圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。这第一定义：平面内与两个定点F,、F2的距离之和等于常数(大于两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线I的距离之比等于常数 e(0 e 1)，则动点M的 轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线I叫做椭圆的准线，常数 e叫做椭圆的离心率。说明：若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段 F1F2。若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程2X2a2爲 1(a b 0)b中心在原点，焦点在 X轴上2 2y XA 市 1(a b 0)

2、a b中心在原点，焦点在 y轴上图形zeI * I.I -范围X a，y b顶点A,a,0、A2 a,0对称轴焦点B 0， b、B2 0, bX轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b ；焦点在长轴上F-i c,0、F2 c,0焦距F, F22c(c 0)离心率e -(0 e 1) aIX b,|y aAO,a 、 A2 0， aEBi b,0、B2 b,0X轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b ；焦点在长轴上Fj 0, c、F2 0, c|F1f2 2c(c 0)e -(0 e 1) a准线2 a y C2aX-c参数方程与普通方程2 X 2 a2占 1的参数方程为baC0S为参数 bsi n2丄2a2

3、X1的参数方程为baC0S为参数 bsi n3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时，设Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，P Xo，yo是椭圆上任一点,则PFia eX)，PF2 a eX)。推导过程：由第二定义得PF1e ( di为点P到左准线的距离)，则 PFi edi e x。a2a eX)。一eX0 a a eX0 ；同理得 PF?c简记为：左“ + ”右。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。2 2 y 1 ；若焦点在y轴上，则为再 ba2Xp 1。有时为了运算方便，设 b2mx22ny 1(m0,m n)。双

4、曲线的定义、方程和性质1.定义(1) 第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线。说明： IIPF1|-|PF2|=2a (2a<|F1F2|)是双曲线；若2a=|F1F2|,轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|, |MF1|-|MF2|=2a;若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|, |MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|= ±a，这是与椭圆不同的地方。(2) 第二定义：平

5、面内动点到定点F的距离与到定直线 L的距离之比是常数 e (e>1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2 .双曲线的方程及几何性质标准方程X2- £ 1(a 0,b0)y2X221(a 0,b 0)对称轴F1 (-C, 0), F2 (c, 0)A1 (a, 0), A2 (-a, 0)实轴2a,虚轴2b,实轴在X轴上，c2=a2+b2F1 (0，-c), F2 (0, c)A1 (0, a), A2 (0, -a)实轴2a,虚轴2b,实轴在 y轴上，c2=a2+b2离心率准线方程c |MF2 |e a | MD |2 2 - 2l1 :X a,l2:x ?

6、 准线间距离为 辛c | MF21e a | MD |2222iy T,l2:y T准线间距离为弓渐近线方程30八0ba b a几个概念(1)等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为J2 。共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例:2 222y_1的共轴双曲线是冷1-a2b2a2b2双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线;双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫

7、做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线I为抛物线的准线。I （即准线）；注： 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为 M ; 定点F （即焦点）；一定直线 一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线I的距离之比1）I的一条直线当0 e 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线I上。若F在I上，抛物线退化为过 F且垂直于 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线I的距离之比为常数e的点的轨迹， 时，表示椭圆；当 e 1时，表示双曲线；当 e 1时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动 点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与

8、抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单 化。二、抛物线标准方程1抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系， 这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标 准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y22 px P 0 , x22 py p 0 ,中：参数P的几何意义：焦参数 P是焦点到准线的距离，所以P恒为正值；P值越大，张口越大;等于焦点到抛物线顶点的距离。标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是

9、另一变量的一次项，方程右边一次项的变 量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是 x,若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是 y ,当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定2 2y2 ax 或 x2ay ,系数P，因此要做到“先定位，

10、再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为 这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由 已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2 2px P 0性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径Ff，0X 0关于X 轴对称原点e iX上22pi注： 焦点的非零坐标是一次项系数的丄；4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合, 掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。消去x或y化得形如五、直线与抛

11、物线有关问题 i .直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，2ax bX c 0 (* )的式子：此时直线与抛物线不是相切,直线与抛物线相交; 直线与抛物线相切； 当a 0时，(* )式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点， 而是与抛物线对称轴平行或重合；(*)式方程有两组不同的实数解(*)式方程有两组相同的实数解(* )式方程无实数解直线与抛物线相离. 当a 0时，若> 0若 =0 若< 02 .直线与抛物线相交的弦长问题弦长公式：设直线交抛物线于 AXi,yi ,BX2,y2，则AB2kABXaXb或ABV1 7若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理:物线y22 px p 0上点M X0, y 的焦半径长是MFPXo上,抛物线22X 2 py P 0 上一点 M x0, y0的焦半径长是MF六、抛物线焦点弦的几个常用结论设AB为过抛物线y22P-,yiy24 x1x22PX P0焦点的弦，设A Xi, yi , B X2, y22p.2sin，直线AB的倾斜角为，则ABXiX2以AB为直径的圆与准线相切;弦两端点与顶点所成三角形的面积S AOB2P2si nFAFB焦点F对A、B在准线上射影的张角为90