偶然误差统计精

1、§6 偶然誤差七統計独立&測定总多数回行偶然誤差影響总軽減七力*。乙乙比、偶然誤差50測定値O処理总学。6.1 正規分布偶然誤差龙測定値0、真O値 X対称山形分布曲線总描 乙七力力、oTU、§（図0 2） o 曲線O面積N1§正規分布曲線規格化、乙O分布曲線表亠1I ;p(x；/2ex pF(0 10)乙O分布总正規分布、笳比力分布。定数也比、0500大吉总表T：fe11 標準偏差n§o測定値N、真O値力、5± oO範囲（X-c± X+CTO間）：入oT §確率0約 68.3%、± 2dO範囲5約 95.5

2、%、± 3 «5約如.祝：§ob尢NoT、1 0回程度O測定总行oT得5尢'一夕O中匚他O値黒匕T 夕力笳o、乞比偶然誤差§50考。何5力、O過失力 力、o尢力、力、吟味§必要力笳养6.2 平均値N回O測定总行oT測定値O組 Xn= X1 ,X2,妙嘗得bon50偶然誤差OoTf50U、TU、§§o乙050疋'一夕力、5最哲確5b値总推定bToXn力证規分布従5真O値总X§七吉、測定値力* Xi§確率（b尢力NoT誤差力Xi-X確率）0 exp（Xi xY/2b2 hj匕例r§o

3、 N個O測定O誤差力N X1-X、X2-X、XN-X §確率0(0 11)1 N 2莎三 -X）:比例r§oO確率N最哲大吉§O0、誤差O2乗O和(0 12)Z （Xi -X）i2力最小L&§場合§o乞OX O値力、乙O場合O最確値§。誤差0 2乗和力最小七&§条件、多数測定値力最確値总求§方法总最小2乗法N式（0 12）总最小：r§X总求o乙O式总 X卫微分r§L> 2（Xi -X）L§力、5、0 Lr§ X O値Xo 0次O式总満尢oNNZ (Xo

4、-Xi) = NXo -送 Xi =0i4b尢力oT、Xi + X2 +Xn - =X .N00、最確値0測定値O算術平均X:他5&VoXo= ZN yXi測定値O平均、多測定値力、真以値最近川直总求§操作§。平均操作力意味总持、測定値050偶然誤差0乙§場合出測定枚扌§誤力源因他O'一夕七大吉<力"扌離尢測定値平均含、平均、偶然誤差以外O原因050弋、§'一夕力力、总吟味6.2 標準偏差測定値正規分布：従吉、十分：多数回O独立測定帖亍和煮平均値0比真O値：近、分布O標準偏差O0与5§o乙乙、真

5、O値 X 0未知O、乙O0cr0求5&V力*、測定回数N力十分：大X 0平均値X 置吉換§L力吉§ 1(0 13 a)乙乙、測定値七平均値O差Xi-X总残差巧。測定結果0比平均値x总最確値、標準偏差总測定誤差Ax Lbr、測定回数力必十分口0言場合：0、(0 13 a)式 C土(0 13 b)一宀(Xi-X)2Vn -1 J i )L§o1 N残差O絶対値O平均 丄送IXi-X总平均偏差 七巧。'一夕数力尐場合00平均 N i J偏差总測定誤差。誤差0比有効数字1桁表、計算力簡単&平均偏差問題場合力多、。Q 同匕測定总5回行測定値 122.

6、8, 値050偶然誤差§。122.0, 123.2, 122.9, 123.4 总得尢。乙測定1）最確値、2）標準偏差、3）平均偏差6.3最小2乗法§1次関数O推定量、X, y总N組測定得5n尢'一夕 最確力、実験式Xi, yi, (i=1,2,N)力£、最小2乗法（0 14） Xi总実験式弋入br得5n§値a+bXi七'夕yi七O差（残差）0総和力最小係数 a, b总求実験式总決定§。残差0 2乗O総和 V 0、NV = S a +）- yi 2i吕y=a+bx总推定。最小2乗法比、測定値(0-15七表n§。 V总最

7、小r§条件0、w/a =刃/£b=0笳§。乙a, b总求§方程式总書 七、aS 1 +b2 Xi 送 yi = 0(0 16 a)aS Xj +b2： Xj2 S Xi yi =0(0 16 b)N总得§ （簡単化O尢送总単Zi =1解決定n§。書。求§実験式a, b 連立方程式总a =(艺yi送Xj2 -5： Xj 乏Xi yi )/D(0 17)b =( nW Xi%-£ Xi 送 yi)/D(0 18)D = NS Xi2-C Xi 2(0 19)計算方法1.与5尢'一夕总歹、V7y口、7卜疋、X七y

8、 O関 係总直線近似r§七力.妥当力、力、总吟味r§o 直線近似力* 許図030直線总引a, b o値o 見当（図o例0 -3.3, b 3.4 程度 d） o 、図：矢印示著直線力逸脱'一夕力笳§場合0比、乞原因总推定、定等思場合0比最小2乗法計算50除外ro2. 次表总作疋送Xi、送Z x/、送xi yi总求§。桁落（、表Oui = xi +送 Xi +S yi =送 ui、送 x/ + Z直線近似7°口、少卜例p7参照）总避、計算際廿行数总多目七yi 欄七UiXi 欄0検算、合計欄xi yuixi总于工、少夕乙七、計算誤力.力、尢

9、乙七总確認。尢、Si2 O欄0'一夕O0f5'O吉O程度总表r残差0 2乗和总求a, b力求疋力'5必要応匕疋計算r§ofeSi = （a+bxi）-yi§o回数iXiyi2 XiXi yiUiUiXi2 Si122X1yiXiXi yiuiUi XiSi222X2y2X2X2 y2UiU2X2S2NXNyN2 XNXN yNUNUNXN2 SN2 X无yiz Xi2艺Xi%2 Ui无 UiXiv=2 Si2表0 1 最小2乗法次式总決§0計算表3. 式（0 17）（0 19）总用、疋a, b总計算r§o得5说 a, b总使07

10、口15、少卜b尢、'v7上：直線y=a+bx总引g 計算前：描疋直線黒匕較bT。匕b O値J 計算前：推定b尢値七比較bTo計算：誤fncn大吉<n4 .必要表O Si2O欄总計算bT(0 15 )式0残差O2乗和Aa = LI yfWib = LI jwb補足 最小2乗法：oT求尢a, b O誤差少，db "比、次与(0 2 0 a)(0-20 b)CT僞観測値o平均2乗和切乎n>cr'=jv/(N-2)、Wa七Wb 0nnL2W a = D/送 Xj , Wb = D/N§7'一夕总、口、，卜r§物理量O関係力視覚的：示個O

11、測定点O信頼性fe一目§oboT>v70yU 手法尢'一夕処理法hbX重要§obb>v70利点总活力、何見总作必要、実験得佔一夕応方刁作主&注意点总述rfe<o7.1 、v7O描吉方1 .v7方眼紙描吉、見总作成場合比、無地紙夕一出力rnobb、縦軸、横軸長 目盛力*自由制御場合作oTfe良0、&、手書吉o、v7总上手：作訓練r§o2 .定規横軸七縦軸 总引吉、各軸表r 物理量七単位总明記ro方眼紙薄、線"比、単&§補助線、 cn各軸总代用bTo軸总方眼紙O縁：七 物理量単位总余白記入好b<

12、;八3 .横軸七縦軸一丿"0比、方眼紙总有効使齐乙適切選乩4. 測定点0比正確力、'O明瞭打'O。誤差場合比、V 丿弋一 00（図0 4参照）工夕丿一丿珮增*血R®«力5 .物理量関係总示直線尢0比曲線总描00線0比、測定点总結（折線 §）O0T、最適&関係 式总推定留10意、最小2乗法、最適&関係式力求%|図0425SO75%工V丿弋一总付0扌尢歹、例I4MJ曲線（直線）嘗描o7.2 直線 OV72 00物理量X, y力1次式O関係y = a + bx 乙七吉、歹、V70直線吉力、5、a 0 y軸切片力、5nn容易決定吉

13、§（図0 5参照）。 最小2乗法0多O計算总必要七、簡単定总行多U'o尢正確求極力大7总描吉、歹'V7O広注意r§（図O Xo, Yo总 大吉§） O 図0 5O0b、V図0 5 愼菩上誤建总彖Jii）卷例75 a七b总読取o尢七吉、n5O誤差0次O式力、5求养ia = AYib/b = MYo + 缈/.Xo乙乙、 g & 0、推定直線（図O Y= a 力内側：入§：2本O直線 （図O点線）-bX总表r太、直線）七平行：、測定点O約2/3总描吉、縦軸、横軸七交点間隔 2整,2AY力求阮。7.3曲線 Ov7x七y O関係力次式表場

14、合哲、表現r§乙七力吉§。尢七夫总多o場合直線 乃Jy = a+bx2 O場合、X = x2, Y =y 七九才、X 対 Y Ov例 y = Axk 总直線 'v7：描、力、。A 両辺O対数总§。log y = log A + klogx 力、5、Y = logy, X = logx九f、Y = log A +kX§。対数O計算T：Oyov7y口、7、横軸七縦軸 总対数目盛:bv7用紙fe§（両対数'v7用紙乩巧）。Q y = Aekx总直線方卄描、力、。（匕卜：片対数'v7用紙总用§8 実験報告書（一卜）0書

15、'方表紙 必T表紙。表紙：0、実験亍一、番号、氏名、共同実験者名、 実験日、提出日总明記。目的実験目的总簡潔0乙書。原理？方法測定原理適用尢物理法則总簡潔、授業行実 験（学生実験）一卜0比、原理式導出実験関疋勉強自由書実験装置装置概略总記。測定'一夕 '一夕0可能&限© 表示r。、可能&限、刃："示r。一般報告書論文比、同 S沁表七歹、両方示、学 生実験0'一夕解析00目的一部、表示r乙七疋O数値：0 単位总忘nT：記入r§。計算 測定'一夕力、目的O物理量总求g'k如計算式0比必書rfe。計算O途中O数字0比書必要、複雑&計算見通場合出途中O経過記b結果？結論最終結果0改r 見書 。結果0、必誤差总評価b、最適&有効数字 表現r§乙七。亍卜示b尢詳細誤差計算場合力、乞O様場合U、 直接測定値O有効数字总勘案br、最終結果O有効数字总決