混沌理论概说

1、混沌理论概说混沌理论概说 1 混沌理论是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周 期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序 运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表 现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子） 。从 20 世纪 80 年代中期到 20 世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、 物理、 工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有 关注，引发了全球混沌热。自然科学中讲的浑沌运动指确定 性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。确定性是指方 程不含随机项的系统， 也称动力系统。 典型的模型有 logistic 迭代系统、洛伦兹微分方程系统、若斯功吸引子、杜芬

2、方程 等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上 田宛亮、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝 柏林等。混沌理论向前可追溯到 19 世纪庞加莱等人对天体 力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被 称为浑沌学之父。 混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论， 是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法， 用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体、 连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。“一切事物的原始状态， 都是一堆看似毫不关联的碎片， 但是 这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会

3、有机地汇集成一个 整体” 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，古希腊哲学家对 于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成 现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学 家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家 熟知的地心引力，杠杆原理，相对论等。这些自然规律都能 用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物 体的行径。近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯 的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家发现 简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产 生所谓的“蝴蝶效应”。60 年代，美国数学家发现某些物体的 行径经过某种规则性

4、变化之后，随后的发展并无一定的轨迹 可循，呈现失序的混沌状态。1963 年美国气象学家洛伦茨提出混沌理论，非线性系统具 有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生 随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作 用。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经 过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。混沌系 统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生 物学、信息技术、 经济学、工程学、 金融学、 哲学、物理学、 政治学、人口学、心理学和机器人学。多种系统的浑沌状态在实

5、验室中得到观察， 包括电路、 激光、 流体的动态，以及机械和电磁装置。在自然中进行的有对天 气、卫星运动、天体磁场、生态学中的种群增长、神经元中 的动作电位和分子振动的观察。浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合 模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混 沌状态。混沌控制由狄透、贾芬卡、约克，将此想法化为实用技术， 用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。混沌系统有三种性质：1. 受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可 以导致最终状态的巨大差别。2. 具有拓扑混合性。不严格地来说，就是系统会将初始空间 的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位3

6、. 周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期 轨道的值。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完 整的成熟理论。 但有的科学家对混沌理论评价很高， 认为“混 沌学是物理学发生的第二次革命”。 但有的人认为这似乎有些 夸张。对于它的应用前景有待进一步揭示。但混沌理论研究 同协同学、耗散结构理论紧密相关。它们在从无序向有序和 由有序向无序转化这一研究主题有共同任务，因而混沌理论 也是自组织系统理论的一个组成部分。近几年来，科学家们 在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第一类混沌， 即时间序列混沌的控制实验。英、日科学家还在试验用混沌 信号隐藏机密信息的信号传输方法。混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量 子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量 子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否 定了包括宏观世界拉普拉斯式的决定型因果律。混沌的发现 揭示了对规律与由此产生的行为之间即原因与结果之间关 系的一个基本性的错误认识。过去认为，确定性的原因必定 产生规则的结果，但现在知道，它们可以产生易