几个著名的不等式及其推广

1、几个著名的不等式及其推广一、平均数不等式及其推广(一)平均数不等式设qwK, i =，则%02%节旦仅节/二巴二,二 4 时等号成立.这个不等式标为平均数不等式.即“调和平均数 n，当R仅当i .=的=4 -1时等号 成立.(2)若。十41- ar = 1 2则/(八q V?当旦仅当为 =。、=。厂=时等 ifn号成立，(3) (a( +2+4b ) n2 ?当且仅当 % =4,= 一 = / 时等号成立.% /4-(4 )若 a +. +, + % =1 ,则一+ .当 |1仅当 q = % = = =一 q & q,用时等号成立（5）若iwh,则-匕/）（二）均值不等式推论推论L参数式设正

2、数4、%, :=12,月，口.彳为4 = 1，则风十&生十十同。的凡9当且仅当q = % =4t时等号成立.推论2.加权平均值不等式ynt ； in r d + -y.+ ，八八 ，Y 6 . Y 收 -r 4 限24 Tqh x w R ,，= L2,则占科 xz xfl ）,4十生十十见即（孙+,.+4G3 f 2.x/xj,当且仅当.=时4+勺+勺等号成立.推 论3. x/w/r , rn +%Ta”rA b.、 b & + b、+ - , + b ( xnI nv* vi12(2特别地，若RI ,则L +上+ *L+工之王+.%孑,卜五结论推广,得到极方和不等式:若叩“wRl =12汨

3、，则(1) 1 m 0 或， -1 时,（.十2十十，）” 协+许十+女尸(2)当7 cm （Jx2 + V2 -Vn2+/r）2，当且仅节- = y b旦a工0时取等号.推广5.卡尔松不等式也称为用阵长方形不等式.WXW的:负实数矩阵中,n列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中雁行每行元素 的几何平均值之和.即J.“十七1十十包。）（42十+十巴”2 1.（%十 %”十十“”）之 也”+%e 一五小 /，1）2其中，“，?的非负实数矩阵为4= 3 “力 %等号成立的条件是至少一列 完全为。或所有.的行中的数成比例：” 二2时即同西不等式.推论：若外bfRJ则（4十幻（做+4）4+）之（。化%

4、尸十（她“产,当L仅巧色二5M=区时取等号.瓦 心常记为（4 + 4 ）（ / + % ）（+a）N （血4 + 0岫，.特别地，令 =2.则府而值i币之际7 +J皈，当且仅当血=生时取等号.三、排序不等式及其推广（一）和的排序定理设两绡数,。2，：% ；自也，也;满足 0 a23瓦，2少-0% 则有“反 序和W乱序和W同序和”,即地+ %均+他 也+ 妆 + ”也 自+ ”也+ a也，其中叫山,山=12,，.特别地，设两组数/2； 4也；满足G0，b岱瓦,则有昌%4隆44+出4推论L契比雪夫不等.式（I）若4 %，4%） Wb2G则。八1 也i ，,*q/y；十a、十，十Q 4 也 十，卜力

5、 - -/ I 一 - -,，-nnn（2）若曰 b. /?,则 I，*1 IAN初* a也卜*b* / 4 4 4 4$34与44儿芍仅当q =佻=an或，=4 =时取等号.其i股形式是：i殳 a”a”，见，3” 是两组正数，上0, XJ /, j e aV* (I t m J h),若一/X4，）2 贝da：）Mlxhda”）； n /=l f=l11 i=若（a,-4）（“-4）wo,则力+之df/M 门沁 1 fc| Ml当旦仅当q =%=. = %或自=% =.=时取等号.特别地，若出，b,则的;% 3 0产。及4%)；若小出，乙沌,则他产工如半包推论2.多组正数勺吗,此;也，,4；

6、/工,汽/满足 bxb2-0,则十44为町+工：%.Q IX（二）积的排序定理设两组正数q,M# 也，也：满足q cj2 -一*。ibtb2工W则仃“反 序用枳S乱序后枳S同序轻枳”，即a J a! a,： 0)1U = O)2,4当数的判定定理八外上凸o /（X）为减函数o ffrM 0.3.常见凸函数(1) y =xp(pl),XG0,+co).(2) y = x e 0, +oo).(3) .y=(a0 且(4) y = log0. x(a 0 H. a * 1).(5) y=sinx,x w0,扪、y = cosx,m w -g、f 、y = tanx,.Tw0,g、j；=colt/w

7、O,g.(6) y = log(l + IO,). ajg)+a2f(x2).五、塞平均不等式及其推广V,定义二元带平均值为(一)刖,则二元事平均值满足(1) mina,方 (-)n 0时， (- -V .当aS夕时，( “) M( ”夕. 22十。十十ci& -设,*。= 12,一,)，QEN： 定义，元林平均值为(四三区尸.寨平均不等式：当Ovrs时，有十%；十%+f j , -riL仅q=% =a”等号成立-其中尸,s e N” -特别地，令,=1 ,则(十f 十+十一； nn. c . ,CL +7a Hb(in a十a J 十十 a,c“ lt 令尸=Ls = 2,则()-2即均值不

8、等式;.nn特别地，令,=1，则（4 + % +/y .立,土史匕也； n令广=1,5=2,则（%工任七 ：+勺4上 才出2 十 /,即均值不等式. nn捕丁 一：当0 （,* = an等号成仁推广二；若/ = 十2，%/0, q e R：则4,十（，/十-，十、/十广 十十a一 %十qj十十- IN I I - 9nnn当且仅也附=%=,=%时取等号.常写为十里十:士g -（/+外方+十/）-6 +/+（ J特别地，7 = 2, a =4=1时即契比雪夫不等式.最简单的零平均不等式：若x y0 , 4,生g A.，则（幺之（立誓尸，当 且仅得q =久时取等号.特别地.令尸=1,则上9（幺卫）

9、1 2222令 =1,工=2,则幺箸之（当生即均值不等式.六、赫尔德不等式及其推广赫尔德不等式；若，AwR i=l2 pOll- + - = lKi）p q2当p 1时，afy + ”也+4 也 + / + + ”/户（力J +母 +6/ Y ；21当0 v pV 1时,岫+ a 。也之（。,+的+。J）他+梦+嫦）、ppP当且仅节多=粤=时取等号.注：这个式子成立的前提较多，不难看出% p =q = 2时，这个式上即为轲西不等式.推J一, Young不等式若 beR pO.FL-F- = 1WJ（?/ 0.7 0 Ha-4 = 1,则为节J + a/V +- + a； Y （/十的十十a J

10、他十打十十），-. tf t 八1 门巾 :44+ 7 A44 + %、r令A+A+4=1, OvnvL 则一1=- 1（/= 12,】），且: jTp”则也也“）力广声这广河当il仅当 k1 k. k 万jiz-i（*i*i】/标二-二 一二4=1,2一切）时取等号.年之印牛卜I/T最简单的赫尔德不等式：i 1i 1若 Q,%,b、h 曰，p （Xq 0.且一+ “ 二 1 则afy + ah 0 0 Jlx+ p = 1 ,则ajbj + a；b M （a +。）（ + ）.七、闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式，设珥, i = L2,，、”.若xi,则血地# (*(4/； MMl， I若

11、0r(% )7 + ： )x.7=1i=lr=E当且仅当?=等=（i = l,2,/）时取簪号.特别地，牙=2时，为特别地，x = 2时,为，（出 + 4/ +（%十 + （% 0,x 1，贝+“d 4 这q）4这 %） + +这）：klf1，、|若 % 0,0 a j+)g + z；十.一+ yx：+j：十z；.最简单的闵可夫斯抽不等式为J(.十多)、&十月)2十d$十.八、其他不等式(-)贝努利不等式(1)设苟 一1, i =1,2,n2 , ii 为同号，则(1+ * )(1 + * ) , (1 + K”) + N + X-, , - , + ;特别地，(1十之1十M”wN)C2)若、

12、一1 且。#0,则当Ovovl 时，(Uxf 1 时,(1 + x)a 1 + xa ；当且仅当汇=0时等号成立.(二)三角不等式1 .第一组(1)若OSjcvg, JiliJsmjvjrtan.r ,当R仅当x = 0时取等号.(2若0上元三，则sin%十tanxN2x,当且仅当x = 0时取等号.2(3)若0M尤式巴，则siir + cosxNl ,当且仅当工=0时取等号. 2当且仅当工=0时取等号.(4) 4r0.X - - Mifsin2a： 2sinx, 2(5)若0 M羽_y y,则sin(Af + y) W sinx + siny ,节 IL仅节寸=0时取等%2 .第二组(1 )

13、若 04X4打，则 COS A 1 t(2)若0大打，则 sinx.4(3 )若 0Vxe 4 ,则 cos X 11.2 163 .第三组,、z.兀jt nir 2sinjr(1)若一0 ,则64 第四组(I) |sinx| sin|r|.j- sinxl-lp,当IL仅当x = 0时联等号.(3) cos.rl-x2,当只仅当X = 0时取等号. 2(4) tanx x+-.v 35 ,模型若x,Q,bw R ,贝ij-r+8cos/M,其中6.绝对他不等式若 w* ,则卜inQ +七 十+ %）| W卜inaj+卜inaj +十卜ina； 特别地.卜in（a）| W n |sin a.（

14、三）定值最值不等式定理1, Nii$十彳2 =/（定值），则23 （p为偶数）申斗g+ixp为奇数）如：x，与wN且X+七=8时仃（12 +82 12 +72 22 +62 浦+4二则x：匕的最大值为丫 + 工寸式的最小值为下4笳. IX谏除0时）匕1侬推广为x,eN且丸=P（定值），设y = x：，则 r-1h1(十当 p)(-)2+(p-)(-+ D2 (当不整除时) 刀nn n如：尤 N Fl. x +x + / +-Jt4 + x5 = 12 时，求 y = x； +/； +.x； 4 xj +、；的最(it 由推广得-=3x2,2x32 = 30定理2. X1 ,x2 N且再十/二

15、（定值1则定理 2. xt, x2 g N 且X + x2 - p （定值）则为偶数）（M 十 K）mx = /十（P1）.；Q； +W）mg = 2惇1、埠十（p为奇数）推广为*,eNJl苒=p （.定值），设则2（为整院相）二一十（-，十I）:； W （M身-用）（与）2*0H与X与+1）2（却不整除时）定理3.设力，4居，町/ Ri = L2,，k为常数.若邛+/琛+ &M=4（定值），则/但心，x,） = 3+与+ 3的 X X2工”最小值为4+ Ja也卜1T -A（四）数列不等式定理1:阿贝尔不等式对于数列4前“项和为5，数列的，仁N： 则对应项的积的和5 =。也+乱+仪也=S +-

16、$）8 + +（S” -S*）b*二s也十s,（a a）十邑电一 A）十十S.T （如一切此法称为阿贝尔变换法（乂见数列之阿贝尔公式）.当数列为等差数列时，S = sq -4十52 +S* J，此公式称为阿贝尔分部求 和公式或阿贝尔和差变换公式.阿贝尔不等式：正项非增数列出即4 b2之a之之a o、数列叫的方项和s满足小 S M , KJ bni afy +口 2A +。,九 0,Tn2,若 叫 之仇且 an -a, bn-如,则0 2 bfJ ；若4 4且% -q,T a一勺t，则% %. +，其中左 1s = 4M，其中（工mN.）.定理6.欧拉不等式1 +1 + L 4, In ，2 3

17、万欧拉常数c = lim(l十1十,+乙一垢封=0.5772156. 2 3n（五）不等式定理己经证明了的不等式浩如烟海 F胤列举部分规律性强的不等式定理.定理L若q e P ,则4/& （%产%） -7 .特别地：aabh （abV ： a*hc，abc尸.定理2.若W爸及,且芭+,&+ + / = 1 ,则 (国十)U2 +-b)(A? + -).玉 “吃 加股为(丫： + 二)3 + (X： +f)+ 1)” .*戈2Xfin芭 三(/?+1)加强为(1 4 4)(1 4，)。44) 2 (/ 41. 司 毛Xn(4) (-1)(-1) -(-1) (- 1)” .M J 居(5) (X

18、| + y +(.* + -y 4+(兀 + y 2 (- 41). 现 七乙 C6）一 & +看T占然 CW2）,1 I1 Q/别地.若Q,bwR= 且o+6=1,则士 “处十年的十十心向 ”外十匕必十十几.qb必十区七十十h-a7 57X4十Vi)定理5.设w*C = 12,)，旷,且q +与 +4=”，则-1-X11)= q + 十,+ *G C：.(2) S =iz 4iq +- -+ a 化j + & % + %即 +，+ + % W C；.C3) S? = aa2a + a,a2a4 +- - + aa2an 十的%q + 十, + 区4C：”5) S,a a. 0 c：当且仅当阳二町二二4时取等号.此不等式与韦达定理相似，条件q +出+-% = 可以加强为a，+a： i +球=n.定理6.设%w R,i = 1,2,凡k w N，k 1,川w公： 若x： 4 4+工：=用，则当 M =” 时,若+X：=”，则$ +三 +% - 当JI仅当 q = % =- =an 的+4十+凡 十。3十十可口十口2+十4-I -1时取等号.特别地，三角形中二十0-十三之2,当口.仅当正三角形时取等号. / +(? ca a + / 2Cihc(I