新高考新教材1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册

1、1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)学习目标1 .能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系3 .能用向量方法证明必修内容中有关直线、平而平行关系的判定定理.4 .能用向量方法证明空间中直线、平而的平行关系.重点难息重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平而、平而与平面的平行关系难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系一、自主导学(-)空间中点、直线和平面的向量表示1 .点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量而来表示.我们把向量而称为 点尸的位置向量

2、.如图.2 .空间直线的向量表示式如图,a是直线/的方向向量,在直线1上取Q=a，设P是直线/上的任意一点，则点P在直线7上的充要条件 是存在实数乙使得加=fa,即加=/互如图，取定空间中的任意一点。.可以得到点尸在直线，上的充要条件是 存在实数L使而= 5?+a= OAtAB.式和式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确 定.IL田图3 .空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数xy使而=EX+x靠+），获.我 们把这个式子称为空间平面-15C的向量表示式由此可知,空间中任意平而由空间一点及两个

3、不共线向量唯如图，直线La.取直线/的方向向量a.我们称向量a为平面a的法向量,给定一个点A和一个向量a,那么过点 儿且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合Pla J?=O.点造：空间中，一个向量成为直线/的方向向量，必须具备以下两个条件: 是非零向量;向量所在的直线与/平行或重合.（二）、空间中直线、平而平行的向量表示位置关系向量表示线线设内小2分别是直线11,12的方向向量，则平行11120卬ROMER,使得 pi=XH2.线而设n是直线1的方向向量q是平而a的法向量，平行10a,则 la=n_LnQii n=O.而而设ni,m分别是平面af的法向量，则平行010=1】11120

4、三九£11,使得 ni=Xn2.点睛：1,空间平行关系的本质是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量M 人.此外，证明线而 2平行也可用共而向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平而内两个不共线向量线性表示即可.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面 无公共点，证明平面与平而平行时也要注意两平面没有公共点.二、小试牛刀L下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的2 .若直线I过点A(-134).8(12

5、1),则直线/的一个方向向量可以是()小泊)B。,一蓊OD©拉)3 .若两个向量荏=(1,2,3),就二(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-l,2,-l)B.(1,2J)C.(l,2,-1)D.(-l,2,l)4 .若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5).b=(-6心，)，且两条直线平行，则a=，产.5 .若平而p外的一条直线I的方向向量是u=(-l,2,-3),平面£的法向量为n=(4,-1,-2)则/与£的位置关系是学习过程一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼

6、主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图， 牌楼的柱子与地而是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什 么呢？二、典例解析例1.如图，在四棱锥P-ABCD中底而ABCO是正方形，侧棱PDJ_底而"CD尸。=OC=1,E是PC的 中点,求平面EDB的一个法向量.延伸探究：本例条件不变，你能分别求出平而PAD与平而PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何？ 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a力,c ).

7、b=(a .b ,c ). 1 1 12 2 2(3)根据法向量的定义建立关于xjn的方程组江二(4)解方程组，取其中的一个解,即得法向量.跟踪训练1.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形HO8C,N48c=90。_1_平而ABCD.SA=AB=BC=, AD=；,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量；求平面SAB的一个法向量；例2.在长方体BCD中力8=4力。=3 AA =2,点P,Q.RS分别是 刖,D C .AB.CC的中点,求证:PQ iiiilitjRS.归纳总结：利用空间向量证明线与线平行的方法证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线

8、，从而证明两直线平行.跟踪训练2.在正方体A3CD-A化C巴中，点P在线段A产上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线右。和AC都垂直，求证:PQ8Q.例3.如图，在正方体A3CD-A/£4中,K/V分别是CC.fi C)的中点求证:MN 平面A,。.利用空间向量证明线而平行的方法利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a.b是共面向量,即满足p=.xa+.vb(x,y £R),则pab共而,从而可证直线与平面平行.利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证 明线而平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量

9、与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平而平 行.跟踪训练3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平而互相垂直，AB=«. AF=M是线段EF的中点. 求证AW平而BDE.例4.如图所示，在正方体ABCD-A产£?中,。为底而ABCD的中心/是O?的中点，设Q是上的点，问: 当点。在什么位置时，平面。/。平而PAO?D利用空间向量证明而而平行的方法(1)转化为线而平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明；通过证明两个平面的法向量平行证明.跟踪训练4.在长方体A8CDA BCD中,OA=2.OC=3QO =4.M.M£F分别为棱月D A B

10、 .D C .B C的中点. 11111iiiiiiii求证:平面AA/N平面EFBD.金题典例，如图，在正方体A8C6ABCD中，求证:平面平而BDC.达标校测L若不重合的直线/ L的方向向量分别为a=(12-2).b=(-3,66)J()1 -A./ /IBJ ±/1212C./ J相交但不垂直D.不能确定1 22 .已知线段AB的两端点坐标为A(9,34),B(9,2.1),则直线AB()A.与坐标平而xOy平行B.与坐标平而yOz平行C.与坐标平面xOz平行D.与坐标平面yOz相交3 .若平而a风则下而可以是这两个平面法向量的是()A.n =(l,2,3).n =(-3,2,

11、1)B.n =(l,2,2).n =(-2,2.1)1 212C.n =(1J ,l),n =(22,1)D.n =( 1,1,1 ).n =(-2,-2,-2)12I24 .已知/a,且1的方向向量为(24,1),平面a的法向量为(1,去,2),则尸.5 ,已知正方体A3CD.ABC。的棱长为2.EF分别是88 .0。的中点， till11求证平而月。£(2)平面AOE 平面BCE课堂小结r|空间中点、直线和平面的向量表示利用向母 证明平行 关系d直线的方向向短 一平面的法向量r线线平行T平行关系的证明-线面平行L面面平行参考答案:知识梳理1.答案:B解析:由平面法向量的定义可知,

12、B项正确2二案I)解析：同=(2,l,-3)=-3(-|g,l),故选 D.3.答案:A解析:设平面ABC的法向量为11二(内区),则n.亚=0,即 nAC = 0,x + 2y + 3z= 0,3% + 2y + z = 0.令4-1,则y=2,z=-l.即平面ABC的一个法向量为n=(-12-D.4 .答案:-12： 15解析:因为两条直线平行，所以ab.于是* =解得x=-12»=15.5 .答案:平行 解析:因为un=G12-3)(4,-l,-2)=0,所以u«Lii所以直线与平面平行，即/£,6 .答案:(l)x (2)7 (3)x (4)Y学习过程例L

13、思路分析首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得0(000),20,0.1).03,倒1,1,0),于是旗 =>>, DE = y + - z = 0DB=(1,LO),设平面EDB的法向量为口=(入>，二),则n_LDE,n_LD8,于是 一 22n DB = % + y = 0,取x=l，则产n=1,故平而EDB的一个法向量为n =(1,4,1).延伸探究：解:如同例题建系方法，易知平而PAD的一个法向量为n =(0,0),平面PCD的一个法向量为n)=(l,0,0,因为 n n,=0,所以 n

14、 ±ny 21 22跟踪训练1 .解:以点A为原点40、AB. AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A(0,0,0).5(0,l,0XC(l.l,0),D(|,0,0),S(0,0,l).(1): S1_L 平面 X5CD.:行=(0.0,1)是平而一"8的一个法向量. 二 10_14瓦10_1£*：<。_1_平面 SAB.:而=(扣0)是平面SAB的一个法向量.(3谁平面SCD中泥=(9,0),正=(1,1,4).设平面 SCD 的法向量是 n=(xj，二)，则 n1D?.n±SC,.Jn £f =

15、 0,(nSC = 0,得方程组代+ '=。.忆子令尸】得(% + y-z = 0,例2.证明：(方法1)以点D为原点.DAQCOq所在门级分别为x轴j轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则尸(3,0.1). 0(O,2,2)X(3,2,O),S(O41)同=(-3,2,1)刘=(-321),/.PQ = RS./JPQ | 瓦即 PQ/RS.(方法 2)RS = RC + CS=：DC - DA + =DD,PQ =西 +艰=西 + =而一52,二后=而，：而 | 衣，即 RS/PQ.跟踪训练2.诅：明:以点。为坐标原点，建如图所示的空间宜角坐标系设正方 体的棱长为L则。

16、(0,0,0)4(100)上(l,0)C(0,1,0)/1(1,0,1)11(001),:西=(L0.1)募=(-L L0),设刀=(),则爸U即呼三力易知西=(-LLl),：丽=-西，衣| 西，即PO/BDb 例3.思路分析思路一:可证明而与淳，丽是共面向量；思路二何证明而与平面中的匈是共线向量;思路三何通过平面乂山。的法向量来证明.证明：(方法 1) 丁丽=QN - QM =- BB=DB 一 DC 一+ %8； = 一:而,5瓦正是共而向量.又TACV0平而Tlftl ABD.(方法 2):丽=cjv - cm = -cX -cT?=-(DiA，- d7d)=-dX：a II 西. ，X

17、XOXX OAA24X又：4WU平面山3D.：MN平而X山D(方法3)以力为原点.D4.OCQq所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 如图.设正方体的棱长为1、则可求得加（02a&1,1）,0（0、0,0）工1（1,01）方（1,1,0）.于是而 =两=（1,0、1）万万=（1,1,0）. ,设平面3瓦）的法向量为n=（xj二），则n"1 =。'得匕弋（n DB = 0.5 + y - U.取 x=L 得 y=-lN=-l,n=（l,-L-l）.:加 11=（二0,'.（1,1,）=0, :而又 IMNa 平面 AiBD./.MN/ 平面 AiB

18、D.跟踪训练3.证明:建立如网所小的空间直角坐标系.设ACfWD=M连接NE,则点M£的坐标分别是得,今0),(001).所以标=又点X型的坐标分别是(方V10)G5，l),所以新=所以标=病，且KCAE所以NE AM.又因为NEu平面BDE用MC平而 瓦乃,所以AM平而BDE.例4 .思路分析建立空间直角坐标系,设出点。的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或 者利用两个平面的法向量共线进行证明.解:如图所示，分别以D4.oc.oq所在直线为XJ,Z轴,建立空间直角坐标系，在cq上任取一点。，连接8aq。.设正方体的棱长为l则 唱“）的0却（1,0,0*（130）4

19、（0,0,1）,则。（0,1盟）.（方法1）因为5?=:二-）3，电=（,-1,1）,所以加II可，于是OPBD.AP = （-1,0.3,丽=（-1,0,，当巾=时工？=的、即X尸8。,有平面R1。平而D1BQ.故当O为CCi的中点时，平面。山0平面PAO.（方法 2）32 = （*"）,=（一泊3_,_t-x-y = 0,设平面PAO的法向量为ni=（xj J,则有iu，O4niJ_0P,因此（22（-广 y +二z = 0取x=l,则m=（l1,2）.又因为西=（111），E=（O，-11M设平面DBQ的法向量为必依二），则有11口西g'E，因此言:篇=0取z=l,则1

20、12=（见1-切,1）.要使平面。山。平面E4O,需满足niH2,因此' =士 =.解得弓这时0（0，11）.故当Q为 $ 的中点时，平面O普平面PAO.跟踪训练4.证明健立如佟I所示的空间直角坐标系,则 A(2.O.O).B(2,3.O).M( 1,0、4),N(2, | ,4),E(0, | ,4)尸(1,3,4). /.MN = (1,|、0),评=(1,10).府=(-1,0.4)/=(404). :丽=EFfAM = FF. /.MN/EFAM/BF.MN/ 平而 EFBD4M/ 平面 EFBD,又 MATUAf=M .：平而忆V 平面 EFBD.金题典例:解题提示:沛明面而

21、平行常用的方法仃两种,一是证明它们的法向量共:是转化为线面平行、 线线平行即可.证明:(方法1)设正方体的棱长为1.建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( LOO)B( 1 . L1 ),。(0。,1).8( 11O)Q(O,O0),C(O. L1),于是初=(0,1,1)，词=(1，L0),防=(1, L0),设平面的法向量为nI=(xijvi),则n布、“瓯即卜观=% +句=°、 卜正。'* = %i + yi = 0.令T =1,则x =J,z =1可得平面A*。的一个法向量为n ii ii设平面的法向量为n(*v居).贝lj n2±DB.n2±D?

22、,RPn2 DB = “2 += °，ji2 DC = % +Z2 = °令匕“则夕山广1,可得平面5OC，的一个法向量为限(13).所以n =n ,所以n n，故平而ABD"/平面BDC I 212(方法2)由方法1知而(lOl)正=(L(M)布汨=(0、LD,所以布=BCAB' = DCi AD /BCAB /DC所以4y平面8OC；平而 8DC,又 AO'rU8'=A.所以平面A8。'平面3DC.(方法3)同方法1得平面.43少的一个法向量为m=(-l,l,-l).易知据=(L L0)万？=(0.1.1 ).因为 m加=(L1,1) (1,LO)=O,m(0,1,1)=0,所以n也是平而的一个法向量， I所以平而平面BDC.点睛：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段, 特别是有垂直关系的一些几何体，如正方体，长方体、直棱柱，有一条侧棱垂直于底而的棱锥等，其中长方体(或 正方体