【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十四)8.6抛物线(2007122422)

1、课时提升作业 ( 五十四 )抛物线(25 分钟60 分)一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分)1.(2015 济南模拟 ) 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线 , 垂足为 M,且|PM|=5, 设抛物线的焦点为F, 则 PMF的面积为()A.5B.10C.20D.【解析】 选 B.根据题意得点 P 的坐标为 (4, 4), 所以 SPMF = |yP|PM|= 45=10,所以选 B.【方法技巧】 求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化 :(1) 若求点到焦点的距离 ,则可联想点到准线的距离 .(2)

2、若求点到准线的距离 ,则经常联想点到焦点的距离 .解题时一定要注意 .【加固训练】 1.(2015 石家庄模拟 ) 若抛物线20y =2px上一点 P(2,y )到其准线的距离为 4, 则抛物线的标准方程为()A.y 2=4xB.y 2=6xC.y 2=8xD.y 2=10x【解析】 选 C.由题意可知 p0, 因为抛物线 y2=2px, 所以其准线方程为x=- ,因为点 P(2,y 0)到其准线的距离为4, 所以 |- -2|=4, 所以 p=4, 故抛物线方程为 y2 =8x. 故选 C.2. 已知抛物线 y2=2px(p0) 的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两个点 , 若PQF是边长为

3、2 的正三角形, 则 p 的值是()A.2 B.2+C.1D.-1【解析】 选A.F,设P,Q(y1y2).由抛物线定义及 |PF|=|QF|, 得+ =+ ,所以=,又 y1 y2,所以 y1=-y 2,所以 |PQ|=2|y 1|=2,|y1 |=1,所以 |PF|=+ =2, 解得 p=2 .3.(2015 淮北模拟 ) 两个正数 a,b的等差中项是 , 等比中项是 2 , 且ab, 则抛物线 y2=- x 的焦点坐标为()A.B.C.D.【解析】 选 C.由两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2,且 ab可得解得抛物线的方程为 y2 =- x,故焦点坐标为.4.(2015 吉

4、安模拟 ) 如图 , 抛物线 C1:y 2=2px 和圆 C2:+y2= , 其中 p0, 直线 l 经过 C 的焦点 , 依次交 C,C于 A,B,C,D 四点 , 则 的112值为 ()A.p 2B.C.D.【解析】 选 B.设抛物线的焦点为F,A(x 1,y1),D(x 2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x 1+ - =x 1,同理 |CD|=x 2 ,又 =|AB|CD|,所以 =x 1x2 =.5. 已知抛物线 y2=2px(p0), 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2

5、D.x=-2【解析】 选 B.设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),由题意知直线 AB 的方程为 :y=x- ,与 y2=2px 联立得 :y2-2py-p 2 =0,所以 y1 +y2=2p, 由题意知 :y1+y 2=4,所以 p=2, 所以抛物线的方程为y2 =4x,其准线方程为 x=-1, 故选 B.【一题多解】 本题也可以用如下的方法解决:设 A(x 1,y 1),B(x 2,y2),由题意得y1 +y2 =4,=2px 1,=2px 2,两式相减得:k AB = =1,所以 p=2,所以抛物线的方程为y2=4x, 其准线方程为 x=-1.【方法技巧】 弦中点问题的常用结论及求

6、解技巧(1) 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时 ,要注意使用条件是0.(2) 在椭圆 + =1(ab0) 中, 以 P(x 0,y0 )(y00) 为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3) 在双曲线-=1(a0,b0)中,以P(x 0,y0)(y 00)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4) 在抛物线 y2=2px(p0) 中,以 P(x 0,y0)(y 00)为中点的弦所在直线的斜率 k= .【加固训练】 (2015 孝感模拟 ) 直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 , 且与抛物线交于 A,B 两点 , 若 AB 中点的横坐标为 3, 则线段 AB 的长为()A.

7、5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为l 0,A(x A ,yA),B(x B,yB ),C是 AB 的中点 ,其坐标为 (xC,yC),分别过点 A,B 作直线 l0 的垂线 ,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA +1+x B +1=x A +xB+2=2x C+2=8.二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分)6. 已知抛物线的顶点在原点 , 焦点在 y 轴上 , 抛物线上的点 P(a,-2) 到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】 由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p0),抛物线上的

8、点P(a,-2) 到焦点的距离即为点 P 到准线 y= 的距离 ,所以 +2=3, 解得 p=2, 所以抛物线的方程为 x2=-4y.答案 :x2=-4y【误区警示】 本题易忽视条件“焦点在 y 轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误 .7.(2013 安徽高考 ) 已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点 . 若该抛物线上存在点C,使得 ACB为直角 ,则a 的取值范围为.【解析】 设直线y=a与 y 轴交于M 点,若抛物线y=x2 上存在C 点使得ACB=90 ,只要以 |AB|为直径的圆与抛物线 y=x2 有除 A,B 外的交点即可,即使 |AM| |MO|, 所以

9、 a,所以 a1 或 a0, 因为由题意知 a0, 所以 a1.答案 :1,+ )【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m 2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因 为, 所 以m2-a+m 4-2am 2 +a2=0, 可得 (m2 -a)(m 2 +1-a)=0,解得m2=a0且 m 2=a-1 0,故 a1,+ ).答案 :1,+ )8. 如图 , 从点 M(x0,4) 发出的光线 , 沿平行于抛物线y2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P, 经抛物线反射后 , 穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-

10、y-10=0上的点 N,经直线反射后又回到点 M,则 x0 等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为F(2,0),MP 所在的直线方程为y=4, 从而可求x 轴 , 抛物线的焦点P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4), 确定直线 MN 的方程 ,可求答案 .【解析】 由题意可得抛物线的对称轴为所以 MP 所在的直线方程为y=4.x 轴,F(2,0),M(x0,4),在抛物线方程 y2 =8x 中,令 y=4 可得 x=2, 即 P(2,4),从而可得 Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后又回到点 M,所以直线 MN

11、 的方程为 x=6.所以 x0=6.答案 :6三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分)9.(2015 西安模拟 ) 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点 , 抛物线在 A,B 两点处的切线交于点 M.(1) 求证 :A,M,B 三点的横坐标成等差数列 .(2) 设直线 MF交该抛物线于 C,D 两点 , 求四边形 ACBD面积的最小值 .【解析】(1) 由已知 ,得 F(0,1), 显然直线 AB 的斜率存在且不为 0,则可设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k 0),A(x 1,y1),B(x 2,y2),由

12、消去 y,得 x2-4kx-4=0, 显然=16k 2+160,所以 x1 +x2 =4k,x 1x2=-4.由 x2 =4y, 得 y= x2,所以 y= x,所以直线 AM 的斜率为 kAM = x1,所以直线 AM 的方程为 y-y 1= x1(x-x1 ),又 =4y1,所以直线 AM 的方程为 x1x=2(y+y 1).同理 ,直线 BM 的方程为 x2x=2(y+y 2).-并据 x1x2 得点 M 的横坐标 x=,即 A,M,B 三点的横坐标成等差数列 .(2) 由易得 y=-1,所以点 M 的坐标为 (2k,-1)(k 0).所以 kMF =- ,则直线 MF 的方程为 y=-

13、 x+1,设 C(x 3 ,y3),D(x 4,y4),由消去 y,得 x2 + x-4=0,显然=+160,所以 x3 +x4 =- ,x3 x4 =-4.又|AB|=4(k 2+1),|CD|=4.因为 kMF kAB =-1, 所以 ABCD,所以 S 四边形 ACBD = |AB| |CD|=8(k2+1)=832,当且仅当 k= 1 时 ,四边形 ACBD 面积取到最小值32.10. 已知顶点在原点 , 焦点在 y 轴上的抛物线过点 P(2,1).(1) 求抛物线的标准方程 .(2) 过点 P 作直线 l 与抛物线有且只有一个公共点 , 求直线 l 的方程 .(3) 过点 Q(1,1

14、) 作直线交抛物线于 A,B 两点 , 使得 Q恰好平分线段 AB,求直线 AB的方程 .【解题提示】 (1) 设抛物线的标准方程为x2=2py, 把点 P(2,1) 代入可得 p值,从而求得抛物线的标准方程.(2) 当斜率不存在时 ,直线方程为 x=2 符合题意 ;当斜率存在时 ,先设直线方程并联立抛物线方程 , 得出 =0, 即可求出结果 .(3) 由题意可知 ,AB 的斜率存在 ,设 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 代入抛物线的标准方程化简 ,由 x1+x2 =2, 求得 k 的值 ,从而得到 AB 的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为 x2=2py, 把点 P(2,1)

15、代入可得 4=2p, 所以 p=2, 故所求的抛物线的标准方程为 x2=4y.(2)(i) 当斜率不存在时 ,直线方程为 x=2, 符合题意 ;(ii)当斜率存在时 ,设直线方程为y-1=k(x-2), 即 y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得 x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以=16k 2-32k+16=0,所以 k=1.综上可得 ,直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x=2.(3) 由题意可知 ,AB 的斜率存在 ,设 AB 的方程为 y-1=k (x-1), 代入抛物线的标准方程 x2=4y 可得x2-4kx+4k -4=0, 所以 x1+x2 =4

16、k=2,所以 k= ,所以 AB 的方程为 y-1= (x-1),即 x-2y+1=0.1.(5分 )(2015赤峰模拟(20 分钟40 分)2) 已知点 A(0,2), 抛物线 C:y =ax(a0)的焦点为 F,射线FA与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM| |MN|=1, 则a的值等于()A.B.C.1D.4【解析】 选D.依题意F 点的坐标为,设 M 在准线上的射影为K,由抛物线的定义知 |MF|=|MK|,所以 |KM| |MN|=1 ,则|KN| |KM|=2 1,所以 |OA| |OF|=2 1,所以=2,求得a=4, 故选D.2.(5分 )(2015武汉模拟 )

17、 如图 ,已知抛物线y =2px(p0)的焦点F 恰好是双曲线-=1(a0,b0)的右焦点, 且两条曲线交点的连线过点F, 则该双曲线的离心率为()A.B.2C.+1D.-1【解题提示】 先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F 得到交点坐标 ,代入双曲线 ,把 =c 代入整理得 c4 -6a2 c2 +a4=0, 等式两边同除以a4,得到关于离心率 e 的方程 ,进而可求得 e.【解析】选 C.由题意 ,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为,代入双曲线方程得-=1,又 =c,所以-4 =1, 化简得 c4 -6a2 c2 +a4=0,所以 e4 -6e2+1=0, 所以

18、e2=3+2=(1+)2,所以 e=+1, 故选 C.【加固训练】 (2014 成都模拟 ) 已知抛物线y2=4x 的准线与双曲线-y 2=1(a0) 相交于 A,B 两点 , 且 F 是抛物线的焦点 , 若 FAB是直角三角形 , 则双曲线的离心率为 ()A.B.C.2D.3【解析】 选 B.如图所示 ,F(1,0).因为FAB 为直角三角形 ,所以 |AM|=|FM|=2,所以 A(-1,2), 代入-y 2=1, 得 a2 = ,所以 c2 =a2 +1= +1= ,所以 e2 =6, 所以 e=.3.(5分) 过点 P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线, 分别与抛物线x2=4y 交

19、于 A,B 两点 , 若直线 AB与圆 C:x 2+(y-1) 2=1 交于不同两点 M,N,则|MN|的最大值是.【解析】设直线PA的斜率为k,A(x A,y A), 则直线 PA的方程为y-1=k(x+2),由得 x2-4kx-8k-4=0,所以xA -2=4k, 则xA=4k+2,所以点A(4k+2,(2k+1)2),同理可得所以直线B(-4k+2,(-2k+1)AB 为斜率 kAB =2),=1,设直线AB的方程为y=x+b,由得2x2 +2(b-1)x+b2-2b=0,由于AB与圆C 交于不同的两点,所以0,即1-b0),O 为坐标原点 ,F 为抛物线的焦点 , 直线 y=x 与抛物线 C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1) 求抛物线 C的方程 .(2) 若直线l 过点 F 交抛物线于不同的两点A,B, 交 x 轴于点M,且=a,=b, 对任意的直线l,a+b 是否为定值 ?若是 , 求出 a+b 的值; 否则 , 说明