青海大学6_2 定积分在几何学上应用

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 101116.2 6.2 定积分在几何定积分在几何学上的应用学上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长三、已知平行截面面积函数的立体体积三、已知平行截面面积函数的立体体积四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 Page 2一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线)(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲则则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积

2、为右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxdPage 3例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限在第一象限所围图形的面积所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交点得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110APage 4xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy

3、所围图形所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有yyyd42APage 5例例3.解：解： 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.1lnlnyx显然显然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲线为面积为面积为同理其它同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee又又故在区域故在区域Page 6oyxababoyx一般地一般地 , 当曲边

4、梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时给出时, 按按逆时针方向逆时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应Page 7例例4. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20

5、Axyoa2Page 82. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线求由曲线)(r及及,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为d)(212A Page 9对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到到 2 所围图形面积所围图形面积

6、 . Page 10ttadcos82042例例6. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性利用对称性)2t令28a43212223aPage 11oxya心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)2222yxaxayx即即)cos1 ( ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点尖点:)0,0( 面积面积:223a 弧长弧长:a8参数的几何意义参数的几何意义Page 122coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例

7、例7. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积所求面积)243(2122aa22245aa ar 2Page 13a2sin2a例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2

8、cos21462ayox44答案答案:Page 14二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略证明略)ni 10lims则称则称Page 15sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程

9、给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P180)22)(d)(ddyxsPage 16(2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxsPage 17(3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:( )()cdosrsinrdx ( )()rr( )cos ,( )sin ,xryr令令因此所求弧长因此所求弧长22( )( )

10、 dsrr 22( )( ) dxy 22( )( )drr 则得则得ds 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :(自己验证自己验证)( )()sdinrcosrdy Page 18)ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线成悬链线 .求这一段弧长求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂下垂悬链线方程为悬链线方程为Page 19例例1

11、0. 求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4Page 20例例11. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧长的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2Page 21d222aa例例12. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长 . 解解:

12、)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P331 公式公式21)212a21ln2102)412ln(24122aaPage 22三、已知平行截面面积函数的立体体积三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx的体积元素为的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续上连续,Page 23xyoabxyoab)(xfy 特别特别 , 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段2)(xf旋转

13、一周围成的立体体积时旋转一周围成的立体体积时, 有有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段)()(dycyx绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdyPage 24ayxb例例13. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而成的椭球体的体积成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby则则xxaabad)(220222(利用对称性利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2xPage

14、25方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos则则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积.343aPage 26xyoa2例例14. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 (

15、ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令Page 27xyoa2a绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx Page 28分部积分分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(

16、 tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用利用“偶倍奇偶倍奇零零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226Page 29a2柱壳体积柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Page 30偶函数偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(1

17、64322奇函数奇函数336aPage 31轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 设设)(xfy 在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, 且且 ,0)0(f形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积 ,证明证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故Page 32例例16. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体

18、的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并并与底面交成与底面交成 角角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .oRxyxPage 33oRxy思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积

19、?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22Page 34abzxyco垂直垂直 x 轴的截面是椭圆轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面计算由曲面1222222czbyax所围立体所围立体(椭球体椭球体)解解:它的面积为它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当特别当 a = b = c 时就是球体体积时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx的体积的体积.Page 35ox12yBC3A例例18. 求曲线求曲线13

20、2xy与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积. (94 考研考研)解解: 利用对称性利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限在第一象限 xxd)4(322122Page 36xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积xxfxfSb

21、ad)(1)(22,0)(xf且它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxPage 37xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部的线性主部 .若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出给出, 则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积不是薄片侧面积S 的的 )(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为侧面积为Page 38xRyo例例19. 计算圆计算圆上绕

22、在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高当球台高 h2R 时时, 得球的表面积公式得球的表面积公式24RS1x2xozyxPage 39例例20. 求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin

23、32绕绕 x 轴旋转轴旋转 taytax33sin,cosPage 40星形线星形线taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种星形线是内摆线的一种.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径大圆半径 Ra小圆半径小圆半径4ar 参数的几何意义参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动当小圆在圆内沿圆周滚动时时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线小圆上的定点的轨迹为是内摆线)Page 41内容小结内容小结1. 平面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标

24、方程22)(d)(ddyxs弧微分弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程上下限按逆时针方上下限按逆时针方向确定向确定直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积求弧长时积分上下限必须分上下限必须上大上大下小下小21d)()(tttttAd)(212APage 423. 已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积旋转体的体积2)(yxA绕绕 x 轴轴 :4. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为侧面积元素为(注意在不同坐标系下注意在不同坐标系下 ds 的表达式的表达式)yxxA2)(绕绕 y 轴轴 :(柱壳法柱壳法

25、)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy Page 43思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. Page 442. 试用定积分求圆试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕绕 x 轴轴o

26、xyRbR上上半圆为半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .Page 45方法方法2 用柱壳法用柱壳法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为上式可变形为2RVb2d2bR 20上上半圆为半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示如图所示). dd2bRVPage 46求侧面积求侧面积 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性利用对称性RS2b2S