4、用分组分解法进行因式分解(2)

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解， 不仅可以考察提公因式法， 公式法，同时它在代数式的化简， 求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2 +a+1) + a4 +a2 +1分解因式，所得的结果为(A.(a2 +a -1)2

2、2 2C.(a +a+1)B.(a2 -a +1)22 2D.(a -a-1)分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2 +a+1) +a4 +a2 +1=a4 + 2a +3a2 +2a +1=(a4=(a2=(a2故选择C+ 2a3 +a2) +(2a2 +2a) +1 + a)2 +2(a2 +a) +12+ a+1)2例 2.分解因式 x5 -X4 +x3 -X2 +x -1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 -X4 +x3 和- X2 +x-1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把xx

3、4x -X2和X-1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式=(x5 -X4 +x3) -(X2 -X +1) =(x3 -1)(x2 -X +1)=(X -1)(x2 +x +1)(x2 -X +1)解法2：原式=(x5 -X4) +(x3 -X2) +(x -1)=x4(x -1) +x2(x -1) +(X -1)42= (x-1)(x +x +1)4 2 2=(x -1)(X4 +2x2 +1) -X2=(x -1)(x2 +x + 1)(x2 -X +1)2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为 a、b、c,且满足a>b，a2 + c2 c

4、b2 +2ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理, 第三边”是“两边之和大于第三边，两边之差小于证明：丁 a2 +c2 cb2 +2ac/. a2 +c2 -b2 2ac cO/.a2 -2ac +c2 -b2 c0，即卩(a-c)2 -b2<0二(a -c +b)(a -c -b) cO又丁 a-c+b Aa-c-b”ac +b:>0, a-c-bcO/. a +bc, a -b cc即a b VC ca +b”.以a、b、c为三边能构成三角形3.在方程中的应用例：求方程X-y =xy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题, 故可考

5、虑借助因式分解求解解：丁 X-y =xy直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，/. xy X +y =0 .xy -X +y -1 =1即 x(y 1) +(y 1) =T.(y 1)(x +1) =-1:X, y是整数lx +1 =1X +1 = 1 或4 一1=一1ly -1 =1=0 或 h-2=0 ly =24、中考点拨例 1.分解因式：1 _m2 一n2 +2mn =.2 2解: 1 -m -n +2m n=1 _(m2 2m n +n2)=1 _(m -n)2 =(1 +m n )(1 m + n)但搭配在说明：观察此题是四项式， 应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式, 一

6、起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：X2 y2 x +y =解：x2 -y2 _x +y = (x2 -y2) _(x -y)=(x +y)(x y) (Xy) =(x y)(x +y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3.分解因式：X3 +3x2 -4x12=解: x3 +3x2 -4x -12 =x3 -4x +3x2 -122 2= x(x -4) +3(x -4)=(x +3)(x +2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示:例 1.分解因式：m2(n2 -1)中4mn -n2 +1

7、解：m2(n2 -1)+4mn -n2 +1=m2n2 -m2 +4mn -n2 +1 =(m2n2 +2mn +1) -(m2 -2mn -n2)2 2=(mn +1)-(m -n)=(mn -m +n +1)(mn +m -n 中1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn， 配成完全平方和平方差公式。2 2 2 2例 2.已知：a +b =1, c +d =1,且 ac + bd =0，求 ab+cd 的值。解：ab+cd=ab>M +cd 咒 1=ab(c2 +d2) + cd(a2 tb2) =abc2 +abd2 +cda2 +cdb

8、2 =(abc2 + cdb2) + (abd2 +cda2) = bc(ac + bd) +ad(bd +ac) =(ac +bd)( be +ad)丁 ac + bd =0” .原式=0说明：首先要充分利用已知条件a2 +b2=1，C2 + d2 =1 中的 1(任何数乘以1，其值不变)，其次利用分解因式将式子变形成含有 杲。ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结观察多项式发现当x=1时，它的值为0,例3.分解因式：X3 +2x -3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。这就意味着x-1是x3+2x-3的一个因式，因此变形的目的是凑 X-1这个因式。解一(拆项)：X3 + 2

9、x -3=3x3 -3 -2x3 +2x2 2=3(x-1)(x +x +1) -2x(x -1)=(x -1)(x2 +x +3)解二(添项)：x3 + 2x 3=x3 -X2 +x2 + 2x -3=x2(x -1) +(X -1)(x +3)=(x -1)(x2 +x +3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1.填空题:(1)分解因式a： -3a b2 +3b =(2)2.已知:分解因式X： -2x 4x y+4y2 +4y =分解因 式 1: mn(1 mn) m3n3 = a + b +c =0,求 a3 +a2c -ab

10、c + b2c + b3 的值。3.分解因式：a14.已知：X2 -y2 -z2 =0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 -y3 -z3 =(x-y)(x-z)A，试求A的表达式。5.证明：(a +b -2ab)(a +b -2) +(1 -ab)2 =(a -1)2(b -1)2【试题答案】1.(1)解:原式=(a2 -b2) -3(a -b)=(a +b)(a -b) -3(a -b)=(a -b)(a +b-3)(2)解:原式=(x2 -4xy +4y2) -2(x -2y)=(x -2y)2 -2(x -2y)= (x-2y)(x-2y -2)(3)解:原式=1 mn +m2

11、 n2 m3 n32 2=(1 mn) +m n (1 mn)2 2=(1 一 mn)(1 + m n )2.解：原式=(a +b)(a2 ab +b2) +c(a2 -ab +b2)= (a2 -ab +b2)(a +b +c)Ta +b +c=0二原式=0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3. 解: a5 +a+1=a5 -a2 +a2 +a +1=a2(a3 -1) +(a2 +a +1) =a2(a-1)(a2 +a +1) +(a2 =(a2 +a + “(a3 -a2 +1)+a +1)4.解：2-x22c-y -z =0 222 2 2y=x-z ， z =x333X-y-z-y2=(x3 -y3) -z z22=(x -y)(x +xy +=(x y)x2 +xy +y2 z(x +y)=(x y)x(x z) +y(x z) +(x2 z2)=(x -y)(x -z)(x +y +x +z)=(x y)(x -z)(2x +y +z)A =2x +y +zy2) z(x2-y2)5.证明：(a + b 2ab)(a +b 2) +(1 ab)2=a2 +ab -2a +ab +b2 -2b -2a2b -2ab2 +4ab +1 - 2ab + a2b2 =a