第四章 泰勒级数与幂级数

1、第四章 泰勒級數與冪級數一、 序列、級數與收斂測試定義1: 序列序列(sequence)為一函數其定義域為正整數的集合；換言之，對每一整數 n = 1, 2, 3, ，指定一複數 zn。例如，序列1 + in為若limn®¥ zn = L則稱序列zn為收斂(convergent)。換言之， zn收斂至數值 L，若對每一正數 e，可以找到一 N，每當n > N使得 |zn - L| < e 。如圖4-1及4-2所示圖4-1 收斂序列圖4-2 實數之收斂序列序列 收斂， 因 如同由與圖4-3顯示，序列項成螺旋形趨近於點 z = 0。圖4-3螺旋形之收斂路徑例題1:i

2、n/n 是否為收斂序列? 解答:in/n= i, 1/2, i/3, 1/4, 為收斂序列例題2:in 是否為收斂序列? 解答:in= i, 1, i, 1, 為發散序列定理1: 實部及虛部之序列假如序列之實部x1, x2, 收斂至 a ，而序列之虛部 y1, y2, 收斂至 b，則複數 zn = xn + i yn (其中 n = 1, 2, )之序列z1, z2, , zn, 收斂至c = a + ib，如圖4-4所示 圖4-4 實部及虛部之收斂序列定義2: 級數序列 z1, z2, , zm, , 可形成下列之相加之形式為則一般形式 此sn稱為無窮級數(級數)之 n次部份和可表示為以下形

3、式 其中z1, z2, 稱為級數之項定義3: 收斂級數及發散級數(convergent series and divergent series.)當序列之部份和收斂到一定值如下式所示 而稱為收斂級數(convergent series)，否則稱為發散級數(divergent series)在無窮級數之sn不計，則其餘部份為稱為無窮級數在之zn項之後之餘數(remainder)，即 而 定理2: 實部及虛部之收斂假如具有複數 zm = xm+ i ym (其中 n = 1, 2, )之無窮級數之實部x1+ x2+ 收斂且其和為 u ，而虛部 y1+ y2+ 收斂且其和為 v，則複數 zm = x

4、m+ i ym (其中 n = 1, 2, )之序列和收斂至s = u + iv，如圖4-4所示 定理3: 級數發散假如無窮級數z1+ z2+ 為收斂，則如果上式不能維持，則級數為發散定理4: 級數之科西收斂原理(Cauchys Convergence Principle for Series)假如對任何小之值其值 < 0，則至n>N後使得，則無窮級數z1+ z2+ 稱為收斂 定義4: 絕對收斂(Absolute Convergence)假如無窮級數z1+ z2+ 之絕對值之形式如下:，則無窮級數z1+ z2+ 稱為絕對收斂(Absolute Convergence)定義5: 條件

5、收斂(conditionally convergent)假如無窮級數z1+ z2+ 之值為收斂，但個別值之絕對值之形式:|z1| + |z2| + 為發散，則無窮級數z1+ z2+ 稱為條件收斂(conditionally convergent)例題3:無窮級數1 1/2 + 1/3 1/4 + 是否為收斂? 解答:無窮級數1 1/2 + 1/3 1/4 + 為收斂級數，但|1| +| 1/2|+| 1/3|+ | 1/4| +| |+為發散級數，因此無窮級數1 1/2 + 1/3 1/4 + 為條件收斂定理5: 比較測試(Comparison test)假如給定無窮級數z1+ z2+ 及具有

6、非負實數之收斂級數b1 + b2 + 使得 |z1| b1, |z2| b2, ,則無窮級數z1+ z2+ 為收斂級數，甚至為絕對收斂定理6: 幾何級數 (geometric series)假如|q| < 1 且幾何級數之和為1/(1 q)稱為收斂級數(converges)，假如|q| 1則級數為發散 定理7: 比例測試(ratio test)假設 為一非零複數項的級數，使得(i) 若 L < 1，則級數絕對收斂。(ii) 若 L > 1 或 L = ¥ ，則級數發散。(iii)若 L = 1，則檢驗不確定。例題4:無窮級數 1 + 1/4 + 1/9 + 1/25

7、 + 是否為收斂? 解答:無窮級數 1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + 為收斂級數，如圖4-5所示圖4-5 之收斂例題5:無窮級數 是否為收斂? 解答:利用比例測試因此級數為收斂例題6:令an = i/23n and bn = 1/23n+1，下列級數是否為收斂? 解答:上列級數之絕對值漸進項為1/2, 1/4, 1/2, 1/4, 由不能應用定理7做比例測試，故為條件收斂 定理8 : 根測試(root test)假設 為一複數項的級數，使得(i) 若 L < 1，則級數絕對收斂。(ii) 若 L > 1 或 L = ¥ ，則級數發散。(iii)若 L = 1，

8、則檢驗不確定。二、 冪級數定義6: 冪級數(Power Series)一無限級數的型式稱為在 z z0 的冪級數(power series)，其中係數 ak為複數常數。冪級數稱以 z0 為中心(centered at z0)，且複數點 z0 稱為級數的中心(center)。l 假如 z0 = 0, 上列之冪級數為特殊冪級數其式為例題7:幾何級數是否為收斂? 解答:幾何級數使用比例測試因此假如|z| < 1 是絕對收斂，假如 |z| 1是發散 例題8:幾何級數是否為收斂? 解答:幾何級數使用比例測試因此 是絕對收斂 例題9:幾何級數 是否為收斂? 解答:幾何級數使用比例測試因此只有z =0

9、收斂其他是為發散定理9 : 冪級數之收斂(Convergence of a Power Series)冪級數 (1)將收斂至中心點z0(2) 假如|z z0| < |z1 z0| ，則將收斂至z = z1 z0，且為絕收斂(3)假如在z = z2發散，則將遠離中心點 z0，如圖4- 6所示 圖4- 6 收斂及發散中心點 定義 7: 冪級數之收斂半徑(Convergence radius of a Power Series)每一複數冪級數具有收斂半徑(radius of convergence) R，當 0 < R < ¥ ，複數冪級數具有一由 (z z0) = R定

10、義的收斂圓(circle of convergence) ，冪級數對滿足 |z z0| < R 的所有 z 為絕對收斂，而對 |z z0| > R的所有 z為發散，如圖4-7所示圖4- 7 收斂半徑R及中心點 例題10:冪級數 是否為收斂? 解答: 為收斂 在-1為收斂，在1為發散 為發散定理10 : 冪級數之收斂半徑(Convergence radius of a Power Series)假如序列 |an+1/an|, n = 1, 2, , 具有收斂極限L*，假如 L* = 0，則 R = ，即冪級數 對所有z值，將為收斂；假如 L* 0 ，則 假如|an+1/an| ，則

11、R = 0 ，表示只在中心點z0為收斂例題11:冪級數 之收斂半徑及中心點? 解答: 此冪級數為 |z 3i| < 1/4，其收斂半徑為1/4 ，而中心點為3i.例題12:冪級數之收斂半徑R及是否為收斂? 解答:序列之比值為1/6, 2(2 + 1/4), 1/(8(2 + 1/4), 不能收斂,，因此比例測試不適用，現採用根式測試為 但對n為奇數也不能收斂，而n為偶數，根式測試為即有兩個極限值為1/2及1，因此 而 ，以致於收斂半徑R = 1，因此當 |z| < 1，冪級數為收斂三、 冪級數函數定義6: 冪級數函數(function of power series)一無限級數的型

12、式可以表示成任何之冪級數函數f(z)，即稱為在 z z0 的冪級數(power series)，其中係數 ak為複數常數。冪級數稱以 z0 為中心(centered at z0)，且複數點 z0 稱為級數的中心(center)。定理 11: 冪級數函數之連續性(continuity of the Sum of a Power Series)假如函數(z) 可以冪級數 之形態表示且具有收斂半徑為R > 0 ，則(z) 在z = 0 是連續定理 12: 冪級數函數之單一定理(Identity Theorem for Power Series)冪令兩個冪級數分別為 及 兩個級數對 |z| &l

13、t; R 皆為收斂，其中收斂半徑為R > 0 ，如果 a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ，則由具有中心點為z0之冪級數所表示之函數(z)是唯一定理 13: 冪級數函數之導數 導數之冪級數和原冪級數具有相同收斂半徑例如冪級數為 其導數為例題13:冪級數之收斂半徑R? 解答:對上式微分兩次後，再乘上z 2/2，即為原式，故收斂半徑R=1定理 14: 冪級數函數之積分 冪級數之積分為和原冪級數具有相同收斂半徑四、 泰勒級數與馬克勞林級數定義7: 泰勒級數 (Taylor series)冪級數函數f(z)之泰勒級數複數型式為其中定義8: 馬克勞林級數 (Maclaurin s

14、eries)冪級數函數f(z)之馬克勞林級數複數型式為其中l 馬克勞林級數與泰勒級數之差異性為馬克勞林級數之中點為0 ，而泰勒級數之 中點為z0定理 15: 泰勒定理令 f 在 D 域中解析且令 z0 為 D 中的一點。則 f 具有級數表示式對以 z0 為中心、半徑為 R、完全位於 D 內的最大圓C 有效。證明:令 z 為在圓 C 內的固定點且令 s 表示積分的變數。然後圓 C 由 |s z0| = R 描述。如圖4-8所示圖4-8利用柯西積分公式得到：以(z z0)/(s z0)取代 z ，得到所以上式變成利用導數的柯西積分公式，可將上式寫成其中上式方程式稱為具餘式 Rn 的泰勒公式。然後證

15、明當 n ® ¥ ， Rn(z) ® 0。由於 f 在 D 中解析， |f(z)| 在路徑 C 上具有一最大值 M 。此外，因 z 在 C 內，得 |z z0| < R ，而結果其中 d = |z z0| 為從 z 到 z0 的距離。由ML不等式，得到因 d < R ，當n ® ¥ ， (d/R)n ® 0 ，推斷出n ® ¥當， |Rn| ® 0 。因而無限級數收斂至 f (z)。即對 C 內的任一點 z 有效。例題14:求解(z) = 1/(1 z)之馬克勞林級數?解答:利用公式求解:(n)(z) = n!/(1 z)n+1,(n)(0) = n!因此 (z) = 1/(1 z)之馬克勞林級數為(z) 在z = 1為奇異點(singular)，位於此單位圓之(z)是收斂例題15:求解 之馬克勞林級數?解答:利用公式求解:(n)(z) = en,(n)(0) = 1因此 之馬克勞林級數為例題16:求解 之馬克勞林級數?解答:利用公式求解:因此 之馬克勞林級數為例題17:求解 之馬克勞林級數?解答:利用公式求解:因此 之馬克勞林級數為例題18:求解 之馬克勞林級