二面角的平面角的四种求解策略

1、面角的平面角的四种基本求法及训练(1)定义法一一在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角 的大小就是二面角的平面角。注：0点在棱上，用定义法。(2)垂线法(三垂线定理法)一一利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的 大小。注：0点在一个半平面上，用三垂线定理法。(3)垂面法一一通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点0在二面角内，用垂面法。图5(4)射影面积法一一若多边形的面积是 S,它在一个平面上的射影图形面积是 角e的大小为COS日=S' - SS'，则二面D例1如图，四面体ABCD中，0是BD的中点，求二面角A-BC-D的余

2、弦值.(三垂线定理法)SC于 D E,又 SA例2 在60°二面角 M- a N内有一点P, P到平面M平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（垂面法）例3如图在三棱锥 S-ABC中，S从底面ABC AB丄BC, DE垂直平分 SC,且分别交 AC、 =AB BS =BC, 求以BD为棱，BDE与 BDC为面的二面角的度数。（定义法）6C例4如图 ABWA BCD所在平面垂直，且 AB =BC =BD,/ ABC =/ DBC =120°，求二面角 A-BD-C的余弦值。（补棱法和射影面积法）例5.在四棱锥 P-ABCD中，ABCD为正方形，P从平面ABCD PA

3、= AB= a，求平面 PBA与平面 PDC所成二面角的大小。（补棱法和射影面积法）练习题1 .如图，二面角a -l- B的大小是60 ° ,线段AB? a . B | , AB与I所成的角为30 ° .则AB与平面B所成的角的正弦值是2.山坡与水平面成30。角，坡面上有一条与坡角水平线成30。角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了 100米，则此人行走的路程为 3 在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为。4.在60°的二面角的棱上有两点 A B, AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，

4、已知:AB=6, AC=3 BD=4,贝U CD=5 .若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为 是a和J2a，到棱的距离为 2a,则此二面角的度数6.60的二面角a _| -P内有一点P，点P到面a的距离为2,点P到面p的距离为11,则点P到棱1的距离为n兀兀7.二面角a | P的面a内有一条直线 AB ,它与1的夹角为一，与平面 P的夹角为一，则二面角4610,则它到棱的距离是（）8.在30°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是A 5 B 20 C10©D52""F9.在直二面角 a -l- B中,AC与平面B所成的角为(Rt A A

5、BC在平面) A 30内,斜边B 45BC在棱0I上，若AB与面B所成的角为600,则0 0C60D12010.如图，三棱锥P-ABC中，已知PA丄平面 弦值.ABC,P A=3,PB=PC=BC=6,C求二面角P-BC-A的正11.如图，平面 ABCD丄平面ABEF, ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=-AD=a, G是 EF 的中BGC;( 2)求二面角B-AC-G的正弦值.12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD,(I )求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；(II)求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值.M为PD的中点，PA=AB.13.

6、女0图，在四面体 ABCD中,AB丄平面 ACD, BC=BD=5, AC=4,DCD=4匝.(I )求该四面体的体积；(n ) 求二面角 A-BC-D 大小的正弦值.作二面角的平面角的四种基本方法(1)定义法一一在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二 面角的平面角。注：0点在棱上，用定义法。(2)垂线法(三垂线定理法)一一利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。 注：0点在一个半平面上，用三垂线定理法。(3)垂面法一一通过做二面角的棱的垂面, 注：点0在二面角内，用垂面法。两条交线所成的角即为平面角。图5(4)射影面积法一一若多边形的面积是C

7、OS e= S' 十 sS,它在一个平面上的射影图形面积是S'，则二面角0的大小为例1如图PCI平面 ABC AB= BC=CA= PC,求二面角 B- PA C的平面角的正切值。(三垂线定理法) PC丄平面ABC 平面PAC1平面ABC交线为AC作BD丄AC于D点，据面面垂直性质定理,BDC丄平面PAG作DEI PA于E,连BE据三垂线定理，则BE丄PA从而/ BED是二面角B PA G的平面角。设PO a,依题意知三角形ABG是边长为a的正三角形, D是AC的中点，且BD = PC= CA=a,/ PCA=90 , / PAC= 45°中，ED = AL* sm4

8、 亍在 Rt DEABD则在 RtABED 中 tg/BED = =7：ED2./3故二面角B-PA-C的平面角的正切值为例2 在60°二面角M a N内有一点P, P到平面M平面N的距离分别为2,求点P到直线a的距离。（图1 126）（垂面法）N于AQ分析设PA、PB分别为点P到平面M N的距离，过PA PB作平面a ,分别交M丁 T坦=皿丄弘BQ.丿同理，有 PB丄a, / PA n PB=F, a 丄面 PAQB于 Q又 AQ、B 平面 PAQB AQ丄 a , BQL a. - / AQB是二面角 M a N 的平面角。.，/ AQB=60° 连PQ贝U PQ是P到

9、a的距离，在平面图形 PAQB中 ,有 / PAQ=/ PBQ=90 P、A、Q B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径 2R在 PAB中， PA=1 , PB=2 /BPA= 180° -60 ° =120° ,由余弦定理得 aB'= 1+ 4-2 X 1 X2cos120 ° = 7AB3ifiZBPA"2R = PQ2妬由正弦定理:g +例3 如图在三棱锥 S-ABC中，sal底面 ABC AB丄BC, DE垂直平分SC且分别交 AC、SC于D、E,又SA =AB, BS =BC, 求以BD为棱，BDE与 BDC为面的二

10、面角的度数。 （定义法）解： BS =BC，又DE垂直平分 SC BE丄SC, SC丄面BDE BD 丄 SC,又 SA丄面 ABC SA 丄 BD, BD丄面 SAC BD丄DE且BD丄DC （定义法）则/ EDC就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，贝U BC =SB = 罷 a 且 AC = 品易证 SA3A DEC/ CDE =/ sac =60°例4如图 ABWA BCD所在平面垂直，且 AB =BC =BD,/ ABC =/ DBC =120°，求二面角 A-BD-C的余弦值。（补棱法和射影面积法）解：过a作AE丄CB的延长线于 E,连结DE,/面ABCL

11、面BCD AE 丄面 BCD- E点即为点a在面BCD内的射影 EBD ABD在面BCD内的射影设 AB =a则 AE =DE =ABsin60 a ad2鱼 cosNABD =丄4C sin/ abd =1=-a2V'15 2=a8又 BE"2J3=一a8考虑到我们求的是二面角a-bd-e ,而二面角45 A-BD-C与A-BD-C互补 二面角A-BD-C的余弦值为'工。5例5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形,成二面角的大小。AD 丄 pa【法一】（面积法）如图AD 丄 AB >= PAPI AB =AJ同时，BC丄平面BPA于B，故 PBA>

12、 PCD在平面PBA上的射影，设平面 PBA与平面PDC所成二面角大小为 0，则 cos 0 = s占ba = 2/20 =45 °SCD2【法二】（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体 ABCD-P QMN则PQIPA Pd于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在Rt Pad中, PA=AD则/ APD=45。即平面bap与平面PDC所成二面角的大小为 45°练习题1 .如图，二面角a -l- B的大小是60 ° ,线段 AB? a . B l , AB与IAB与平面B所成的角的正弦值是162. 山坡与水平面成30蛹，坡面上有一条与坡角水平线

13、成后升高了 100米，则此人行走的路程为4003. 在一个二面角的一个面内有一个点，4.在600的二面角的棱上有两点 AAB=6, AC=3 BD=4,贝U CD=5 若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为是。70° 或 165°a和J2a，到棱的距离为 2a,则此二面角的度数30蛹的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程 米它到棱的距离等于到另一个面的距离的2 倍,则二面角的度数为。B, AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知:。7 cm6. 60的二面角a -1 - P内有一点P，点P到面a的距离为2,点P到面p的距离为11,则点P到棱I的距离为

14、7.二面角a I - P的面a内有一条直线 AB ,它与I的夹角为-，与平面P的夹角为一，则二面角4610,则它到棱的距离是（B ）a 一| P的大小 8.在30°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是A 5 B 20 C10(2D5(22a内，斜边BC在棱0 B 459在直二面角 a -I- B中，Rt A ABC在平面与平面B所成的角为（A ） A 30上，若AB与面B所成的角为600，则ACC 600 D1200PA=3, PB=PC=BC=6,11.如图，平面ABCD丄平面ABEF, ABCD是正方形，10.如图，三棱锥P-ABC中，已知PA丄平面 ABC,31A

15、BEF是矩形，且 AF=-AD=a, G是 EF的中2点，（1）求证：AG丄平面BGC;（ 2）求二面角B-AC-G的正弦值.(1)证明：/ G 是矩形 ABEF 的边 EF 的中点 / AG=BG=2j5 / AG2+BG2=AB2 / AGL BG又平面 ABCD丄平面 ABEF,平面 ABCDA平面 ABEF=AB,且BCL AB BCL 平面 ABEF,又 AG?平面 ABEF,二 BCL AG； BCn BG=B. AGL 平面 BGC;(2)解：作 GML AB于 M,贝U M为AB中点，M为G的射影，作 GH AC于H,连接MH,则所求1角/ GHM GM=a，mh=2bd=返 aGH3a sin / GHM必312.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD, M为(I )求直线BC与平面ACM所成角的正弦