、CO的中点，连接 AO .若AO=6cm , BC=8cm ,则四边形 DEFG的周长是（）A. 14cmC. 24cmD. 28cm考点：平行四边形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理.专题：计算题.分析：主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF/AO, FG/BC,且都等于边长BC的一半.分析到此，此题便可解答.解答： 解：: BD, CE>AABC的中线，ED / BC 且 ED= 1BC ,2 F是BO的中点，G是CO的中点，FG/ BC 且 FG=2bC,2ED=FG=1BC=

16、4cm ,2同理 GD=EF= iAO=3cm , 忸四边形 EFDG 的周长为 3+4+3+4=14 （cm）.故选A.点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据.2. （2011?黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线 BD上一点P,作EF / BC , HG /AB ,若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为 S1和S2,则S1与S2的大小关系为（）A . S1=S2B. S1>S2C, S1S2D,不能确定考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.分析： 根据平行四边形的性质和判定得出平

17、行四边形GBEP、HPFD,证ABDCDB,得出4ABD和4CDB的面积相等；同理得出 4BEP和4PGB的面积相等，4HPD和4FDP的面积相等，相减即可求出答案.解答： 解：二四边形 ABCD是平行四边形，EF/ BC, HG / AB , AD=BC , AB=CD , AB / GH / CD , AD / EF / BC ,，四边形GBEP、HPFD是平行四边形，在 4ABD 和 4CDB 中rAB=CD（ BD=BD , lad=bc .ABD CDB , 即ABD和CDB的面积相等； 同理ABEP和APGB的面积相等， 4HPD和4FDP的面积相等， 四边形AEPH和四边形CFP

18、G的面积相等， 即 Si=S2 - 故选A.点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出4ABD和 CDB的面积相等，4BEP和4PGB的面积相等， HPD和 FDP的面积相等，注意：如果两三角形全 等，那么这两个三角形的面积相等3.已知四边形 ABCD中，AB / CD, AB=CD ,周长为40cm,两邻边的比是 3: 2,则较大边的长度是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD . 14cm考点：平行四边形的判定与性质；解一元一次方程.专题：计算题.分析：由AB / CD, AB=CD得到平行四边形 ABCD ,根据平行四边形的性质推出A

19、D=BC ,设平行四边形 ABCD的两邻边是3x, 2x,得到方程2 （3x+2x） =40,解方程求出x,即可求出最大边.解答： 解：: AB / CD, AB=CD ,四边形ABCD是平行四边形，AD=BC ,设平行四边形ABCD的两邻边是3x, 2x,.平行四边形 ABCD的周长是40,2 （3x+2x） =40,解得：x=4,，较大边的长度是 3 >4=12.故选C.点评：本题主要考查了平行四边形的性质，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据题意列出方程.4.下列说法中错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形C.对角线互相平分的四边形是

20、平行四边形D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质.专题：推理填空题.分析：根据平行四边形的性质即可判断 A;根据图形和已知不能推出另一组对边也平行，即可判断B;根据平行四边形的判定判断即可；根据平行线性质和已知推出AD / BC,根据平行四边形的判定判断即可.解答：解：A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；/A+/D=180°,同时/ B+ ZC=180°,只能推出 AB /CD,不一定是平行四边形，故本选项正确； C、AC于BD交于O, OA=OC , OB=OD，四边形 ABCD是平

21、行四边形，故本选项错误； D、 AB / CD, . B+/C=180°,. / B=Z D,. C+Z D=180 °,AD / BC,四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选B .点评：本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用性质进行说理是解此题 的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目.5.如图， ABC中，/ABC=/BAC, D是AB的中点，EC / AB , DE / BC , AC与DE交于点。.下列结论 中，不一定成立的是（）BA. AC=DEB. AB=ACC. AD=ECD. OA=OE考点：平行四边形的判定与性

22、质；全等三角形的判定与性质.分析： 由已知可得四边形 BDEC是平行四边形，则 BD=CE , Z B= Z E,又因为/ ABC= / BAC , D是AB的中点 可证AODEOC,还可证明 BC=AC , OA=OD , OE=OC , . . AC=DE , AD=EC , OA=OE .解答： 解： EC/ AB , DE / BC,四边形BDEC是平行四边形，BD=CE , / B=/ E,又. / ABC= / BAC ,/ CEO= / DAO ,又D是AB的中点，AD=BD ,AD=CE ,AODA EOC,AD=CE , OA=OE , BC=DE , BC=AC , AC=

23、DE .而AB=AC无法证得.故选B.点评：此题综合性比较强，考查了平行四边形的性质和判定，还综合利用了全等三角形的判定，等角对等边.6.如图 AB / FD, GE / AC, EF/ DG , GF/ BC ,点。为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）C. 5个D. 6个考点：平行四边形的判定.分析：此题意在考查平行四边形的判定，根据题中给出的条件，依据两条对边分别平行的四边形为平行四边形, 则不难求解.解答： 解：因为 AB/FD, GE/AC, EF / DG , GF/BC,所以GFBD , GFEC, EFDG , AGOF均为平行四边形，所以，共有四个平行四边形.故选B .点

24、评：本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理是解题的关键.二.填空题（共6小题）7.如图，在平行四边形 ABCD中，AB=2AD , / A=60 °, E, F分别是AB , CD的中点，且 EF=1cm ,那么对角线考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.分析： 过D作DM ±AB于M ,得出平行四边形 AEFD ,求出 AD=EF=1cm ,求出/ ADM ,求出 AM , DM ,求出 AB，求出BM ,根据勾股定理求出 BD即可.解答：解：过D作DM，AB于M ,贝U/ DMA=90 °, . / A=6

25、0 °, ./ ADM=30 °, AD=2AM , 四边形ABCD是平行四边形， DC=AB , DC / AB , F为DC中点，E为AB中点， DF=AE , DF / AE, 四边形AEFD是平行四边形，1. AD=EF=1cm ,1. AM= -1cm,2. AB=2AD ,1. AB=2cm , BM=2cm _!cm=cm,22在RtAADM中，由勾股定理得:在RtABDM中，由勾股定理得:点评:本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，关键是构造直角三角形，题目比较好，但是有一定的难度.8.如图，在四边形 ABCD中，P是对

26、角线 BD的中点，E, F分别是 AB , CD的中点，AD=BC , /PEF=18°,则 / PFE的度数是 18 度.考点：三角形中位线定理.分析：根据中位线定理和已知，易证明 4EPF是等腰三角形.解答： 解：二.在四边形 ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB , CD的中点，FP, PE分别是CDB与ADAB的中位线，PF=-BC , PE=-AD ,22 AD=BC ,PF=PE,故 EPF是等腰三角形. / PEF=18°, ./ PEF=Z PFE=18°. 故答案为18.点评：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要

27、善于根据已知信息，确定应用的知识.9.如图所示，？ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将AABE向上翻折，点 A正好落在CD上的点F,若 FDE的周长为8, 4FCB的周长为 22,则FC的长为 7 .D F C考点：翻折变换（折叠问题）.分析：由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得 AE=EF , AB=BF ,结合两个三角形的周长，通过列方程可求 得FC的长，本题可解.解答： 解：设DF=x, FC=y, . , ?ABCD ,AD=BC , CD=AB , BE为折痕，AE=EF , AB=BF ,.FDE的周长为 8, 4FCB的周长为22, . BC=AD=8 x, AB=CD

28、=x+y , . y+x+y+8 x=22 , 解得y=7.故答案为7.D尸C点评：本题考查7平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列 出方程求得答案.10. （2011?黔西南州）如图，小红作出了边长为 1的第1个正三角形AiBiCi,算出了正AiBiCi的面积，然 后分别取A1B1C1三边的中点A2B2c2,作出了第二个正三角形 4A2B2c2,算出第2个正 A2B2c2的面积，用同 样的方法作出了第 3个正4A3B3c3,算出第3个正4A3B3c3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n次作出的正 AnBnCn的面积是考点：三角形中位线定理；等边三

29、角形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：计算题；规律型.分析：过A1作A1DLB1C于D,求出高A1D,求出A1B1C的面积，根据三角形的中位线求出B2c2=£b1c1,A2B2=1A1B1, a2c2=1a£1,推出 4A2B2c2sA1B£1,得出b C 同理 A3B3c3s A2B2c2,推出0 b = Q得出规律S广 =-Q 一 °尸，代入 肝AAR JiAA B C 加75白丹匚】3 3 51W111ns,亘 4111求出即可.解答： 解：过Ai作AiDBiCi于D,丁等边三角形A1B1C1,-1' BlD=,1由勾股定理得：AiD=

30、A1B1C1的面积是. C2、B2、A2 分别是 A1B1、A1C1、Bi Ci 的中点, B2c2=&1C1, A2B2=AiBi, A2C2=AiCi, 222即士逑="工也】B j C A| B A C 2， A2B2c2s AiBiCi,且面积比是i ： 4, q 4=c AiAA2B2C2 4iAA1B1C1同理4A3B3c3s4 A2B2C2,且面积比是黄 A%C点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结 果得出规律Sa A 口厂=S0口厂,题目比较典型，但有一定的难度.ii .在梯形 ABCD中，AB /C

31、D, M , N分别为上底 CD,下底AB的中点，则 MN V (AD+BC ).(填7考点：三角形中位线定理；三角形三边关系；梯形.分析：由中点，联想到构建中位线，利用三角形的两边之和大于第三边即可得出结论.解答： 解：如图，连接 BD,作BD的中点，连接 ME、NE,则可以知道ME、NE分别为中位线，ME= -BC> NE=-AD ,22ME+NE=4(AD+BC ), 2 MN VME+NE ,MN (AD+BC ).故答案为：<.点评：本题考查了梯形的性质.比较线段的长度可以通过构造三角形，利用三角形的性质求解.12. （2011?黑龙江）如图，四边形 ABCD中，对角线

32、AC ± BD ,且AC=8 , BD=4 ,各边中点分别为 Al、Bl、Cl、Di,顺次连接得到四边形 AiBiCiDl,再取各边中点 A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形 A2B2C2D2,依此类推，这样得到四边形 AnBnCnDn,则四边形可）.AnBnCnDn的面积为-或一-,2n 2n_1_2n-4-只要答案正确即考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质.专题：规律型.分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16;根据三角形的中位线定理，得A1B1/AC,A1B1=AC ,则ABA 1BsA BAC ,得ABA 1B1和ABAC的面

33、积比是相似比的平方，即因此四边形24A1B1C1D1的面积是四边形 ABCD的面积的 工，即a2;推而广之，则 AC=8 , BD=4 ,四边形AnBnCnDn的2面积=I_2口 一1解答：解：二,四边形 A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，A1B1 / AC , A1B1=1aC.2. BA1B1A BAC . BA 1B1和 BAC的面积比是相似比的平方，即4又四边形 ABCD的对角线 AC=8 , BD=4, AC ± BD ,，四边形ABCD的面积是16.推而广之，则 AC=8, BD=4,四边形 AnBnCnDn的面积= ”2

34、n-1故答案为（或一;或不，只要答案正确即可）.2n 2n-1 2n-4点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质.注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.三.解答题（共16小题）13.如图所示.D, E分别在 AB , AC上，BD=CE , BE, CD的中点分别是 M, N,直线 MN分别交AB , AC于P, Q.求证：AP=AQ .考点：三角形中位线定理.专题：证明题.分析： 根据中位线定理证明 MH=NH ,进而证明/ HMN= / HNM , / HMN= /PQA,所以4APQ为等腰三角形, 即 AP=AQ .解答： 证明：找到 BC的中点H

35、 ,连接MH , NH .如图： M , H 为 BE, BC 的中点，MH /EC,且 MH=EC.2 . N, H 为 CD, BC 的中点，NH / BD ,且 NH=°BD .2 BD=CE , .1. MH=NH . . . / HMN= / HNM ; MH / EC, . HMN= / PQA,同理/ HNM= / QPA. . APQ为等腰三角形，AP=AQ .AH C_点评：考查中位线定理在三角形中的应用，考查平行线对角相等，考查等腰三角形的判定.14.如图：AD是4ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点.(1)求证：ME=DN ;(2)若BC=AD

36、=12 , AC=13,求四边形 DEMN的面积.考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.分析：(1)根据中位线的性质得到四边形MNED是梯形.又因为 AD ± BC ,所以MN=BC即ME=DN ,那么2推出四边形EMND为等腰梯形.(2)利用四边形 MECN为平行四边形，可以得到 EC=MN=6 ,利用勾股定理可以求得 DC=5 ,即可得到ED=6 - 5=1 ,然后利用梯形的面积计算梯形的面积即可.解答：解：(1)证明：: M、E、N分别是AB、BC、AC的中点根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得ND=AC,根据三角形中位线定理，得 NM=-BC.2MN / BC

37、 , EM / AC ,四边形MECN为平行四边形，EM=NC . 又 DEvEC, EDv MN .，四边形 MEDN是梯形.(3分)又 ; AD ±BC , DG= ACC .2EM=DN .(2) AD=12 , CC=13 , CD=5 ,.四边形MECN为平行四边形，EC=MN=6 , ED=6 - 5=1 ,四边形 DEMN 的面积=_X (6+1) X6=21.点评：此题主要考查了学生对等腰梯形的判定及中位线的性质的掌握情况.15.如图，已知：四边形 CBCD中，AD=BC , E、F分别是DC、AB的中点，直线 EF分别与BC、CD的延长线 相交于 G、H.求证：/

38、AHF=/BGF.考点：三角形中位线定理；平移的性质.专题：常规题型.分析： 根据中位线定理证明 MF / BC,且MF=1bC,根据AD=BC证明EM=MF , / MEF= / MFE ,根据平行线2同位角相等，证明/ MEF= /AHF , / MFE= / BGF .可以求证/ AHF= / BGF .解答： 证明：连接 AC ,作EM / AD交AC于M ,连接 MF.如下图：E是CD的中点，且EM / AD ,.EM=AD, M是AC的中点，又因为 F是AB的中点2MF / BC,且 MF=BC.2 AD=BC , . EM=MF ,三角形 MEF为等腰三角形，即/ MEF= /

39、MFE . EM / AH , . MEF= / AHF FM / BG ,/ MFE= / BGF/ AHF= / BGF .点评：考查平行线对角相等，同位角相等，中位线平行且等于费对应边，等腰三角形底角相等.16.(1)（2011?厦门）求证：四边形(2)若 AB=3cm ,如图，在四边形 ABCD 中，/ BAC= /ACD=90 °, / B= / D .ABCD是平行四边形；BC=5cm, AE=4AB,点P从B点出发，以1cm/s的速度沿 BC-CDfDA运动至A点停止，则3从运动开始经过多少时间，4BEP为等腰三角形?考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质

40、；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.专题：几何综合题.分析：（1）根据全等三角形判定证 ABCA CDA即可；（2）求出 AC,当P在BC上时，BP=EB=2 ,BP=PE ,作PM XAB于M,根据cosB求出BP,BE=PE=2cm ,作ENLBC于N,根据cosB求出BN ;当P在CD上不能得出等腰三角形；当 P在AD 上时，过 P 作 PNXBA 于 N,证QAPsabc ,推出 pq： aq ： AP=4 ： 3: 5,设 PQ=4xcm, AQ=3xcm ,在4EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1） 2+ （4x） 2=22,求出方程的解即可.解答：（1）证明：

41、二.在 4ABC和4CDA中rZB=ZD"ZBAC=ZDCAlac=acABCA CDA ,AD=BC , AB=CD ,四边形ABCD是平行四边形.(2)解：. / BAC=90 °, BC=5cm, AB=3cm ,'由勾股定理得：AC=4cm ,即AB、CD间的最短距离是 4cm,AB=3cm ,AE=1cm , 设经过ts时,AE=工AB , 3BE=2cm , BEP是等腰三角形,当P在BC上时， BP=EB=2cm ,t=2时， BEP是等腰三角形; BP=PE,作 PM，AB 于 M ,BM=ME= BE=1cm2. cos/ ABC=AB BM 3B

42、C BP 5't=, BEP是等腰三角形;36 / 32 BE=PE=2cm ,作 ENBC 于 N,贝U BP=2BN,cosB=BN 3BE 5'BN 32 5'DK1 6 -BN= cm, 5bp=12,5t=6寸，4BEP是等腰三角形；5当P在CD上不能得出等腰三角形，,AB、CD 间的最短距离是 4cm, CAXAB , CA=4cm ,当P在AD上时，只能 BE=EP=2cm ,过P作PQXBA于Q, 平行四边形ABCD ,AD / BC,/ QAD= / ABC , . / BAC= /Q=90°, . QAPA ABC ,PQ: AQ : AP

43、=4 : 3: 5,设 PQ=4xcm, AQ=3xcm ,在4EPQ中，由勾股定理得：(3x+1). x=汉宜二25'Ac L 2721 - 3AP=5x=cm,52+ (4x) 2=22,t=5+5+3 . 2疽-3=68- 2 国 t=5+5+3=556g 一工历s时 4BEP为等腰三角形.5答：从运动开始经过 2s或9s或卫s或35B A- PC点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定.全等三角形的性质和判定，勾股定 理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.17.已知：如图， D, E, F分别是4A

44、BC各边上的点，且 DE / AC , DF / AB .延长FD至点G,使DG=FD ,连 接AG .G求证：ED和AG互相平分.考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据平行四边形的判定得出平行四边形AEDF ,推出AE=DF=DG ,根据平行线的性质推出/ G= / EAO ,/AEO=/GDO,根据 ASA 证AEOGDO 即可.解答：证明：DE/AC, DF/AB, 四边形AEDF是平行四边形，AE=DF , DG=FD ,AE=DG , DF / AB ,/ G=/ EAG , / GDE= / AED ,在AEO和AGDO中2G

45、=/OAE DG=AE,i ZGD0=ZAE0 AEOA GDO , OE=0D , OA=OG , 即ED和AG互相平分.G点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，关键是 求出OA=OG , OE=OD ,题目较好，难度不大，证明方法不止一个：也可证四边形AEGD是平行四边形.18.如图1,已知在 4ABC中，AB=AC，点P为底边BC上(端点 B、C除外)的任意一点，且 PE/AC , PF/ AB .(1)试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；(2)如图2,将点P为底边BC上任意一点”改为熏P为底边BC延长线上任意一点

46、”，其它条件不变，上述结论 还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析：(1)推出平行四边形 PEAF,推出PF=AE, /EPB=/C,根据等腰三角形的判定和性质推出PE=BE即可；(2)推出平行四边形 PEAF,推出PE=AF, /FPB=/FCP,根据等腰三角形的判定和性质推出PF=FC即可，解答： (1)结论是 PE+PF=AB , 理由是： PE/ AC, PF/ AB ,四边形PEAF是平行四边形，PF=AE, / EPB=/C, AC=AB , . B=/C, ./ EPB=Z B,PE=BE , BE

47、+AE=AB , PE+PF=AB .(2)结论是 PE - PF=AB , 理由是： PE/ AC, PF/ AB , 四边形PEAF是平行四边形，PE=AF , Z FPC=Z ACB= Z FCP,PF=FC,PE - PF=AC=AB , 即 PE - PF=AB .点评：本题考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，证此题的关键是证PE=BE和PF=FC,两小题证明过程类似，题型较好，难度适中.19.如图， ABC中，AD为中线，E为边BC上一点，过 E作EF/AB交AC于F,交AD于M , EG/AC交AB 于G.(1)如图1,若E与D重合，写出图中所有与 FG相等的线

48、段，并选取一条给出证明.FG相等的线段，并给出证明.FG= BM .(2)如图纸，若E与D不重合，在(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与(3)如图3,若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形(不写作法)，:平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例.(1) 可；(2) 求出(3) 求出BD=DC=FG ,根据平行线分线段成比例定理推出AF=CF ,BG=AG ,根据三角形的中位线求出即延长AD至A 使DA =AD ,连接CA 推出平行四边形BG=FM , BG / FM,得出平行四边形 BGFM即可；延长AD至A 使DA =AD ,连接CA 推出平行四边形BG=

49、FM , BG / FM,得出平行四边形 BGFM即可.GEFA,得出FM/AC,得出、比例式,GEFA,得出FM/AC,得出、比例式,:证明题.解答:解：（1） BD=DC=FG ,证明： EF / AB , BD=DC ,AF=CF , 同理BG=AG ,FG=-BC=BD=DC2即 BD=FG .(2) BM=FG ,理由是：延长 AD至A 使DA =AD ,连接CA ； 则ABDA A'CD,A C=AB , A C / AB , FM / AB , GE / AC , 四边形GEFA为平行四边形，FM / AC,.工=里里里，N C AC AC ABFM=BG , FM /

50、BG ,BMFG是平行四边形，BM=FG .(3) BM=FG , 理由是：延长 AD至A 使DA =AD ,连接CA ABD AACD,A C=AB , A C / AB , FM / AB , GE / AC , 四边形GEFA为平行四边形，FM / AC, GE=AF ,，工=里”更，N C AC AC ABFM=BG , FM / BG ,BMFG是平行四边形，BM=FG .故答案为：BM .G点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点，此题难度较大，对学生有较高要求，但出现了类比推理的思想.20.在4ABC中，AB=AC，点P为

51、4ABC所在平面内的一点，过点 P分别作PE/AC交AB于点E, PF/ AB交 BC于点D,交AC于点F.(1)如图1,若点P在BC边上，/此时PD=0,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的 猜想；(2)如图2,当点P在4ABC内，猜想并写出 PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3)如图3,当点P在4ABC外，猜想并写出 PD、PE、PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析：(1)证平行四边形 PEAF,推出PE=AF, PF=AE,根据等腰三角形性质推出/B=/C=/EPB,推

52、出PE=BE即可；(2)过点P作MN / BC分别交AB、AC于M、N两点，推出 PE+PF=AM ,再推出 MB=PD即可；(3)过点P作MN / BC分别交AB、AC于M、N两点，推出 PE+PF=AM ,再推出 MB=PD即可. 解答： 解：(1)结论是pd+PE+PF=AB ,证明： PE/ AC , PF / AB , 四边形peaf是平行四边形，pf=ae , AB=AC ,. B=/C, PE / AC , ./ epb=z c,./ B=Z EPB, pe=be , AE+BE=AB ,pe+pf=ab , PD=0, pd+pe+pf=ab .(2)结论是 PD+PE+PF=

53、AB ,证明：过点 P作MN / BC分别交AB、AC于M、N两点，由(1)得：pe+pf=am ,四边形bdpm是平行四边形， mb=pd , pd+pe+pf=am+mb=ab .(3)结论是 PE+PF - PD=AB .点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理 和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好.21.平行四边形 ABCD中，AB=2cm , BC=12cm , /B=45°,点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm,点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒 1cm,连接PQ,设运动时间为

54、t秒.(1)当t为何值时，四边形 ABPQ为平行四边形；(2)设四边形ABPQ的面积为ycm2,请用含有t的代数式表示y的值；(3)当P运动至何处时，四边形 ABPQ的面积是？ABCD面积的四分之三?考点：平行四边形的性质.专题：动点型.分析：(1)因为在平行四边形 ABCD中，AQ/BP,只要再证明 AQ=BP即可，即点P所走的路程等于 Q点在边 AD上未走的路程.(2)因为四边形 ABPQ是梯形，梯形的面积公式(上底+下底)福登，AQ和BP都能用含有t的字母表示出来，缺少高，过 A点作BC边上的高，再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可.(3)因为平行四边形 ABCD的面积可求，利用(2)中的关系式列方程即可.解答： 解：(1)由已知可得：BP=2t, DQ=t,AQ=12 -t.四边形ABPQ为平行四边形，12- t=2t, t=4,.t=4秒时，四边形