高考秘籍 破解导数压轴题策略7导数不等式的证明 凸凹性法2

1、导数中的不等式证明9【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用 体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻!放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不 能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角

2、度构造函数命题角度放缩法命题角度切线法命题角度二元或多元不等式的证明思路命题角度函数凹凸性的应用在求解过程中,力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合,寻找临界.命题角度5函数凹凸性的应用f（X）在D上是凸函数，其.f "（X）<0，则 f '（X）单调递【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁【知识拓展】一般地，对于函数f（X）的定义域内某个区间 D上的不同的任意两个自变量的值X1, X2，总有f （） > f （Xj+f （X2）（当且仅当Xi=

3、X2时，取等号），则函数2 -几何意义：函数 f（X）的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方减，f（X）在D上为凸函数;总有f(Xp+X2)兰'(xj+f(X2)(当且仅当 =x2时，取等号)则函数f (x)在D上是凹函数，其几何意义：函数f (x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.f ”(x) >0，贝y f '(X)单调递增,f(x)在D上为凹函数.【典例13】(咸阳市2018届三模)已知函数 f(x)=xlnx ,g(x)=2a(x X)(1)若f (X )vg(x )在(1,畑)上恒成立,(2) 1 1 2 1f 1+ 21+ 2L1 + 2

4、L (n +1)L (n +1)一 (n+1)求实数a的取值范围;求证:2< ve.【解析】(1) f(x)<g(x )等价于 xin x_a(Xcx0，即 x|nx-a(x-1)2<0，记 h(x)=l nx-)，则 hlW 2axX 2 2x当a<0时，h'(x):>0，h(x )在(1,畑)上单调递增，由h(1)=0，h(x)>h(1)=0，所以xh(x):>0，即f(x)<g(x )不恒成立;当 0<ac2 时，2 >1, ,-】时，h'(x):>0 , h(x)单调递增,I a丿f (x)<g(x

5、)不恒成立;当a >2时，x(1,咼)，h'(x)<0 , h(x )在(1,咼)上单调递减,h(x)<h(1)=0，所以xh(x)<0，即 f(x)<g(x )恒成立;故f(X )<g(x )在(1,址)上恒成立，实数a的取值范围是 Q 畑(2)当 a=2 时，f(x)£g(x )在(1,址)上成立，即 In xcx1,In X c X -1也是应用函数的凸凹性进行切线放缩的重要途径令x =1 +,k =1,2丄,n，则 In 1 +(n +1$L (n +1门(n+盯2n所以S lnk41+亠L (小门一畀+(n+廿(E) f l

6、9; (nT)2.<亠+亠亠=冲=亠<丄,sn +1 i(n+1) (n+1)(n +1 ) 2(n+1) 2(n +1 ) 2所以1 +L (n +1)jL (n +1 门 L (1【方法归纳1当a =2时，y =l nx，由于y'=-在(0,址上单调递减，所以y = l nx为凸函数,X则切线在函数y=lnx的图象的上方，所以In x<：x-1.【典例141(福建泉州市 2018年5月质检)函数f(x) = l n(x + 1)+ax的图像与直线y = 2x相切.(1)求a的值;(2)证明：对于任意正整数e侖邛2 n$ n!n -fr<nn /1【解析1(

7、1) f '(X ) =+ a .x+1设直线y =2x与曲线y = f(X )相切于点卩(心y )依题意得:y。=2x0Xo* y0 =ln 化 +1 j+axj，整理得，In(X)+1)丄匚=0,X +11+a =2X0 +1(*)X1令 g2ln(x"-，ggj(x+1厂(x+1)2所以，当X >0时，g'(x):>0, g(x )单调递增；当1cxv0时，g'(x)<0, g(x )单调递减当X = 0时，g (X )取得最小值g (0 ) = 0,所以 g(x )二0，即 ln (x+1 启 xx+1注意：该不等式是下一小题的放缩途

8、径故方程(*)的解为Xo =0，此时a=1(2)要证明nn盯J2n *，即证n!n丙 <(n+H n+2)L (n+n ),由(1)知,n +1 n +2,< Ln nn +nn Jn <In n +1+Inn + nnnng(x )30,即In( x+1 )>xx+1根据结构特征，合理代换，寻求放缩途径因此 In i1 +1 】>,InV n 丿 n+1声卜丄>V nJ n +2 n+1L，InH2n 1>n + n n +1上式累加得：In+丄n+nL卜卅希，得证;要证明n-H即证(n +1 X n +2 L (n + n nn e 2只需证心n+

9、2Ln nn +nn+1+Inn+2+L +Inn+nnnIn nn +1<2令 h(x)=l n( x+1 )x，贝y h'(x )=丄一1x+1-xx+1根据结构特征，构造函数，寻求放缩途径所以当XA0时，h(x)<0, h(x )单调递减;当一1<xc0 时,h(>0 , h(x)单调递增.当x = 0时，h(x )取得最大值h(0) = 0，即h(x)兰0, In (x + 1)兰x .(1 ) 12)2./ L nIn1+ <-, In1 +- <-,In1 + 1 n丿n1 n丿n1 n丿由 In(X +1 )<x得:n<-

10、n上式累加得：In【(1+nL代1+2+L +nn + 1 ，得证;2n综上，nn e1【审题点津】第(2)小题待证不等式的证明途径只有从第(1 )小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用【典例151(石家庄市2018届高中毕业班一模)已知函数f (x)= (x + b)(eX-a)(b > 0)在(T,f(T)处的切线方程为(e -1)x +ey +e-1 =0.(1 )求 a,b ；(2)若方程f(x) =m有两个实数根 X, ,x2，且X| <X2，证明：X2治<1 + m(12e)1-e【解析】(1) a =b =1 ；丄1】(x + 1), le丿(2

11、)由(1)可知 f(x) =(x 十1)(ex1 ),f(0) =0, f(-1) = 0 , fX)=(x + 2)eX1 ,设f(x)在(1,0)处的切线方程为h(x)，易得h(x) =令 F(x) = f(X)-h(x), F(x) =(x +1 )(ex -1)-卩1 l(x+1 ),不等式放缩须利用切线2丿1则 F '(X) =(x +2 h _, e1 1当 X <2时，F '(X)=(x +2<_ v0, e e当X >-2时,1设 G(x) = F (x) = (x +2 )eX -,贝y G'(x) =(x + 30 ,e故函数F(X

12、)在(-2,母)上单调递增,又 F '(-1)= 0,所以当 x(Y,-1 )时，F'(x) c0，当 x(1,P )时，F'(x)>0,所以函数F (x)在区间(-处，-1 )上单调递减，在区间(-1,)上单调递增，故 F(x) >F(1) =0,g 卩 f(x) >h(x)，所以 f (xi) >h(Xi),ime切线放缩注意“脑中有形”设h(x) =m的根为x；，则x-1+ 1 -e又函数h(x)单调递减，故h(x/ f (xi h(xi)，故x/ < xi,再者，设y = f(x)在(0,0 )处的切线方程为y=t(x)，易得t(x

13、)=x ,令T(x) = f(X)-t(x) =(x+1 Xex -1 )-X ,(X)=(x +2 )e2 ,当 x<2 时，T(x)=(x +2)ex-2<-2<0.当X A-2时,令 H (x)=T'(x) =(x+2)eX_2，贝y (3)e0，故函数T'(x)在(-2,母)上单调递增,又T(0)=0,所以当 x( = ,0 )时，(x)<0,当 x(0,母)时，T'(x)a0,所以函数T(x)在区间(-比,0上单调递减，在区间(0,+或)上单调递增,所以 T(x) 3T(O) = 0,即 f(x) >t(x)，所以 f(X2)>t(X2),设t(x) =m的根为x/，则x/ =m，切线放缩注意“脑中有形”又函数