《2.3双曲线-2.3.2双曲线的几何性质》导学案

1、232双曲线的几何性质导学案2教学过程上节课，我们以焦点在 X轴上的双曲线的标准方程 -_=1为例，研究了双曲线的简单几电 H £何性质，请完成以下的表格：双曲线焦点在X轴上焦点在y轴上1图形7定义平面内，到两个定点Fi, F2的距离之差的绝对值为常数 2a(0<2a<FiF2)的 点的轨迹叫做双曲线，两个定点是双曲线的焦点，常数2a为实轴长.1标准方程21-' (a>0, b>0)耸£=1 F* % iE(a>0, b>0)实轴长2a虚轴长2b焦距2c基本量的关系2.2 2a +b =c1离心率几 范围何xa 或 x<-a

2、,y Ry為或y<-a,x R顶点坐性标质(±a, 0)(0, ±a)焦占坐八 、八、L_-标(k, 0)(0, ±)渐近线方程y= ±xy= ±x对称中心(0, 0)对称轴X轴、y轴双(从此以下本节课研究后补充 )曲线上 的点到 中心距 离的取 值范围双 曲线一 支上的 点到该 侧焦点 的距离 的取值 范围双 曲线一 支上的 点到异 侧焦点 的距离 的取值 范围对照椭圆，双曲线还有几个最值需要我们研究（先说出你的猜想，然后再作判断或证明）.一、数学运用【例1】已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，焦距为16,离心率为.，求双曲线的方

3、程处理建议本题的基本量a，b，c之间的关系比较清晰，引导学生首先求出a，b，然后判断焦点的位置规范板书解 根据题意知2c=16，所以c=8.又e=，所以a= 6，所以b2=c2-a2= 28.又因为中心在坐标原点，焦点在y轴上，所以双曲线的方程为 一一 =1.题后反思本例是一道简单的、典型的由双曲线的几何性质确定其标准方程的问题， 熟练掌握双曲线标准方程的基本量a，b，c，e间的关系是解此类问题的关键.变式1已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16,渐近线方程为 y=± x, 求双曲线的方 程.规范板书解 因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的方程为-=1，则渐近线方程为y=

4、7; x.因为渐近线方程为y=± x，所以=，即a2=3b2.又a2+b2=c2=64，解得故双曲线的方程为-=1.变式2已知双曲线的焦距为16,渐近线方程为y=± x，求双曲线的标准方程.规范板书解 若双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的方程为.- .=1，所以渐近线方程为y=± x.因为渐近线方程为y=± X所以=疳，所以b2=3a2又a2+b2=c2=64,所以 一故双曲线的方程为-_=1.若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的方程为 一-=1，则渐近线方程为y=±x.lU n *K因为渐近线方程为y=Tx，所以=応，所以a2=3b2又a

5、2+b2=c2=64，解得.-' 故双曲线的方程为 _-_=1.A 9 HX1综上，所求双曲线的方程为 陰-泪±1.变式3求一条渐近线方程为3x+4y=0，且经过点签萇的双曲线的标准方程.规范板书解 依题可设双曲线的方程为 一=入(炉0又双曲线经过点 就,所以二- =入，解得入=，因此双曲线的标准方程为 77"= 1 .【例2】已知双曲线-_=1(0<a<b)的半焦距为c,直线I过(a, 0), (0, b)两点，且原点到直线啲距离为甞c,求该双曲线的离心率.处理建议利用点到直线的距离公式寻找关于a, c的关系式，即可求得离心率 e.规范板书解 因为直线

6、I过(a, 0), (0, b)两点，所以直线I的方程为bx+ay-ab= 0.由原点到直线 啲距离为c,得亠一 =c,故3c2(a2+b2)=16a2b2.将 b2=c 2-a2 代入上式，整理得 3c4- 16a2c2+ 16a4= 0.两边同除以a4后令=x，得3x2-16x+16=0,解得x= 4或x=.因为e=魚，故e=2或e=,又由条件0<a<b知。= -> ，故e=舍去，所以e=2.题后反思在方程的求解过程中适当换元可以简化计算，另外要关注题中的约束条件0<a<b.*【例3】已知F1, F2是双曲线学y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足/ FjP

7、F2=90 °求厶FjPF2的面积.2处理建议请学生类比椭圆相关问题进行分析（双曲线的定义结合余弦定理）.规范板书解 设PFi=m, PF2=n，则彳鬥吨匕叽 ， 易得mn=2. 故：:=mn= 1.题后反思若把90。换成60。呢？方法不变，同样应用双曲线的定义结合余弦定理可得卩紀'吐产易得mn =4.故口 F ? F =*mn si n60° 百.此类问题属双曲线的焦点三角形问题，可类比椭圆相关问题来解决，其解决方法为：在 F1PF2中，应用双曲线的定义及余弦定理（或正弦定理）.二、课堂练习1. 已知F是双曲线x2-a2y2=a 2（a> 0）的右焦点，P为双曲线右支上一点，则以 PF为直径的圆 与圆x2+y2=a2的位置关系是夕卜切.提示 如图，设A为双曲线的左焦点，B为PF的