模糊数学在教学设计中的应用

1、模糊數學在教學設計中的應用基於異質分組的班級教學方案選擇李 翔（上海 华东师范大学 教育信息技术系 200062）摘要：本文闡述了模糊數學的特點以及在教學設計中應用的可行性；並以具體的示例詳述了基於異質分組的班級教學中，如何應用模糊數學工具定量化地研究教學方案的選擇問題，以達到最佳的教學效果。其教學方案的選擇應包括以下步驟：1）確定教學目標，根據教學目標及學生的學習效率、學習效果等諸多因素，設計教學方案；2）對教學系統涉及的各因素分析，並求權數。3）按照各因素間的關係構造關係圖表。4）用模糊數學求解最佳方案。最後指出：隨著模糊數學在教育領域應用的研究工作的開展，電腦輔助教學將會得到長足發展。關

2、鍵字：模糊數學 教學設計 教學效果 教學效率一、模糊數學及教學設計特點模糊數學是爲了讓數學進入具有模糊現象和模糊概念的各個知識領域而發展起來的一個新興的數學分支，它用模糊集合來描述概念。在普通集合論中，一個物件對於一個集合，要麽屬於，要麽不屬於，兩者僅居其一，絕不允許模棱兩可。由此，普通集合不能用來描述模糊概念，而模糊概念及模糊關係在許多科學領域中又是處處可見的，尤其是隨著科學技術的不斷發展，一些包含大量模糊現象和模糊概念的社會科學，如經濟學、心理學和教育學等，都要求定量化分析，以期對他們所研究事物的內在規律作出更深人、科學的解釋。1 薛理銀：教育資訊處理原理，北京師範大學出版社，第283頁目

3、前，對於教學設計的研究，由於受到教育學理論發展的影響，大體朝著兩條不同的路線發展：（1）在“實證主義”的影響下，對教學設計的研究朝著“假設演繹”模式發展，強調研究的客觀性、因果性、演繹性、可證僞性及定量化的方向發展。（2）受“解釋主義”的影響，認爲研究社會現象的途徑與研究自然現象的途徑有著根本的差別。強調研究的主觀性、意義性、歸納性、參與性及定性化等特點。以上兩種研究的方法，都取得了豐碩的成果。同時，我們也看到：有較嚴格控制（無論在實驗室或特殊教室）以量化研究爲主的分析性教學設計的研究，在教育實踐中的影響，不如在自然實驗條件下以定性研究爲主的分析性研究。著名教育專家張定璋教授曾指出：教育或教學

4、的物件是主體性的人及其教育活動，其目的、內容、方式及過程等都是社會性的，教學設計活動的科學屬性應當是社會科學，它是一種社會科學行爲，有必要另辟蹊徑建立社會科學研究的規範。2 盛群力：從兩種研究範式談教育實驗，教育研究，1995年第9期模糊數學既擺脫了嚴格定量化的束縛，又體現了對定性分析所造成的模糊現象和模糊概念，而且使定量化分析進入了模糊現象及模糊概念領域，爲教學設計的進行，基於定性分析的基礎上，開展定量研究開闢了道路。二、模糊分析數學設計應用教學設計是教學系統作爲自己的研究物件，分析教學過程的各個要素，注意各要素之間的聯繫，力求在可能的條件下，取得相對最佳的教學效果。當前學校教學普遍採取異質

5、分組的形式進行分班教學，即同一班級內，都存在好、中、差三種層次的學生，並同時通地進行教學。在教學設計過程中，教師需要對學生的起始能力、學習效果、學習效率等多種因素予以綜合考慮，才能決定教學內容、教學方式及教學過程。現以一個模糊分析應用實例來闡述其教學過程。某班級有40位學生學習成績如表1。現某教師將在此班講解以下一道例題：“設甲、乙兩地各有一輛汽車，分別以V1、V2的速度相向而行，且已知甲、乙兩地的距離爲L。求兩車相會時，所花費的時間t ?”分數100807960590人數81220表1 學生成績表步驟一：根據班級學生成績，可設計以下三種講授方案：方案一。針對成績在80分以上的學生；此類學生學

6、習基礎教好，可直接講授本題，就能達到預期教學效果。方案二。針對成績在60分至79分之間的學生；這部分學生學習基礎較薄弱，對速度相加的概念較難理解，爲達到預期教學效果，可先講解以下一個簡化的例題作爲過度性知識。“設甲、乙兩位同學，相距4米，且甲、乙兩位同學各以1米/秒的速度相向而行，求相會時，所需的時間t ?”方案三。針對成績在60分以下的學生，這部分學生學習基礎很薄弱，對速度等抽象概念很難理解。可先設計一個更具體的、更簡單的例題作爲過度性知識。“設甲、乙兩人，共吃4張餅，且每人都以1張/小時的速度吃餅，問吃完時，所需的時間t ?”步驟二：對各教學方案所需的教學時間，教學效果等各種教學因素予以綜

7、合考慮。爲簡單起見，在本題目的教學設計評價目標中，僅以教學效果及教學效率作爲評價目標。1 各教學方案所需的教學時間及教學效率，見表2. 教學效率評價集合：A=1, 0.5, 0.33所需教學時間教學效率方案一5 （分鐘）1方案二10 （分鐘）0.5方案三15 （分鐘）0.33表2. 各方案的教學時間和相應的教學效率2. 教學效果評價集合，包括熟悉、理解、不理解三項。參照其對教學效果評價的貢獻大小，確定其權數。見表3。教學效果評價集合：B=0.3, 0.6, 1。教學效果熟悉理解不理解權數0.30.60.1表3. 各教學效果的權數3. 教學設計評價目標包括教學效果及教學效率,其權數如表4。教學設

8、計評價目標教學效果教學效率權數0.70.3表4. 教學設計評價目標中各項的權數步驟三：以各方案得到的教學效果建立如表5. 所示的圖表。表中數值代表通過各方案的教學,所能達到學習效果某程度的學生占總學生數的比值。例如按教學方案二實施教學過程，則能熟悉掌握教學內容的學生數（成績爲80分以上的學生）8人占總人數40人的1/5。方案教學效果方案一方案二方案三熟悉01/51/2理解1/53/101/2不理解4/51/20表5. 各方案的教學效果步驟四: 建立模糊關係矩陣，並求解最佳方案。1 由以上表5建立關係矩陣R，即 0 1/5 1/2 R= 1/5 3/10 1/2 4/5 1/2 0 2 令Q代表

9、各方案實施後的綜合教學效果，則 0 1/5 1/2 Q=BR=(0.3 0.6 0.1) 1/5 3/10 1/2 4/5 1/2 0 =(0.2 0.3 0.5)3 令ui代表每個教學設計方案評價結果，則ui = c1qi + c2ai (1i3) 其中c1、c2爲表4中教學效果及教學效率權數。qi 爲綜合教學效果集合Q中的元素。ai爲各教學方案的教學效率評價集合A中的元素。故有 u1 =0.7*0.2+0.3*1=0.44 u2=0.7*0.3+0.3*5=0.36 u3=0.7；其中u1>u2> u3；故第三種教學設計方案爲最佳設計方案。由以上實例推演，我們可得到模糊分析教學

10、設計的一般步驟：第一步：確定教學目標，根據教學目標及學生學習的起始認識能力、學習效率、學習效果等諸多因素，設計教學方案。第二步：對教學系統涉及的各因素分解，並求權數。第三步：按照各因素間的關係構造關係圖表。第四步：用模糊數學求解最佳方案。以上分析表明將模糊數學引入教學設計領域，不僅反映了教學設計定性研究的特點，同時又展開了定量化操作，使教學設計的分析過程更加清晰了。隨著模糊數學在教學設計領域應用的進一步研究，必將使教學工作中的核心環節之一教學設計工作朝科學化、規範化方向再邁進一大步。三、展望電腦輔助教學是電腦技術應用於教育領域的重要分支。尤其，在新的世紀，在資訊革命浪潮的衝擊下，未來教育模式將

11、朝著多樣化，綜合化，開放式的教育模式轉變。同時，教育內容的豐富性，教育方式的多樣性，教育過程的複雜性，使教育界對新技術性能的要求越來越高。總的說來，新技術需要具備通訊能力強，演算速度快，存儲量大，軟體工具豐富，處理能力強等多種特點。爲了有效提高電腦輔助教學的交互功能，提高電腦輔助教學的處理資訊的性能；資料庫技術，人工智慧技術以及教育領域的數學建模是三大必不可少的環節。目前，資料庫技術，人工智慧技術都得到很大發展。但是，教育領域的數學建模一直進展緩慢。近年來，隨著模糊數學的方法在諸多領域的廣泛應用，許多模糊領域的定量分析都取得了許多重要成果，相信不久的將來，隨著模糊數學在教育領域應用的研究不斷推廣，深入，電腦輔助教學將會得到長足的發展。參考文獻(1)模糊數學與模糊優化. 科學出版社. 方述誠 汪定偉 著(2)