平面向量的综合应用

1、全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)平面向量的综合应用【考情分析】考试要求平面向量的数量积C级要求；平面向量的应用A级要求;会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 会用向量方法解决 简单的力学问题与其他一些实际问题.【知识清单1. 用向量方法解决平面几何问题(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何 元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题;(3)把运算结果 翻译”成几何关系.2. 向量在物理中的应用(1)动量mv是向量的数乘运算.(2)功是力F与位移s的数量积.3. 向量在三角函数中的应用与三角

2、函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算 公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换 的相关知识.4. 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的 位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体【课前预习】1.(必修4P93习题1改编)作用于一个物体的两个力 F1、F2的大小都是10, F1与F2的夹角为60°则F1 + F2的大小为.答案：10/3解析：|F 1 + F2|2= (F1+ F2)2= F1

3、2 + 2 F1F2+ F22 = 300,所以，|F 1 + F2I=2X10= 10 血2. 已知两恒力F1= (3, 4), F2= (6, 5)作用于同一质点，使之由点A(20, 15)移动到点B(7, 0),则F1, F2的合力F对质点所做的功ELL _ uuu_ uuu解析：W= F -AB = (F1 + F2) AB = (3 , 4)+ (6, 5) ( 13, 15)= (9, 1) ( 13, 15) = 9X( 13) + ( 1) « 15) = 117 + 15 = 102(焦).3. 在 ABC 中，AB=AC= 2, BC= 23,则 AB AC =答

4、案：2 解析：由余弦定理得cosA=AB2+BAcBC2 22+ 22( 2问22.124.已知直线ax+by+ c= 0与圆x2+ y2= 1相交于A、B两点，且|AB|全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）=农，则 OA OB=解析：如图，取D为AB的中点，因为0A= 1, AB = /3,所以/ AOD = n所以/ AOB= 23n 所以 OA OB = 1 X1 xcos2n= 25.已知边长为6 的正三角形 ABC, bd=2bC, aE=IaC, ad 与be交于点P,则pBpD的值为答案：27解析：如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(

5、-3, 0), C(3, 0),则D(0, 0),r3肿A(0,3问，E(1, 2轴，P0,号,所以 PB PD = |PD|2=(呼)J乎.【典型例题】 目标1平面向量在平面几何中的应用 例1如图所示，在正方形ABCD中，E, F分别是AB, BC的中点,证明：法一：设 AD = a, AB = b,求证：AF丄DE.则|a|= |b|, ab= 0,L_L1又 DE = DA + AE = a+ 2b, 1AF = AB + BF = b+ 2a,全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）所以AT E =L 1、b+芳丿(a+ 討=2a2-4a b+ 券=却 +1变式 如图，

6、在等腰直角 ABC中，角C是直角,CA= CB, D 是 CB的中点，E是AB上的一点，且 AE= 2EB,求证:AD 丄 CE.解析：法一：记 CA = a, CB = b,则 AB = b a,且 a b= 0, |a| = |b|.|b|2= 0.故AF丄DE，即卩AF丄DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A（0, 0), D(0, 2), E(1, 0), F(2, 1), AF = (2, 1), =(1, 2).因为 AF DE = (2, 1)(1, 2)= 2 2 = 0, 所以AF丄DE，即AF丄DE .【借题发挥】=2,1-taI因为 AD = CD

7、 CA = 2b a,991ICE = AE AC = 3(b a) + a = 3b+3a,f1y(2I12I I 2 1所以 AD CE = -b a -b+7a = 3b2 3a0.可得AD丄CE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC= BC则 C(0, 0), A(2, 0), B(0, 2),全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）因为D是CB的中点，贝J D(0, 1). 所以 AD = (-2, 1), AB = (-2, 2),一22 4又 CE = CE + AE = CA + 3 AB = (2, 0) + 3( - 2, 2)= g, 3丿,2 4c

8、3= 0,所以 ADCE=(- 2,1) 3,4=(- 2) >2+ 因此AD丄CE.【规律方法】 (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积 运算;(2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量 用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运 算达到证明的目的.【同步拓展】 1在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB 上运动，则eC eM的最大值为答案：3解析：以点A为坐标原点，AB, AD所在直线分别为X, y轴建 立平面直角坐标系，则 C(1, 1), m1, 2,设E(x, 0), x 0, 1,< 1、

9、 1则EC EM = (1 X, 1) 1-X, 2丿=(1-X)2 + 2 x 0, 1时，(1-X)2 + 2单调递减，当X=0时，EC EM取得最大值|.2.已知0是平面上的一定点，A, B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足OP= OA+ XAB + Ac）,衣（0, +乂）,则点P的轨迹一定通过 ABC的傾“内心”“外心”“重心”或“垂心”）解析：由原等式，得OP-OA= 沁+AC）,即AP= XAB+ AC）,根据平行四边形法则，知臨+犹是ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过 ABC的重心.3在上题中，若动点P满足OP=OA+ lAB+A

10、C ,甬|Ac|丿 .傾“内心” “外心”“重则点P的轨迹一定通过 ABC的心”“垂心”）解析：由条件，得OP-OA=+ACUAB| |AC| 丿疋(0,),口*f/AB AC，1jAB|Ac和分别表示平行于AB, AC的单位向量，故巫+些平分|AB| |AC|AB| |AC|/ BAC,即AP平分/ BAC,所以点P的轨迹必过 ABC的内心.目标2平面向量在解析几何中的应用例2如右图，线段AB的长度为2，点A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段 AB为一边，在第一象限内作等边三Y .角形ABC ,O为坐标原点，求OC Sb的取值范围.CBAO= 0, 0 (0 ° 9

11、0° (0, 2sin 0), C(2cos0+ 2cos(120 - 0, 2sin(120 - 0)则OC OB=(0, 2sin 0 (cos0+ 2cos(120 0, 2sin(120 0)=2sin B2Sn(120 B)=2 /3sin 9cos0+ 2sin2 8=2sin(2 0 30 ° +因为 0 (0 ° 90°，所以 3c3b ( 0, 3.【借题发挥】变式1在例中将 等边三角形ABC ”改成以A为顶点的等腰直角三角形”，求Oc Sb的取值范围.解析：设/ BAO= 0, 0 (0° 90°贝J B (0,

12、2sin 0), C(2cos0+ 2Sn 0, 2cosf0则OC OB=(0, 2sin 0 (2cos0+ 2sn 0, 2cos0)=2sin 02cos9=29n2 0因为 0 (0° 90°,所以 OcSb ( 0 , 2.变2在变1的条件中，求lOc + OB|的最大值.解析：由变1知|OC + OB|= 2 + 2sin2 0所以Oc + OB|的最大值 为4.【规律方法】向量在解析几何中的作用: （1）载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于 包装”解决此类 问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 向量外衣”，导出曲线上点 的坐标之间的关系，从而解决有关距

13、离、斜率、夹角、轨迹、最值等 问题;工具作用，利用 a丄bn a b = 0X1X2 + yy? = 0; a/ a = :to（b勿）U X1 y = X2y1.可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平 全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、 平行问题是一种比较可行 的方法.【同步拓展】x2 y21. 已知A为椭圆9 + g = 1上的动点，MN为圆(x 1)2 + y2= 1的一条 直径，则AM - AN的最大值为.答案：15 解析：设圆心为 c(i, 0), aM aN = (aC + cM) (aC + CN) = (aC +C

14、M) (aCCM)=AC2CM2,而 ACmax=4, CM =1,则AM aN 的 最大值为16 1 = 15.2. 设0为坐标原点，C为圆(x 2)2 + y2= 3的圆心，且圆上有一点M(x, y)满足OMCM = 0,则y = X解析：V OM CM = 0,二OM丄CM，二OM是圆的切线，设OM的方 程为y= kx, 由J1+2"'得 k=±3,即y=±3.目标3平面向量与三角函数的综合 例 3 已知 a= (cos X, 2cos x), b= (2cos x, sin x), f(x) = ab.(1)把f(x)图象向右平移6个单位长度得到g

15、(x)的图象，求g(x)的单 调递增区间;(2)当a勿，a与b共线时，求f(x)的值.解析：(1)因为 f(x)= a b= 2cos2x + 2sin xcos x= sin 2x+ cos 2x+ 1 =/2f、sin 2x+ / + 1.k4丿.r nsin 2x 12丿+ 1.所以 g(x) = V2sin2x 6j+ 4+ 1 = /2nn n冗7 冗由2+ 2k2x 12=2 + 2kn k Z 得，24，+ kn<x<24+ k n k Z,所以g(x)的单调递增区间为5n+ kn, 7n+ T k z.因为a勿，a与b共线，所以cos x0所以 sin xcos x

16、4cos2x= 0,所以 tan x= 4.已厂22cos2x+ 2sin xcos x 2 + 2ta n x所以 f(x) = 2 cosx+ 2sin xcos x ='2=2"sin x+ cos x 1 + tan X1017.【借题发挥】 变式1 本题中，求|a b|的最大值.解析：a b =/a2 2a b+ b2 =厂 2 X -2sin 2x-2cos2x-2 +4cos2x+sin2 x =J3 +2cos 2x -2sin 2x =(3 +22cos(2x +寸)所以 |a b|max=血+1 【规律方法】1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，

17、运用向量共线 或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.2 .给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向 量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的性质或 三角公式进行求解.【同步训练】1. 已知向量 m= (2sin(”+,1), n= (2cos3x,-羽)(3>0),函数 f(x)=m n的两条相邻对称轴间的距离为n (1)求函数f(x)的单调递增区间;当x 5n,胡时，求f(x)的值域.jn 解析：(1)f(x) = m n = 4sin( 3x+ 3)cos3x V3 = 2s in 3XCOS3X + 23 cos2 cox>/3=s

18、in2 3X+ V3cos2wx= 2si n(23X + 3).2 n因为T= 20= n所以o=1.所以 f(x) = 2sin(2x + 扌.,兀-兀-.n5n.n由 2k n- 2< 2x+ 3< 2k n+ 2(k Z)得 knx< k n+ (k Z).所以函数f(x)的单调递增区间是kn 5n, kn+撷"Z).因为x 5n n ,所以2x+詐4n n.所以 sin(2x + n 1, 1.所以 f(x) -2, 2,即 f(x)的值域是2, 2.2. 在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, C,若20aBC + 15bCA+ 12cAfe=AB

19、C最小角的正弦值等于全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)解析：V 20aBC + 15bCA + 12cAB = 0,二 20a(AC aB) + 15bCA +12caB= 0, (20a 15b)AC + (12c 20a)AB= 0,v AC与AB不共线,20a 15b= 0,112c 20a= 0I b = fa, LABC最小角为角 A,. cos AI 5c= 3a,b2+ c2 a22b162 丄 25229a + 9a aC 4_52 X T a X T a3 34 . A 35SinA= 5.【归纳分析】 1.平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标

20、系的情况下建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些.在解决这 类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用2. 以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三 角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化 为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3. 利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、 距离等问题均可用向量表示或用向量解决， 要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决.对于直线I:Ax + By+ C = 0,则向量a= (A, B)即为直线I的法向量，b= (1, k)或 c= ( B, A

21、)为直线I的方向向量.两直线li： AiX + Biy + Ci = 0与I2：A2x+B2y+ C2= 0是否垂直，均可由向量解决.由于ni = (Ai, B",氐 =(A2 , B2),则 ni n2 = 0? ni 丄 n? h 丄 D.【课后作业】 1. 一物体受到相互垂直的两个力 F1 > F2的作用，两力大小都为 辭N，则两个力的合力的大小为 答案：5衣解析：根据向量加法的平行四边形法则，合力F的大小为7203 =5V6(N).2.过点M(2, 3)且平行于向量a= (2, 3)的直线方程为.答案：3x 2y= 0解析：设P(x, y)是所求直线上的任意一点(M除外

22、)，则MP = (x 2, y 3).因为，该直线平行于向量 a= (2, 3)，所以，2(y 3)= 3(x 2) 即3x 2y = 0.又点M(2, 3)在直线3x 2y= 0上，故所求直线方程 为 3x 2y= 0.3. 已知点 A( 2, 0), B(3, 0),动点 P(X, y)满足fA PB= x2,则点P的轨迹是解析：PA= ( 2 x, y), PB= (3x, y),所以fA PB= ( 2 x)(3 X)+ y2 = X2,所以 y2=x + 6.4. 已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s, 艘小船以垂直 于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度

23、大小为 m/s.全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)答案：226 解析：设河水的流速为Vi,小船在静水中的速度为V2,船的实际速度 为 v,则ML2, |v|= 10, v丄V，所以 V2 = v v1, v v1 = 0,所以 网 =7 2 2v W + V = /26(m/s).5. 在 ABC 中，A= 120° AB= 4.若点 D 在边 BC 上,且BD = 2DC,AD= 237,贝J AC =.答案：3 解析：由题意得AB AC = 4bcos120° = 2b,因为点2 2 在边 BC 上,且BD = 2DC,所以AD = AB+ Bd

24、= AB + 3BC = AB+3(ACAB) = 3ab+ |ac,从而AD2= (- AB +2AC)2,又因为AD = 芈，所以3333328=-6 + 4 8b，整理得 b2 2b 3= 0,解之得 b= 3(b= 1 舍), 即AC的长为3.6. 在梯形ABCD中，AB = 2DC, |BC|= 6, P为梯形ABCD所在平B面上一点，且满足 AP+BP + 4DP = 0, DA CB=|DA|DP|, Q 为边 AD 上的一个动点，则|PQ|的最小值为 答案：豊2 解析：如图，取AB的中点M,由AP+BP+ 4DP =0得PM = 2DP , P为线段DM上靠近点D的三等分点，由

25、题意知,dA cB= dA dMi = |dA| |dMicos/ ADM =DA| |DP|,所以 cos/ADM4/23 -=3,贝J sin / ADM = 弩，所以|pQ|的最小值为2sin / ADM =7. (2016 苏北四市期末)已知|OA|=|OB|=J2，且OA - OB = 1.若 点C满足|OA + CB|= 1,则|OC|的取值范围是.答案：应-1,6 + 1解析：T OA OB = 1， / AOB =3,3/2 並(2 , 2 丿，设 C(x , y)，二 OA + CB =硏=12丿，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，譽x，爭-J警，普6为圆

26、心的圆,A(V2, 0), B(x-瞬 + ly- C的轨迹是以点MOM=寸瞎f+巒=品 |OC| h/6-1 飞 +1.8. 如图，在同一平面内，点 A位于两平行直线m, n的同侧，且rn到m, n的距离分别为1, 3.点B, C分别在m, n上，|AB 乂+ aC|=5,则aB aC的最大值是.解析： 方法一 以直线n为x轴，过A且垂直于n的 直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0, 3), B(X1, 2), C(X2, 0),从而aB= (Xi,1), AC= (X2, -3),则aB aC= X1X2 + 3,又因为|aB + aC| = 5,即 Xi + X2 2 + 16

27、 = 5,故(Xi + X2)2 = 94iX2，从而 XiX2舟，此时aBaC= X1X2 + 3号，当且仅当Xi = X2时等号成立.方法二 设P为BC的中点，则aB+aC= 2AP,从而由|AB+ aC|= 5 得 |AP| = 5,又aBaC=(aP+ pB)沖+ PC)=aP2pB2=25pB2 因为|BC|斗所以pB2>i故AdB aC25 1= ¥，当且仅当|BC|= 2时 等号成立.9. 已知圆C: (X 3)2 + (y 3)2= 4及点A(1, 1), M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA = 2 AN，求点N的轨迹方程.解：设 M(Xo,

28、 yo), N(x, y),由 MA = 2AN 得(1 xo, 1 yo)= 2(x 1, y- 1).fx0= 3 2x,所以代入方程：(x0 3) + (y0 3) = 4,yo= 3 2y.得 X2+ y2= 1.所以点N的轨迹方程为x2 + y2= 1.(n y10.已知向量a=sin(a+ 6丿,3/ b= (1, 4cos a,) a (0,(1)解:若a丄b,求tan o的值； 若a/ b,求a的值.(1)因为a丄b,所以sin a+ 即 ¥sin 即 ¥sin+ 12cos = 0,nV6丿1a 2cos + 12cos = 0,25+ 2 cos = 0

29、.又 cos a艺0所以 tan = 53.(2)若 a / b,贝J 4cos aa+ n= 3,即 4cos asin + jcos = 3,所以/3sin2 + cos2 =2,/sin 2 a+ka (0,n 一所以因为所以所以6卜1.兀,/2a+ 訂6c n n2 a+ 6 = 2，13 n丿，即a= n611. （2017 盐城市期中）如图，在四边形ABCD中，AC =4 , BA.BC=12 , E为AC的中点.（）右 cosNABC =，求 AABC 的面积 Sabc ；13（2）若 BE = 2ED，求 DA DC 的值.A Q解：（1）cosNABC 祐 一A盼仲），f f

30、l2 5eNabcF1-咄=13，V BA BC =12 = BA BC cosNABC 二12 BA ”BC,13/. BA BC =13,1 155/. S霑BC = BA BC sin NABC = x13x =2 213 2则 A(- 2,0), C(2,0),设 D(x,y )，由 BE =2ED，可得 B(-2x,-2y), 贝J BA BC =12 =(2x-2,2y) Qx +2,2y) =4x2 -4+4y2,2丄 2負/ x +y =4, /. DA QC =( -2 -X, -y ) (2 -X, -y )= X2 + y2-4 = 0.【提优训练】1. 在 ABC 中，/ C= 90° 且 CA= CB= 3,点 M 满足丽=2aM ,则 CM