平面向量基本定理及其坐标表示

1、全国名校高考数学复习优质学案、专题训练汇编(附详解)平面向量基本定理及其坐标表示【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算.基础梳理1.平面向量基本定理a，有且只有一对实4 T如果e；e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量扌 T TT T数，使a = f1e Z2 e2，其中不共线的向量 e,e?叫表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量坐标运算.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a=(Xi，yi) , b=(X2，y2)，则a+ b = (xi+x2,yi +y2)，ab =(为x?,% y?)，几a

2、-仏 Xi，入 yi)，1 a1=+=yi .向量坐标的求法.若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(音，yi), B(x2,y2)，则 AB =(X2 为，y2 -yi),1 AB Fj(X2-Xi)2+(y2-yi)2 .3 .平面向量共线的坐标表示444-1 4设 a=(Xi,yi) , b=(X2，y2)，其中 bO，当且仅当 丫2时，向量 a,b 共线.一个区别向量坐标与点的坐标的区别:T d4在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA = a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点 A的4坤T坐标与a的坐标统一为(X, y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x, y

3、)，向量a =OA = (x,y).当平面向量0A平行移动到OiA时，向量不变，即OiA=OA = (x, y)，但OiA的起点Oi和终点A的坐标都发生了变化.第5页共6页两个防范.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.44呻呻x1y1.若&=（为，）, b=（X2,y2）,则a/b的充要条件不能表示成 一=丄-，因为X2,y2有可能等X2 y2XiX2于0，故应表示为X-, y2 - x2y1 = 0.双基自测441.已知向量 a=(2, 1), b=(-1,m) , c=(1,2)，若(a【解】(a+b) =(1

4、,m-1).因(a+b)Lc，故 2(1)(m-1) = 0，则 m = -1.Xb)LC，则 m =2.若向量 t(1,1), b+1,1), t(4,2)，则 c =4 4.(用a,b表示).T H 片 lx y = 4, lx=3, 彳 T 彳【解1设 c = xa + yb，则，故( ，贝U c = 3a b .x + y = 2y = -13.设向量a=(m,1) , b = (1, m)，如果a与b共线且方向相反，则 m的值为.4*解1设a = Ab仏v0)，即m =扎且1 = km .解得m = ±1，由于兀0，则m = -1.444.设向量a =(1,-3), b =

5、(-2,4)，若表示向量4a , 3b-2a , c的有向线段首尾相接能构成三44 H H 4【解】设 c=(x,y)，贝y 4a+(3b-2a)+c = 0,角形，则向量c =故 I4®2%0，,即 I"4,-12 + 12+6 +y = 0y = -6考向一平面向量的坐标运算T T T T【例 11 已知 A(-2,4) , B(3,-1), C(3,r)，且 CM =3CA , CN=2CB .求 M , N 的坐标 和mN .审题视点求CA,CB的坐标，根据已知条件列方程组求M,N .= 3CA = (3,24),丨X = 0 得X 0，,故J = 20解1 因 A

6、(2,4) , B(3,1), C(3,4),故CA = (1,8), CB=(6,3).则 CMT TT|x + 3 = 3,CN =2CB =(12,6).设 M(x,y),则 CM=(x+3, y +4). «,$ + 4 = 24全国名校高考数学复习优质学案、专题训练汇编(附详解)M (0, 20) 同理可得 M(9,2)，故角=(9,18).方法静结利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组) 进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不 要写错坐标.【练习1】在平行四边形ABCD中，AC为一条对

7、角线，若益= (2,4)，强=(1,3)，则_.【解】由题意得,BD= ADAB=BCAB=(ACAB) -TB =7C2AB =(1,3)- 2(2,4)=(3,5).考向平面向量中平行与垂直的坐标运算【例2】已知：=(1,2) , b =(-3,2)，是否存在实数k ,使得ka +b与a-3b共线，且方向相反?审题视点根据共线条件求k ,然后判断方向.【解】若存在实数k ,则ka + b =(k 32k +2) , 3-3； = (10,r)若这两个向量共线，则必有110 4 呻屮 1片 T(k-3)x(詔)(2k+2)x10 =0 .则 k =.这时 ka +b =(, )，故 ka +

8、b = (a 3b) .即33 33两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在.竝昼型向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的, 就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值.44T 4 4 4 44【练习2】已知向量a =(1,2), b=(2,3)，若向量C满足(a + c)Lb , (a + b)丄c,则c =T4 44 H4 4 4【解】设 c =(m, n)，则 a + c=(1 +m,2 + n), a + b = (3,-1).因(a + c)L b，故7-7).-3(1+m)=2(2+n)，又(2+1)丄 C,则

9、3m-n“，解得，m7 , n，故 U939考向三 平面向量基本定理的应用方法静结应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量任一向量的表示的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后, 都是唯一的.【练习3】09湖南文如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在全国名校高考数学复习优质学案、专题训练汇编（附详解）第9页共6页【解】作 DF 丄 AB，设 AB = AC =1，则 BC = DE = ，因 N DEB =60，故 B，由2ZDBF =45“，解得 DF =BF =血咒返=逅，故 x = 1 +逅,y =2 2 2 2 2【例4】（

10、06湖南）如图，OM /AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP = xOA + yOB，则x的取值范围是1；当-时，y的取值范围是MA【解】如图，OM / AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP =xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四1边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边， 故x的取值范围是（-述,0）;当X =-时，要使P21 313点落在指定区域内，即 P点应落在DE上，CD = OB,CE =OB，故y的取值范围是（一，一）.2 222OP =aOA+pO

11、B，且 0" <1,【练习4】点P在 MOB内部（不包括边界）的充要条件是:【解】延长OP交AB与点C，设OC =xOA + yOB，易知x>0 , y>0,又由 A , B , C共线知，x+y=1，设 hmPT 易知 mAi,则 mnAOB，即 OP =OA + NOB，则a =m mmP =，故 0 <a <1 , 0 W P <1 , 0 va + P <1 . m变题：点P在Mob内部（包括边界），且OP =xOA + yOB，则当y取得最大值时，x的取值范围.0 <x<1小结：利用平面直角坐标系理解仿射坐标系!【例5】

12、已知P是 MBC内任一点，且满足AP = xAB + yAC （x, y亡R），则y + 2x的取值范围是T T TXxC【解】由P是人ABC内任一点，且满足 AP = xAB + yAC (x,R)，故< 0 < y < 1,，由线性ocx + y v1.规划知识，易知 y +2X的取值范围是（0, 2）.，则a +P的取值范围是【练习5】如图所示，在正六边形 ABCDEF中，已知点卩是厶CDE内（包括边界）的动点，如果向 量 Ap 满足：AP=a AB+pAF©, P R）C(第 5 题)【解一】设DP =aDC + ADE仏，卩亡R），则由P是 CDE内部（包

13、括边界）的动点，故可得0处1 , 0 心 1,，又易知 5=A?75，故 7P = （2b7b + （2-嗔F , 故 + P =4-(a + 卩)亡3,4.【解二】建立如图所示平面直角坐标系，设AB =2，则A00 , B（2,0） , C（3j3）, D（2,2 J3）,E(0,2 J3) , F (一1, J3)，贝U EC 的方程为 X + J3y -6 = 0 ； CD 的方程为 J3x + y-4j3 = 0 ,x+ 73y-6>0因点P是也CDE内（包括边界）的动点，则点P可行域为：J3<y<2j3，又AB +p3x + y 473<0PaF,则 AP =

14、(x,y), AB=(2,0) , AF=(-1,73)，故(x, y) "(2,0) + P (1,73)，得2« - P +73 石-6 >0+ P >3jx =2a - Py=y3p_I，故J3< J3P <2j3，即1<P<2，故 3<a+P<4 .13(20 - p) +-4>/3 W0卜兰2烏舟 KAOnZHUAWXIANeTUPO03冷考题专项突破阅卷报告5平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题 的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解.【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等.【示例】（11湖南）在边长为1的正AABC中，设 BC=2葩ca=3CE，则 7DBE-错因：搞错向量的夹角或计算错.正解：由题意画出图形如图所示， 取一组基底AB, AC，结合图形可以得到，3233-|AB|2lAB 定丄lcos60163264【试一试】（11天津）已知直角梯形 ABCD中，ADLIBC , Z ADC =90° , AD = 2