【T】上海市2018届高三数学一轮复习专题突破训练：专题：圆锥曲线

1、高中数学上海历年高考经典真题专题汇编专 题： 圆锥曲线姓 名 ：学 号 ：年 级 ：专题 7：圆锥曲线一、填空、选择题1、（ 2016 年上海高考）已知平行直线l1 : 2xy10, l2 : 2xy10 ，则 l1 ,l 2 的距离 _251、【答案】5【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d|c1c 2 | 11|2 5a2b2221252、（ 2015 年上海高考）抛物线2（ p 0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1，则 p=y =2px2（ p 0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1，2、解：因为抛物线 y =2px所以=1，所以 p=2 故答案为：23、（ 2014 年

2、上海高考）若抛物线y22 px 的焦点与椭圆x2y21 的右焦点重合，95则该抛物线的准线方程为.3、【解析】：椭圆右焦点为(2,0) ，即抛物线焦点，所以准线方程x2若双曲线 x2y 2的一个焦点到其渐近线的距离为2 2 ，4、（虹口区 2016 届高三三模）b21则该双曲线的焦距等于_.4、 答案 65、（浦东新区2016 届高三三模）抛物线 y1x2 的准线方程是45、【答案】 y1【解析】 y1x2x24y ，则其准线方程为y 146、（杨浦区2016 届高三三模）已知双曲线x2y21 (a N * ) 的两个焦点为 F1 、 F2 ， P 为该双曲线上一点，a24满足 | F1F2|

3、2| PF1 | | PF2 | ， P 到坐标原点 O 的距离为 d ，且 5 d 9 ，则 a26、 答案 4或 97、（虹口区 2016 届高三三模）过抛物线x28y 的焦点 F 的直线与其相交于A ， B 两点， O 为坐标原点若 AF 6,则 OAB的面积为7、 答案 28、（浦东新区2016 届高三三模）直线y kx1与抛物线 y22x 至多有一个公共点，则k 的取值范围是8、【答案】01 ,2【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。ykx 122由22xkx2k2 x 10y k0 ，显然满足；当 k0 时，由0k1 ，由图像知：k122所以，综上所述，k 的取值范围

4、是 01 ,。29、（浦东新区2016届高三三模）设P为双曲线 x2y21 a0 上的一点， F1、F2是左右焦点，F1 PF22 ，a23则F1PF2 的面积等于（）A.3a2B.3 a2C.3D.2 33339、【答案】 C【解析】利用“焦点三角形的面积公式” 。 Sb2 cot，求得面积 S cot333x2y210, b 0）3x ，它的一个焦点10、（崇明县2016 届高三二模） 已知双曲线 a 2b2（ a的一条渐近线方程是 y与抛物线 y216x 的焦点相同，则双曲线的标准方程为11、（奉贤区2016 届高三二模）双曲线4x2y21的一条渐近线与直线txy10垂直，则 t_x2y

5、212、（虹口区2016 届高三二模）如图,A、B 为椭圆 a2 + b21( ab0) 的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作 x 轴的垂线，与其交于点C.若 AB / / OC( O 为坐标原点 )，则直线AB 的斜率为 _.13、（黄浦区2016 届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为14、（静安区 2016 届高三二模）已知双曲线x2y21(m 0) 的渐近线与圆 x2( y 2)2 1 没有公共点，m2则该双曲线的焦距的取值范围为.15、（静安区2016 届高三上学期期末）已知抛物线yax2 的准线方程是y1 ，则 a.416、（普陀区2016 届高

6、三上学期期末）设 P 是双曲线x2y21上的动点， 若 P 到两条渐近线的距离分别为d1 , d2 ，42则 d1 d2 _.17、（杨浦区 2016 届高三上学期期末） 抛物线 C 的顶点为原点 O ，焦点 F 在 x 轴正半轴， 过焦点且倾斜角为的4直线 l 交抛物线于点 A, B ，若 AB 中点的横坐标为 3，则抛物线 C 的方程为 _.18、（宝山区 2016届高三上学期期末）抛物线y212 x 的准线与双曲线x2y21 的两条渐近线所围成的三角93形的面积等于2219、（松江区2016 届高三上学期期末）已知双曲线xy1 的右焦点与抛物线y212x 的焦点相同，则此双m5曲线的渐近

7、线方程为()A. y5B.25xC. y5D.35xy5xyx235x2y2111、112、 213、 10 314、 (2,4)15、 110、12242417、y24x、16318 3319 A二、解答题1、 (2017 年上海高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆: x2y21， A为的上顶点， P 为上异于M 为 x 正半轴上的动点 .4上、下顶点的动点，（ 1）若 P 在第一象限，且|OP |2，求 P 的坐标；（ 2）设 P( 8 , 3) ，若以 A、 P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；55（3）若 |MA|MP |，直线 AQ 与交于另一点 C，且

8、AQ2AC， PQ4PM ，求直线 AQ 的方程 .【解析】（ 1）联立: x2y21与 x2y22，可得 P(2 3,6 )433（ 2）设 M (m,0)， MAMP(m,1)(8m, 3)m28m30m3或 m155555PA MP ( 8,2) (8m, 3)8 m64 60 m2955555252520（ 3）设 P( x0 , y0 ) ，线段 AP 的中垂线与 x 轴的交点即 M (3 x0 ,0) ， PQ4PM ，8 Q(3x0 ,3y0 ) ， AQ2AC ， C(3x0 ,1 3 y0 ) ，代入并联立椭圆方程，242解得 x085， y01，Q( 45, 1) ，直线

9、AQ 的方程为 y5 x19933102、（ 2017 年春考）（ 12 分）已知双曲线（ b 0），直线l： y=kx+m （ km0）， l 与 交于 P、Q 两点，P'为 P 关于y 轴的对称点，直线P'Q 与 y轴交于点N（ 0，n）；（ 1）若点（2，0）是 的一个焦点，求的渐近线方程；（ 2）若b=1，点P 的坐标为（1， 0），且，求k 的值；（ 3）若m=2，求n 关于b 的表达式解：（1）双曲线（ b 0），点（2， 0）是 的一个焦点， c=2， a=1， b2=c2 a2=4 1=3， 的标准方程为：=1， 的渐近线方程为（ 2） b=1 ，双曲线为： x

10、2 y2 =1， P（ 1， 0）， P（ 1， 0）， =，设 Q（ x2， y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，=（ 3）设 P（ x1， y1）， Q（ x2，y2）， k PQ=k 0，则，由，得（ b2 k2 ） x2 4kx 4 b2=0，由，得（） x2 2k0nx n2 b2=0 ， x1+x 2=， x1x2=， x1x2=，即，即=，=，化简，得2n2+n（ 4+b 2）+2b 2=0， n= 2 或 n=，当 n= 2，由=，得 2b222，=k+k0由，得，即 Q（，），代入x2=1，化简，得：，解得b2=4 或b2=kk 0，当 b2=4 时，满足n=，当 b2

11、=kk 0 时，由 2b2 =k2+k 02，得 k=k 0（舍去），综上，得n=3、（ 2016 年上海高考）有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S1 和 S2 ，其中S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1 和 S2 的分界线C 上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF的中点，点F 的坐标为（ 1,0），如图（ 1）求菜地内的分界线C 的方程（ 2）菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍，由此得到S1 面积的“经验值”为83。设M是 C 上纵坐标为 1

12、 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1 面积的经验值【答案】（ 1）y24x （ 0y2 ）（ 2）五边形面积更接近于S1 面积的“经验值” 【解析】试题分析：（ 1）由 C 上的点到直线与到点 F 的距离相等，知C 是以 F 为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分（ 2）计算矩形面积，五边形面积进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析：（ 1）因为 C 上的点到直线与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方

13、程为 y24x （ 0 y2 ）（ 2）依题意，点的坐标为1,14所求的矩形面积为5 ，而所求的五边形面积为11 24矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581，而五边形面积与“经验值”之差236的绝对值为 11 81，所以五边形面积更接近于S1 面积的“经验值” 4312考点： 1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积 .4、（ 2016 年上海高考）本题共有2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线 x2y 21(b 0) 的左、右焦点分别为 F1、 F2 ，直线 l 过 F2 且与双曲线交于A、 B 两点。b2（ 1）若 l 的倾斜角为，F1 AB 是等边三角形，

14、求双曲线的渐近线方程；2（ 2）设 b3，若 l的斜率存在，且( F1AF1B)AB0 ，求 l 的斜率 .【答案】（ 1） y2x （ 2）15.5【解析】试题分析：（ 1）设x , y根据F1 是等边三角形，得到 4 1b23b4，解得 b2 （ 2）（ 2）设x1 , y1，x2 , y2 ，直线 l :y kx2 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得 k 230 ，且36 1k 20设的中点为x, y由 F1F10 ，计算 F10 ，从而 kFk 1 1得出 k 的方程求解试题解析：（ 1）设x, y由题意， F2c,0， c1b2 ， y 2b2c21b

15、4 ，因为F是等边三角形，所以2c3 y，1即4 1b23b4 ，解得 b22 故双曲线的渐近线方程为y2x（ 2）由已知， F12,0， F2 2,0设x1 , y1，x2 , y2，直线 l : yk x2显然 k0 由x2y2123 x24k2x 4k23 0 3，得 kykx2因为 l 与双曲线交于两点，所以k 230 ，且36 1k20 设的中点为x, y由 F1F10即 F10，知 F1，故 kFk11而 xx1x22k2， yk x26k， kF3k，2k 23k232k 213所以3k3k1 ，得 k 23，故l 的斜率为152k2555、（ 2015 年上海高考）已知椭圆22

16、A 、 B 和 C、D ，记得到的x +2y =1，过原点的两条直线 l1 和 l 2 分别于椭圆交于平行四边形 ABCD 的面积为 S（ 1）设 A （x1， y1）， C（ x2， y2），用 A 、 C 的坐标表示点C 到直线 l 1 的距离，并证明S=2|x1y2 x2y1|；（ 2）设 l1 与 l 2 的斜率之积为，求面积 S 的值6、（ 2014年上海高考）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l : ax by c0 和点 P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 ) ，记(ax1by1c)(ax2 by2 c). 若0 ，则称点 12 被直线 l 分割 . 若曲

17、线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线P , PC 上存在点 P1, P2 被直线 l 分割，则称直线l 为曲线 C 的一条分割线 .(1) 求证：点 A(1, 2) , B( 1, 0) 被直线 xy 1 0 分割；(2) 若直线 y kx 是曲线 x2 4 y2 1的分割线，求实数 k 的取值范围；(3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线 .【解析】：（ 1）将 A(1,2), B( 1,0) 分别代入xy1，得(121)(11) 4 0点 A(1,2), B(1,0)被直

18、线 xy10 分割x24 y2122，得4k ) x1（ 2）联立(1ykx，依题意，方程无解， 1 4k 20 ， k1 或 k122（ 3）设 M (x, y) ，则 x2( y 2) 2 x1 ，曲线 E 的方程为 x2( y2)2 x21 当斜率不存在时，直线x0 ，显然与方程联立无解，又 P1 (1,2), P2 (1,2)为 E 上两点，且代入x 0 ，有10 ， x0 是一条分割线；当斜率存在时，设直线为ykx ，代入方程得： ( k21)x44kx34x2 1 0 ，令 f ( x)(k 21)x44kx34x2 1 ，则 f (0)1，f (1)k 214k3(k2)2 ，

19、f (1) k 21 4k3(k2)2 ，当 k2 时， f (1)0 ， f (0) f (1)0 ，即 f ( x)0 在 (0,1)之间存在实根， ykx 与曲线 E 有公共点当 k2 时， f (0) f (1) 0 ，即 f ( x)0 在 (1,0)之间存在实根， ykx 与曲线 E 有公共点直线 ykx 与曲线 E 始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x0是 E 的分割线7（、虹口区 2016 届高三二模） 已知直线 y 2x 是双曲线 C :x2y21的一条渐近线， A(1,0)、 M (m, n) (n 0)2b2a都在双曲线 C 上，直线

20、AM 与 y 轴相交于点 P ，设坐标原点为 O (1)求双曲线 C 的方程，并求出点P 的坐标（用 m 、 n 表示）；(2)设点 M 关于 y 轴的对称点为N ，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q 问：在 x 轴上是否存在定点T ，使得 TPTQ ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 若过点 D(0, 2) 的直线 l 与双曲线 C 交于 R、S两点，且 OROSRS ，试求直线 l的方程yMNPOAxQ（第 22题图）a1a1,y2bx 2解：（ 1）由已知，得2b故双曲线 C 的方程为1.3 分a2,4AM ( m1, n) 为直线 AM 的一个方向向量，直线 AM

21、的方程为x1y , 它与 y 轴的交点为 P(0,1n ).5 分m1nm（ 2）由条件，得N ( m, n), 且 AN(m1, n) 为直线AN 的一个方向向量，故直线 AN 的方程为x1y , 它与 y 轴的交点为 Q(0,n).7 分m1n1m假设在 x 轴上存在定点 T ( x0 ,0) ，使得 TPTQ ,则由 TP( x0 ,n), TQ( x0 ,n), 及 m2n 21, 得m1m14TP TQ( x0 ,n) ( x0 ,n2n 22n 224 0.) x02x02x0m1m1m1(1n )14故 x02, 即存在定点 T ，其坐标为(2,0)或 (2,0), 满足题设条件

22、 .10 分(3)由 OROSRS 知，以 OR、 OS 为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而OROS .12 分由已知，可设直线l的方程为 ykx2, 并设 R( x1 , y1 ), S( x2 , y2 ),则由ykx2,( k 24) x24kx80.x2y2得1,4由16 k 232( k 24)16(8k 2 )0, 及 k 240, 得 k 28 且 k 24（ * ）由 x1x24 k8, y1 y2( k x12)( k x22),14 分k 24, x1 x24k 2得 OR OS x1x2y1 y2(k 21)x1 x22k( x1x2 ) 48(

23、k 2 1)8k 244( k 22)0k24k 24k24故 k 22, 符合约束条件（* ） .因此，所求直线l 的方程为 y2x2.16 分8、（黄浦区 2016 届高三二模）对于双曲线C(a ,b) :x2y 21 (a,b 0) ，若点 P( x0 , y0 ) 满足x02y02a2b2a2b2 1，则称 P 在的 C(a ,b ) 外部；若点 P(x0 , y0 ) 满足x02y021，则称 P 在 C(a ,b) 的内部；a2b2（ 1）若直线 y kx 1 上的点都在 C(1,1) 的外部，求 k 的取值范围；（ 2）若 C( a,b ) 过点 (2,1) ，圆 x2y2r 2

24、(r0) 在 C( a,b ) 内部及 C(a, b) 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、 r满足的关系式及r 的取值范围；（ 3）若曲线 | xy | mx21 (m0) 上的点都在 C( a,b ) 的外部，求 m 的取值范围；解 （ 1）由题意，直线 ykx1 上点 (x0 ,kx01) 满足 x2y 21，即求不等式 x02( kx0 1)21的解为一切实数时 k 的取值范围（ 1 分）对于不等式 (1 k 2 ) x022kx02 0 ，当 k1 时，不等式的解集不为一切实数， （ 2 分）于是有1 k 20,解得 | k |2 4k 28(1k 2 )0,故 k 的取值

25、范围为 (, 2)( 2,) （4 分）（ 2）因为圆 x2y 2r 2 和双曲线 C( a,b)均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、 y轴正半轴的情况由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为2r,2r 22将2r2rr 2r 2， y代入双曲线( a ,b )方程，得1（），（分）x2b2622C2a2*又因为 C( a, b) 过点 (2,1) ，所以411，（7 分）a2b2将 a24b2代入（ * ）式，得 r 28b2（9 分）b21b23由 b23r 20 ，解得 r28因此， r 的取值范围为(2 2,) （10分）r28（

26、 3）由21，得 | y | m | x |11x2y 21，| xy | mx将 | y | m | x | x |代入2b2| x |a12m | x |x2| x |由题设，不等式1对任意非零实数x均成立（ 12 分）a2b221其中 x2m | x |2a2| x |12a2 22a2m a2b2a2 b2 ( bm ) xx2令 x2t ，设 f (t ) (b2a2 m2 )ta22a2 m ，（ t0 ）t当 b2a2 m20时，函数 f (t ) 在 (0,) 上单调递增， f (t) 1不恒成立；（ 14 分）当 b2a2 m20 时， (b2a2 m2 )ta 2 2 (a

27、2 m2b2 )a2 ，t函数 f (t ) 的最大值为2( a2 m2b2 ) a22a2 m ，因为 m02 (a 2m2b2 )a22a2 m0 1；（ 16 分），所以a2 b2当 b2a2 m20时， f (t )a22a2 m 01 （17 分）t综上， b2a2m2 0 ，解得 m b 因此， m 的取值范围为b ,（ 18 分）aa9、（静安区2016 届高三上学期期末） 设 P1 和 P2 是双曲线 x2y21上的两点， 线段 P1P2 的中点为 M，直线 P1P2a2b2不经过坐标原点O.(1) 若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为k1 和 k2，求证b2；:k1k2=2a(2)若