第1讲勾股定理--提高班

1、勾股定理勾股定理的证明勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的应用17勾股定理的证明勾股定理：直角三角形两条直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方.a2+b 2=c2常见的用来证明勾勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的股定理的图形有:【例题精选】例1（ 2020春?南岗区校级月考）下面各图中,不能证明勾股定理正确性的是（【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可.【解答】解： A、t2 b+c2丄ab=2 (a+b) (a+b),2 2 2整理得：a2+b2= C2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;B、 4X 鼻b+ ( b- a) 2= c2,整理得：a2+

2、b2 = c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意;D、T4x斗ab+c2 =( a+b) 2,JJ整理得：a2+b2= C2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;故选：C.【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键.【随堂练习】1. （2020?通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图 2中小正方形ABCD的面积为【解答】解：3-2 = 1 ,1X1=1.故图2中小正方形 ABCD的面积为1 .故答案为：1

3、.2勾股定理勾股定理：如果一个直角三角形的三边长分别为 a、b、c,则三边会满足两直角边的平方和等于斜边的平方即a2+b 2=c 2.【例题精选】例1（ 2019秋？揭西县期末）如图，以RtA ABC的三边为边分别作正方形I已知正方形I与正方形n的面积分别为25和9，则正方形川的面积为（C. 16D. 34【分析】先设Rt ABC的三边分别为a、b、c,再分别用a、b、c表示正方形川的面积、正方形n的面积、正方形I的面积的值, 由勾股定理即可得出正方形川的面积的值.【解答】解：设 Rt ABC的三边分别为a、b、c,正方形川的面积=a2,正方形n的面积=b2= 9,正方形I的面积=c2= 25

4、, ABC是直角三角形,a2= c2 - b2,正方形川的面积=25 - 9 = 16.故选：C.【点评】本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键.例2 （ 2019秋?长春期末）如图，在边长为 1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（A . 3/3C. 6【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB = d【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；由勾股定理求出AB是解决问题的关键.【随堂练习】1.（2019秋?泉港区期末）一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为A .

5、 5cmB. 4cm【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为石cm;故直角三角形的第三边应该为5cm或cm .故选：D.2. （2019秋?都江堰市期末）直角三角形两条直角边的长分别为3和4,则斜边长为（）C. 6D. 10【解答】解：由勾股定理得：斜边长为：M第2十4 2 = 5 .故选：B.3.（2020春？曲阜市期中）若直角三角形两直角边的边长分别是5和12,则斜边上的高为（）【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2= 52+122,则斜边长=13,直角三角形面积s4 -5- 12=苏13 X斜边的高,2可得：斜边的高=豊

6、.故选：B .3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c,且a2+b 2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【例题精选】例1 （2019秋?成华区期末）满足下列条件的ABC不是直角三角形的是（A . AC= 1 , BC =V3, AB= 2B. AC: BC: AB = 3: 4: 5C . / A: / B : / C = 1: 2: 3D . / A:/ B:/ C= 3: 4:即可得【分析】A （ B）、将两条短边的长的平方相加，再于最长边的长的平方进行比较,出选项A、B的条件满足 ABC是直角三角形;C（ D）、根据三个角之间的关系结合三角形内角和定理，可

7、求出最大角的度数，进而可得出选项C的条件满足 ABC是直角三角形、选项 D的条件满足 ABC不是直角三角形此题得解.【解答】解：A、T 12+ （血）2= 4, 22= 4, 12+ (品 2= 22, AC= 1, BC = 73, AB = 2满足 ABC是直角三角形;B、 32+42 = 25 , 52 = 25, 32+42 = 52, AC: BC: AB = 3: 4: 5满足 ABC是直角三角形;C、T/ A: / B : / C = 1: 2: 3,/ A+ / B+ / C= 180,31+2+2X180 = 90/ A: / B:/ C= 1 : 2: 3满足 ABC是直角

8、三角形;D、/ A: / B:/ C = 3: 4: 5,/ A+ / B+ / C= 180,X180 = 7553+4+5/ A: / B:/ C= 3: 4: 5, ABC 不是直角三角形.故选：D.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项给定的条件是否满足 ABC是直角三角形是解题的关键.例2（2020春?江汉区期中）如图，在四边形 ABCD中，AB = 13, BC = 3, CD = 4, DA =12,/ ADB = 90，求四边形 ABCD的面积.【分析】首先根据勾股定理计算出BD长，再根据勾股定理逆定理证明/BCD = 90然后再利用直角三角形

9、的面积公式计算可得四边形ABCD的面积.【解答】解：在 Rt ABD中，BD2= AB2 - AD2, BD2= 132 - 122 = 25,又 BC2+CD2 = 32+42= 25,二 BC2+CD2= BD2,/ BCD = 90c 5X12 3X4 “ S四边片细阳十Sq匚D 2 1 二阴.【点评】此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a, b, c满足a2+b2= c2,那么这个三角形就是直角三角形.【随堂练习】1. （ 2019秋？安居区期末）下列几组数中，为勾股

10、数的是（A. 4, 5, 6B. 12, 16, 18C. 7, 24, 25D. 0.8, 1.5, 1.7【解答】解：A 42+52工62,不是勾股数;B、122+162m 182，不是勾股数;C、72+24 2 = 252,是勾股数;D、0.82+1.52= 1.72，但不是正整数，不是勾股数.故选：C.2. （ 2019秋？叙州区期末）由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（A . / A: / B: / C = 3: 4: 5B . AB : BC: AC = 3: 4:C . / A+/B = / CD. AB2= BC2+AC2【解答】解：A、T/ A: / B : / C =

11、 3: 4:5，且/ A+ / B+ / C= 180，可求得/ C丰90,故 ABC不是直角三角形;B、不妨设 AB = 3x, BC = 4x, AC= 5x,此时AB2+BC2= 25x2= AC2，故 ABC 是直角三角形;C、/ A+ / B=/ C,且/ A+ / B+/C = 180,可求得/ C= 90,故 ABC 是直角三角形;D、AB2= BC2+AC2，满足勾股定理的逆定理，故 ABC是直角三角形;3. （ 2020春？西城区校级期中）已知，如图，等腰ABC的底边BC= 10cm, D是腰AB上6cm,求AB的长.acm,/ BC= 10cm, CD = 8cm, BD

12、= 6cm, BD2+CD2= BC2 ,/ BDC = 90即/ ADC = 90,在Rt ADC中，由勾股定理得： AC2= AD2+CD2,即 a2=( a - 6) 2+82,解得：a =25即 ABcm.4勾股定理的实际应用解勾股定理实际问题的一般步骤: 仔细审题，读懂题意; 找出或构造出与问题有关的直角三角形; 在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程; 求解所列算式或方程，直接或间接得到答案;解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型【例题精选】例1 （2019秋?简阳市期末）我市某中学有一块四边形的空地ABCD （如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮

13、，经测量/ A= 90, AB = 3m, DA = 4m, CD = 13m,BC= 12m.（1 ）求出空地 ABCD的面积.200元，问总共需投入多少元?【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出/DBC = 90 ，进而得出答案;（2）利用（1 ）中所求得出所需费用.【解答】解:(1)连接BD,在 Rt ABD中，BD2= AB2+AD2= 32+42= 52,在 CBD 中，CD2= 132, BC2= 122,而 122+52= 132,即卩 BC2+BD2= cd2,所以/ DBC = 90,则 S 四边形 ABCD= abd+Sadbc = 3 X 4* 2+5 X

14、 12* 2 = 36m2;（元）.【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出/DBC = 90是解题关键.3m, 5m两处折成三段，中间一段例2（2019秋?邳州市期末）如图，一棵大树在离地面AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（A . 9mB. 14mC. 11mD. 10m【分析】作 BD丄OC于点D，首先由题意得：AO = BD = 3m, AB = OD = 2m,然后根据OC = 6米，得到DC = 4米，最后利用勾股定理得 BC的长度即可.【解答】解：如图，作 BD丄OC于点D,由题意得：AO= BD = 3m, AB = OD = 2m,O

15、C = 6m,DC = 4m,由勾股定理得：BC=aED2+Dc 2=dM 十4 2! = 5 ( m),大树的高度为 5+5 = 10 ( m),故选：D.【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键.【随堂练习】6米高的B处断裂，树顶A落在离树底1. （ 2019秋?青羊区期末）如图，一棵大树在离地面部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（A . 10 米B . 16 米C. 15 米D. 14 米【解答】解：由题意得BC= 6,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=/bC?AC= +P= 10 米.所以大树的高度是 10+6 = 16米.故选：B .综合运用

16、1. 如图：在 RtAABC和 RtABDE中，/ C=90, / D=90, AC=BD=a BC=DE=bAB=BE=,试利用图形证明勾股定理.E【解答】证明：V/ C=90, / D=90, AC=BD=a BC=DE=b AB=BE=c RtA ACB RtA BDE / ABC=/ BED / BAC=/ EBD,V/ AB(+/DBE=90 , / ABE=90,三个Rt其面积分别为寺ab, *ab和寺c2.直角梯形的面积为豆(a+b) (a+b).c2,由图形可知：y (a+b) (a+b) abab+整理得(a+b) 2=2ab+c2, a2+b2+2ab=2ab+c2,二 a

17、2+b2=c2.2. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示弦图” RtAABC中，/ ACB=90,若AC=b, BC=a请你利用这个图形解决下列问题:(1)试说明 a2+b2=c2；(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b) 2的值.4BC a【解答】解:(1)v大正方形面积为c2,直角三角形面积为丄ab,小正方形面积2为(b a) 2， &=4X寺ab+ (a-b) 2=2ab+a2- 2ab+b2 即 c2=a2+b2；(2)由图可知，(b a) 2=2，4a

18、b=10-2=8,-2ab=8,( a+b) 2= (b a) 2+4ab=2+2x 8=18.3. 如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为0, AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点0到点C的距离()A.减小1米B.增大1米C.始终是2米D.始终是3米【解答】解： 0为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB=6米,.CO吉AB=3米，故选：D.4. 如果梯子的底端离建筑物 5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米【解答】解：如图，梯子的底端离建筑物 5米，梯子长为13米, - AC_5=12 (米).故选：

19、A.5. 已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是 段构成直角三角形时，这三条线【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为寸5?-曙=4cm；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为居有価 cm.故答案为4或阿cm.6.如图，正方形网格中有 ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识解答下列问题:(1)判断ABC是什么形状？并说明理由.(2)求 ABC中BC边上的高.C【解答】解：(ABC是直角三角形.理由如下:在 RtAABC 中,在 RtAAEC中,AC吋*+ 1届;在 RtA BDC中,bc=60 + 4辰; ab2+bc2=ac2,/ B=90, ABC是直角三角形;(2)设AC边上的高为h . Sx ABCiAC?h丄 AB?BC2 2 甌二_7.下列各组数中，是勾股数的是（A. 6, 9, 12B.- 9, 40, 41C. 9, 12, 13 D. 7, 24, 25【解答】解：A、不是，因62+92 122;B、不是，因为-9不是正整数;C不是，因为92+122工132;D、是，因为72+242=252.且7、24、25是正整数.故选：D.& （ 2019秋?仪征市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是