第7章时间序列分析

1、第七章第七章 时间序列分析时间序列分析平稳性、平稳性、ARIMA模型与向量自回归模型与向量自回归单位根、趋势平稳、差分平稳与协整单位根、趋势平稳、差分平稳与协整自回归条件异方差自回归条件异方差实证分析实证分析v近年来，时间序列是计量经济领域研究的热点，近年来，时间序列是计量经济领域研究的热点，许多经济学院校也将时间序列分析作为必修课程。许多经济学院校也将时间序列分析作为必修课程。单一的章节无法对时间序列分析进行全面论述，单一的章节无法对时间序列分析进行全面论述，所以本章只侧重介绍该领域的一些基本概念，包所以本章只侧重介绍该领域的一些基本概念，包括时间序列的平稳性概念、时间序列分析中的括时间序列

2、的平稳性概念、时间序列分析中的Box-Jenkins和向量自回归（和向量自回归（VAR）法、随机游走）法、随机游走模型和各种单位根检验法、伪回归、趋势平稳与模型和各种单位根检验法、伪回归、趋势平稳与差分平稳模型、协整的基本概念以及自回归条件差分平稳模型、协整的基本概念以及自回归条件异方差模型等。异方差模型等。第一节第一节 平稳性、平稳性、ARIMA模型与向量模型与向量自回归自回归平稳性平稳性Box-Jenkins方法方法向量自回归向量自回归7.1.1 平稳性平稳性v我们考虑我们考虑19782005年我国的消费和收入曲线图年我国的消费和收入曲线图（如图（如图7.1）。该图是用）。该图是用Evie

3、ws软件绘制的。软件绘制的。v图图7.1中的数据为中的数据为19782005年的实际值，两条曲年的实际值，两条曲线都表现为持续上升，这说明两数据可能存在时线都表现为持续上升，这说明两数据可能存在时间趋势。实际上对于这两个时间序列，间趋势。实际上对于这两个时间序列， 在在 时并不会收敛，同时时并不会收敛，同时 并不依概率收敛于某并不依概率收敛于某一有限的正定矩阵，由此估计时必须应用非标准一有限的正定矩阵，由此估计时必须应用非标准的渐近理论。的渐近理论。21/TttxT 图图7.1 我国的收入和消费数据我国的收入和消费数据0400008000012000016000020000078 80 82

4、84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04CONSUMPTIONINCOMEv首先，我们定义平稳性的概念。首先，我们定义平稳性的概念。v对于一个时间序列过程对于一个时间序列过程 ，如果其均值和方差是与，如果其均值和方差是与时间无关的常数，其协方差由时间无关的常数，其协方差由 给出，给出，也即协方差只与时间间隔有关，而与时间本身无也即协方差只与时间间隔有关，而与时间本身无关，那么称此时间序列过程为协方差平稳（或弱关，那么称此时间序列过程为协方差平稳（或弱平稳）。平稳）。v为检验时间序列的弱平稳性，可以计算其自相关为检验时间序列的弱平稳性，可以计算其自相关函数。自相关函数定义

5、为函数。自相关函数定义为 和和 的相关系数的相关系数 ，这些相关系数的取值范围在，这些相关系数的取值范围在-1和和1之间。之间。cov( ,)tt ssx xstxt sx/soSample: 1978 2005Included observations: 28AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob . |* | . |* |10.7230.72316.2490.000 . |* | . | . |20.5390.03525.6300.000 . |* | . | . |30.4020.00231.0620.000 . |*.

6、| . | . |40.3010.00234.2280.000 . |*. | . | . |50.219 -0.01235.9860.000 . |* . | . | . |60.1700.01937.0880.000 . |* . | . | . |70.1470.03637.9560.000 . |* . | . | . |80.1340.02138.7080.000 . |* . | . | . |90.1210.00939.3530.000 . |* . | . | . |100.1080.00539.8960.000 . |* . | . | . |110.091 -0.00640

7、.3020.000 . |* . | . | . |120.067 -0.01740.5380.000图图7.2 消费的自相关图消费的自相关图v对于一个平稳过程，随着滞后期对于一个平稳过程，随着滞后期s增加，增加， 会很快会很快下降。而对于一个非平稳序列，下降。而对于一个非平稳序列， 下降很慢，如图下降很慢，如图7.2所示的消费序列。下面我们将介绍一种常见的所示的消费序列。下面我们将介绍一种常见的时序建模方法时序建模方法Box和和Jenkins（1970）方法。）方法。该方法应用样本自相关函数来确定一个时间序列该方法应用样本自相关函数来确定一个时间序列是否平稳。是否平稳。ss7.1.2 Box

8、-Jenkins方法方法v这种方法适用于自回归积分移动平均模型这种方法适用于自回归积分移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average, ARIMA）。）。Box-Jenkins方法是先对非平稳的时方法是先对非平稳的时间取差分，再看差分后的序列的样本自相关图是间取差分，再看差分后的序列的样本自相关图是否平稳。简单的说，如果对一个序列取否平稳。简单的说，如果对一个序列取1次、次、2次次或或3次差分后转换为平稳过程，那么我们说这一序次差分后转换为平稳过程，那么我们说这一序列的积分阶数为列的积分阶数为1、2或或3。这样可以用生成的平稳。这样可以用生成的平

9、稳序列的自相关函数和偏自相关函数，来识别所需序列的自相关函数和偏自相关函数，来识别所需要的最适要的最适AR和和MA过程阶数。过程阶数。v 和和 间的偏相关函数是消除中间变量间的偏相关函数是消除中间变量 影响后的相关系数，具体参见影响后的相关系数，具体参见Box和和Jenkins （1970）。）。tyt sy11, ,tt syy v图图7.3描绘了由描绘了由 生成的的生成的的AR（1）过）过程，其中程，其中 i.i.d.N(0,4)，T=250。图。图7.4显示这个显示这个AR（1）过程的自相关函数值随）过程的自相关函数值随s的增加而呈几何的增加而呈几何递减。类似地，图递减。类似地，图7.5

10、描绘了由描绘了由 生成的生成的MR（1）过程，其中）过程，其中 i.i.d.N(0,4) ，T=250。图图7.6说明了在第一个滞后期后这个说明了在第一个滞后期后这个MR（1）过程）过程的自相关函数值立刻降为的自相关函数值立刻降为0。v应该指出的是，应该指出的是，ARIMA方法并不是十分精确的，方法并不是十分精确的，但它提供了一个可行的估计方法。但它提供了一个可行的估计方法。ARIMA模型采模型采用最大似然法进行估计，而且必须进行一些诊断用最大似然法进行估计，而且必须进行一些诊断检验，一个常用的检验是看其残差是否为白噪音，检验，一个常用的检验是看其残差是否为白噪音，如果无法通过检验，则应采用其

11、他估计方法。如果无法通过检验，则应采用其他估计方法。10.7tttyyt10.4tttyt-8-6-4-202468255075100125150175200225250FIG3_AR1图图7.3 AR（1）过程，）过程， 0.7Sample: 1 250Included observations: 250AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob .|* | .|* |1 0.605 0.605 92.657 0.000 .|* | .|* |2 0.435 0.108 140.62 0.000 .|* | .|. |3 0.30

12、2 0.004 163.93 0.000 .|* | .|* |4 0.294 0.132 186.13 0.000 .|* | .|. |5 0.235 -0.004 200.30 0.000 .|* | *|. |6 0.129 -0.099 204.56 0.000 .|* | .|. |7 0.082 0.007 206.30 0.000 .|. | *|. |8 0.019 -0.063 206.39 0.000 .|. | .|. |9 0.010 0.002 206.42 0.000 .|. | .|. |10 -0.018 -0.011 206.50 0.000 .|. | .

13、|. |11 -0.057 -0.054 207.36 0.000 *|. | *|. |12 -0.124 -0.093 211.43 0.000图图7.4 AR（1）过程的自相关图）过程的自相关图-6-4-20246255075100125150175200225250FIG5_MA1图图7.5 MA（1）过程，）过程，0.4Sample: 1 250Included observations: 250AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob .|* | .|* |10.2140.21411.6410.001 *|. | *|

14、. |2 -0.072 -0.12312.9500.002 *|. | .|. |3 -0.059 -0.01613.8420.003 .|* | .|* |40.1050.12216.6850.002 .|* | .|. |50.1160.06020.1680.001 .|. | .|. |6 -0.012 -0.03920.2040.003 .|. | .|. |7 -0.0190.02120.2940.005 .|. | .|. |8 -0.043 -0.05320.7690.008 .|. | .|. |90.0120.01220.8060.014 .|. | .|. |100.033

15、0.02121.0930.020 .|. | .|. |110.009 -0.00121.1160.032 *|. | *|. |12 -0.084 -0.08022.9810.028图图7.6 MA（1）过程的自相关图）过程的自相关图v如果一时间序列是白噪音，则其各项有相同的均如果一时间序列是白噪音，则其各项有相同的均值和方差，且自相关系数为值和方差，且自相关系数为0，即对于，即对于 有有 。实际上，对于一白噪声序列，当。实际上，对于一白噪声序列，当 时，时， 近似服从近似服从 N(0,1)分布。为检验分布。为检验 的联合假设，可采用的联合假设，可采用Box和和Pierce（1970）的）的

16、Q统统计量计量 （7.1）这个统计量在零假设下近似地服从这个统计量在零假设下近似地服从 分布。分布。v在小样本中更具有说服力的是在小样本中更具有说服力的是Ljung和和Box（1978）的的QLB统计量统计量 （7.2）vQLB统计量在零假设下也近似地服从统计量在零假设下也近似地服从 分布。分布。0s 0sT ST0:0,1,2,.,sHsm2m21(2)()mLBjjQT TTj2m21mssQTvMaddala（1992）认为）认为Q和和QLB统计量不适用于自统计量不适用于自回归模型。这两个统计量不适用的原因与回归模型。这两个统计量不适用的原因与Durbin-Watson统计量不适用于自回

17、归模型类似。统计量不适用于自回归模型类似。Maddala（1992）认为应该使用）认为应该使用Godfey（1979）提出的提出的LM统计量来检验统计量来检验ARMA模型的适用性。模型的适用性。v对前面对前面T = 28的消费序列，的消费序列， 的的95置信区间为置信区间为 也即也即 。图。图7.2将将95%置信区间描置信区间描绘成围绕绘成围绕0的两条直线。很明显，的两条直线。很明显， 到到 显著不为显著不为0，而且其样本自相关系数随滞后期数，而且其样本自相关系数随滞后期数s的增加而的增加而缓慢下降。此外，缓慢下降。此外，QLB统计量在滞后期为统计量在滞后期为1、2一一直到直到12时都是统计显

18、著的。时都是统计显著的。s0 1.96 1280.370413v基于样本自相关图和基于样本自相关图和LjungBox统计量，该消费统计量，该消费序列不是完全的随机白噪声。序列不是完全的随机白噪声。v图图7.7绘出了绘出了 的样本自相关图，注意到的样本自相关图，注意到QLB统计量在滞后期为统计量在滞后期为1、2一直到一直到12时都是统计时都是统计显著的，说明消费序列的一阶差分不是完全的随显著的，说明消费序列的一阶差分不是完全的随机白噪声。机白噪声。v图图7.8绘出了绘出了 的样本的样本自相关图，其自相关系数和自相关图，其自相关系数和QLB统计量在各滞后统计量在各滞后期均不显著，说明消费序列需要差

19、分一次或二次期均不显著，说明消费序列需要差分一次或二次后才会变为平稳。后才会变为平稳。1tttCCC21122ttttttCCCCCC Sample: 1978 2005Included observations: 27AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob . |* | . |* |1 0.630 0.63011.964 0.001 . |* | . |* . |2 0.445 0.080 18.179 0.000 . |*. | . | . |3 0.305 -0.006 21.216 0.000 . |*. | . | .

20、 |4 0.239 0.048 23.166 0.000 . |* . | . | . |5 0.170 -0.013 24.200 0.000 . |* . | . *| . |6 0.085 -0.066 24.469 0.000 . | . | . | . |7 0.053 0.017 24.580 0.001 . | . | . | . |8 0.014 -0.029 24.588 0.002 . | . | . | . |9 -0.029 -0.049 24.625 0.003 . | . | . | . |10 -0.013 0.056 24.633 0.006 . | . | .

21、 | . |11 -0.007 0.007 24.635 0.010 . | . | . | . |12 0.009 0.016 24.640 0.017图图7.7 消费序列一阶差分后的自相关图消费序列一阶差分后的自相关图Sample: 1978 2005Included observations: 26AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob . |*. | . |*. |1 0.275 0.275 2.2017 0.138 . *| . | .*| . |2 -0.103 -0.193 2.5240 0.283 .*| . |

22、 .*| . |3 -0.274 -0.210 4.8970 0.179 . *| . | . *| . |4 -0.186 -0.073 6.0414 0.196 . *| . | . *| . |5 -0.152 -0.163 6.8464 0.232 . | . | . | . |6 -0.021 -0.034 6.8632 0.334 . | . | . | . |7 0.037 -0.048 6.9151 0.438 . | . | . | . |8 0.046 -0.051 7.0007 0.537 . | . | . | . |9 0.014 -0.041 7.0092 0.63

23、6 . | . | . | . |10 -0.019 -0.056 7.0260 0.723 . | . | . | . |11 -0.043 -0.0557.1146 0.790 . | . | . | . |12 -0.019 -0.025 7.1333 0.849图图7.8 消费序列二阶差分后的自相关图消费序列二阶差分后的自相关图v建立经济模型的难点在于如何确定建立经济模型的难点在于如何确定ARIMA模型或模型或动态回归模型中的滞后期数。动态回归模型中的滞后期数。Granger等（等（1995）认为利用假设检验来设定基于数据的模型是有缺认为利用假设检验来设定基于数据的模型是有缺陷的。他们

24、提议使用模型选择准则来设定模型。陷的。他们提议使用模型选择准则来设定模型。vBox-Jenkins方法很受以预测为目的的研究者欢迎，方法很受以预测为目的的研究者欢迎，他们认为这方法比以经济理论为基础的联立方程他们认为这方法比以经济理论为基础的联立方程模型要实用得多。模型要实用得多。Box-Jenkins模型允许序列非平模型允许序列非平稳，并且能处理时间序列的季节性。然而，稳，并且能处理时间序列的季节性。然而，Box-Jenkins模型的不足之处在于缺乏经济理论基础，模型的不足之处在于缺乏经济理论基础，同时，不能用于检验经济假说或提供关键弹性参同时，不能用于检验经济假说或提供关键弹性参数的估计。

25、因此，这种方法不能用来模拟税收政数的估计。因此，这种方法不能用来模拟税收政策或政府其他政策改变的影响。经济学家们从策或政府其他政策改变的影响。经济学家们从Box-Jenkins方法中学习到，在选择时间序列动态方法中学习到，在选择时间序列动态模型中的参数时要非常小心。经济学中另一个常模型中的参数时要非常小心。经济学中另一个常用的预测方法是由用的预测方法是由Sims（1980）提出的向量自回）提出的向量自回归（归（VAR）方法。本章做一简要介绍。）方法。本章做一简要介绍。7.1.3 向量自回归向量自回归vSims（1980）认为，既然联立方程组模型研究的）认为，既然联立方程组模型研究的变量间有复杂

26、的交互作用，那么人为假设哪些变变量间有复杂的交互作用，那么人为假设哪些变量内生、哪些变量外生就缺乏充分根据，而且会量内生、哪些变量外生就缺乏充分根据，而且会产生错误。因此，他建议用向量自回归模型产生错误。因此，他建议用向量自回归模型（VAR）来预测宏观时间序列。）来预测宏观时间序列。VAR模型假设所模型假设所有的变量都是内生的。有的变量都是内生的。v例如，考虑下面的三组宏观序列：货币供给、利例如，考虑下面的三组宏观序列：货币供给、利率、产出。率、产出。VAR对这三个内生变量所构成的向量对这三个内生变量所构成的向量做关于其滞后向量的自回归方程。做关于其滞后向量的自回归方程。VAR模型可以模型可以

27、包括一些外生变量，如趋势、季节性等。如果我包括一些外生变量，如趋势、季节性等。如果我们对每个内生变量取滞后们对每个内生变量取滞后5期，那么每个方程有期，那么每个方程有16个参数需要估计（假设有常数项）。个参数需要估计（假设有常数项）。v如货币供给方程的解释变量包含如货币供给方程的解释变量包含5个滞后的货币变个滞后的货币变量、量、5个滞后的利率变量和个滞后的利率变量和5个滞后的产出变量。个滞后的产出变量。又由于每个方程的参数都不一样，所以在无约束又由于每个方程的参数都不一样，所以在无约束的的VAR中，需要估计的总参数个数将达中，需要估计的总参数个数将达16348个。随着滞后期数个。随着滞后期数m

28、和方程个数和方程个数g的上升，自由度的上升，自由度问题变得很严重，实际上需要估计的参数个数为问题变得很严重，实际上需要估计的参数个数为mg+mg2。v在小样本模型中，参数可能无法得到准确估计，在小样本模型中，参数可能无法得到准确估计，因此只能考虑简单的因此只能考虑简单的VAR模型。由于模型中各方模型。由于模型中各方程的解释变量都相同，因此对其进行似无相关估程的解释变量都相同，因此对其进行似无相关估计（计（SUR）等同于对各个方程进行）等同于对各个方程进行OLS估计。估计。v若假设正态分布，还可以进行似然比检验。似然若假设正态分布，还可以进行似然比检验。似然比检验的一个重要的应用是确定滞后长度。

29、以滞比检验的一个重要的应用是确定滞后长度。以滞后阶数后阶数m的模型为约束模型，以滞后阶数的模型为约束模型，以滞后阶数q（qm）的模型为无约束模型，分别得到似然值。在零假的模型为无约束模型，分别得到似然值。在零假设下似然比（设下似然比（LR）统计量服从）统计量服从 分布。在估分布。在估计无约束模型时参数个数为（计无约束模型时参数个数为（qg2+g），因此样本），因此样本数数T应该足够大。应该足够大。v当然，我们还可以增加约束条件以减少所需要估当然，我们还可以增加约束条件以减少所需要估计的参数，但这又重新引入了一些特定约束，而计的参数，但这又重新引入了一些特定约束，而与与VAR的主旨相悖。贝叶斯的

30、主旨相悖。贝叶斯VAR方法被认为在预方法被认为在预测方面有优势，（参见测方面有优势，（参见Litterman, 1986），但同），但同时也由于缺乏经济理论基础而受到批评。时也由于缺乏经济理论基础而受到批评。22()q m gvVAR模型也可用于模型也可用于Grange因果关系检验。如对一因果关系检验。如对一两个方程的两个方程的VAR，只要该，只要该VAR模型设定正确且没模型设定正确且没有遗漏变量，我们就可以检验有遗漏变量，我们就可以检验“y1 不是不是y2 的的Granger原因原因”。把。把y2对对y2 的的m期滞后以及期滞后以及 y1的的m期滞后做回归，再将期滞后做回归，再将 y2只对只

31、对y2 的的m期滞后做回归，期滞后做回归，之后就用一个简单的之后就用一个简单的F检验来检验检验来检验 y1的滞后是否的滞后是否联合显著。统计量渐近服从联合显著。统计量渐近服从 分布。分布。v存在的问题是存在的问题是Grange因果关系检验可能对滞后期因果关系检验可能对滞后期数数m敏感，详见敏感，详见Gujarati（1995）。对无约束条件）。对无约束条件下的下的VAR模型参数估计和检验的更多分析可参考模型参数估计和检验的更多分析可参考Hamilton（1994）和）和Lvtkepohl（2002）。）。,(21)m TmF第二节第二节 单位根、趋势平稳、差分平单位根、趋势平稳、差分平稳与协整

32、稳与协整单位根单位根趋势稳定和差分稳定趋势稳定和差分稳定协整协整7.2.1 单位根单位根v如果一时间序列由随机过程如果一时间序列由随机过程 生成，其生成，其中中 ，则该时间序列被称为随机游走。，则该时间序列被称为随机游走。v一些股票市场分析师认为股票的价格就是一个随一些股票市场分析师认为股票的价格就是一个随机游走序列，也就是说今天的股票价格等于昨天机游走序列，也就是说今天的股票价格等于昨天的价格加上一个随机冲击。这是一个非稳定的时的价格加上一个随机冲击。这是一个非稳定的时间序列，任何对股票价格的冲击是永久存在的，间序列，任何对股票价格的冲击是永久存在的，而不会像而不会像AR（1）过程那样消失掉

33、。实际上，如）过程那样消失掉。实际上，如果股票初始价格为果股票初始价格为 ， 则有则有且有且有 ， 。1tttxxt2. . (0,)iid N0 x2(),var()ttE xxt112121,ttjjxxx2. . .(0,)ii d Nv因此因此 xt的方差与时间的方差与时间t有关而非常数，是一个非平有关而非常数，是一个非平稳序列。实际上，当稳序列。实际上，当 时，时， 。然而，我。然而，我们对们对xt 取一阶差分得到的取一阶差分得到的 却是一个平稳序列。却是一个平稳序列。图图7.9绘出了当绘出了当T = 250时由时由 ， i.i.d.N(0,4)生成的随机游走序列。图生成的随机游走序

34、列。图7.10表明这个随机游走表明这个随机游走过程的自相关函数随着过程的自相关函数随着s的增加而保持不变。注意的增加而保持不变。注意到一个随机游走序列就是一个当到一个随机游走序列就是一个当 时的时的AR（1）过程过程 ，因此，平稳性检验实际就是检验，因此，平稳性检验实际就是检验 或检验单位根是否存在。或检验单位根是否存在。T var()tx t1tttxxt11tttxx1-20-1001020304050255075100 125 150 175 200 225 250FIG9_RW图图7.9 随机游走过程随机游走过程Sample: 1 250Included observations: 2

35、50AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob .|*| .|*|1 0.967 0.967 236.79 0.000 .|*| .|. |2 0.935 -0.014 458.85 0.000 .|*| .|. |3 0.904 0.007 667.30 0.000 .|*| .|. |4 0.876 0.030 863.87 0.000 .|*| .|. |5 0.847 -0.038 1048.2 0.000 .|* | .|. |6 0.819 0.016 1221.5 0.000 .|* | *|. |7 0.787 -0

36、.083 1382.1 0.000 .|* | .|. |8 0.755 -0.025 1530.5 0.000 .|* | .|. |9 0.720 -0.055 1666.2 0.000 .|* | .|. |10 0.690 0.034 1791.0 0.000 .|* | .|* |11 0.665 0.074 1907.4 0.000 .|* | *|. |12 0.637 -0.059 2014.9 0.000图图7.9 随机游走过程的自相关图随机游走过程的自相关图v引入滞后算子引入滞后算子L，我们可以将随机游走序列写成，我们可以将随机游走序列写成 ；一般来说，任何的自回归模型都可

37、以；一般来说，任何的自回归模型都可以写成写成 的形式（的形式（A（L）是关于）是关于L的多项式）。的多项式）。如果如果A（L）有个根的值为（）有个根的值为（1-L），则说明），则说明 有一有一个单位根。个单位根。vAR（1）模型两边同时减）模型两边同时减 xt-1可以得到可以得到 （7.3）其中其中 ， 是是xt的一阶差分。的一阶差分。(1)ttL x( )ttA L x11(1)tttttxxx(1)1tttxxxv通过以通过以 xt为因变量，为因变量，xt-1 为自变量的回归可以检为自变量的回归可以检验假设验假设H0: =1（即检验假设（即检验假设H0: =0）。由于）。由于t 是是平稳的

38、，因此如果平稳的，因此如果 =0 ，xt = t则则 xt是差分平稳是差分平稳的，也即一阶差分后变为平稳。这种情况下称随的，也即一阶差分后变为平稳。这种情况下称随机变量机变量 xt为一阶单整，记为为一阶单整，记为I（1）。如果需要二）。如果需要二阶差分才能使其变为平稳，则随机变量阶差分才能使其变为平稳，则随机变量 xt为二阶为二阶单整，记为单整，记为I（2）。平稳序列记为）。平稳序列记为I（0）。）。vDickey 和和Fuller（1979）证明在）证明在H0： =0 假设条假设条件下（件下（7.3）式回归得到的）式回归得到的t统计量不服从统计量不服从t分布。分布。实际上这个实际上这个t统计

39、量服从一非标准分布，参见统计量服从一非标准分布，参见Bierens（2001）。为此，）。为此，Dickey 和和Fuller通过通过Monte Carlo模拟得到模拟得到t统计量统计量 的临界值，并由的临界值，并由MacKinnon（1991）进一步扩展。）进一步扩展。如果如果|t| 超过临界值，可以拒绝超过临界值，可以拒绝H0：=1 的零假设，的零假设，也就意味着我们无法拒绝原时间序列平稳的零假也就意味着我们无法拒绝原时间序列平稳的零假设。若无法拒绝设。若无法拒绝H0：=1 的假设，则无法拒绝单的假设，则无法拒绝单位根存在的假设，也无法拒绝原时间序列非平稳。位根存在的假设，也无法拒绝原时间

40、序列非平稳。(1). .(). .( )s es ev注意到若无法拒绝注意到若无法拒绝H0，可能同时也无法拒绝，可能同时也无法拒绝 =0.99，或者更正式地说，单位根检验的弱点在，或者更正式地说，单位根检验的弱点在于，无法区分单位根过程和接近单位根的平稳过于，无法区分单位根过程和接近单位根的平稳过程。实际上程。实际上DickeyFuller检验经常采用以下三种检验经常采用以下三种形式：形式： （7.4） （7.5） （7.6）其中，其中，t代表时间变量。代表时间变量。1tttxx1tttxx1tttxtxv（7.4）式、（）式、（7.5）式和（）式和（7.6）式单位根存在的）式单位根存在的零假

41、设都是零假设都是H0：=0 ，但三种模式下相应，但三种模式下相应t统计量统计量所对应的临界值不同。所对应的临界值不同。TSP、SHAZAM、Eviews和和LIMDEP均给出了均给出了DickeyFuller统计量的适当统计量的适当临界值。临界值。v其他单位根检验方法参见其他单位根检验方法参见Phillips和和Perron（1998）以及以及Bierens和和Guo（1993）。）。v如果一个序列有趋势项和漂移项，那么应该选择如果一个序列有趋势项和漂移项，那么应该选择方程（方程（7.6）式；若有趋势项而无漂移项，则选择）式；若有趋势项而无漂移项，则选择方程（方程（7.5）式；在实际经济数据中

42、，如（）式；在实际经济数据中，如（7.4）式）式那样不包含常数项或趋势项的较少见。那样不包含常数项或趋势项的较少见。vBox-Jenkins方法是对时间序列差分，然后看差分方法是对时间序列差分，然后看差分后序列的样本自相关图来判断序列的平稳性，而后序列的样本自相关图来判断序列的平稳性，而DickeyFuller检验则对单位根是否存在进行正式检验则对单位根是否存在进行正式检验。检验。Maddala（1992）建议读者在判断一时间）建议读者在判断一时间序列是否是非平稳时，应该同时观察其样本自相序列是否是非平稳时，应该同时观察其样本自相关图，并进行单位根检验。关图，并进行单位根检验。v如果扰动项如果

43、扰动项 t是一阶自回归的是一阶自回归的AR（1）过程，那）过程，那么要对其进行单位根检验，可以通过扩展的么要对其进行单位根检验，可以通过扩展的DickeyFuller检验。该检验将方程（检验。该检验将方程（7.6）式的）式的右边扩展为包含右边扩展为包含xt-1 的项，即的项，即 （7.7）v这种情况下，对这种情况下，对 =0检验的单位根检验检验的单位根检验t统计量允统计量允许扰动项存在一阶序列自相关。许扰动项存在一阶序列自相关。v（7.7）式中扩展的）式中扩展的DickeyFuller检验的渐近分检验的渐近分布同（布同（7.6）式中的）式中的DickeyFuller检验一样，使检验一样，使用相

44、同的临界值。用相同的临界值。11ttttxtxx v如果如果 t服从平稳的服从平稳的AR（p）过程，则在方程（）过程，则在方程（7.6）式的右边加上式的右边加上p项滞后项，即加上项滞后项，即加上 并检验并检验 x t-1 的系数是否为零。实际上我们并不知的系数是否为零。实际上我们并不知道道 t序列自相关数据生产过程，一般做法是引入序列自相关数据生产过程，一般做法是引入足够多期的足够多期的 xt 滞后以使得（滞后以使得（7.7）式中的）式中的 t不存不存在序列自相关。如果干扰项包含有移动平均在序列自相关。如果干扰项包含有移动平均（MA）项，那么就需要更多期滞后，因为一个）项，那么就需要更多期滞后

45、，因为一个MA过程可以看成是一个无穷阶自回归过程，具过程可以看成是一个无穷阶自回归过程，具体参见体参见Ng和和Perron（1995）关于截断滞后的）关于截断滞后的Monte Carlo模拟。模拟。12,tttpxxxv应用单位根检验的另外两个重要问题是：应用单位根检验的另外两个重要问题是： （i）若时间序列存在结构变动，如）若时间序列存在结构变动，如1973年的石油年的石油禁运，则较容易接受存在单位根的零假设（易犯禁运，则较容易接受存在单位根的零假设（易犯第二类错误），参见第二类错误），参见Perron（1989）。）。 （ii）若数据是季节调整的，也较容易接受存在单）若数据是季节调整的，也

46、较容易接受存在单位根检验的零假设，参见位根检验的零假设，参见Ghysels 和和Perron（1992）。出于这个原因，）。出于这个原因，Davidson 和和MacKninnon（1993）建议使用非季节调整的数）建议使用非季节调整的数据。据。v对存在趋势项和漂移项的消费序列做以下回归：对存在趋势项和漂移项的消费序列做以下回归： （7.8）括号内的数值为括号内的数值为t统计量。零假设为回归中统计量。零假设为回归中Ct-1 的的系数为零。表系数为零。表7.1给出了给出了DickeyFuller的的t统计量统计量（-0.42）以及相应的）以及相应的5%临界值（临界值（-3.5875）。表）。表7

47、.1为为Eviews运行结果。其中运行结果。其中TREND(1978)表示表示从从1978年开始的时间趋势。年开始的时间趋势。v由于所计算出的由于所计算出的t统计量没有超过相应的临界值，统计量没有超过相应的临界值，因此无法拒绝单位根存在的零假设。可以得到结因此无法拒绝单位根存在的零假设。可以得到结论，论， Ct是不平稳的。这也印证了我们在图是不平稳的。这也印证了我们在图7.2中所中所给出的给出的Ct 样本自相关图所得到的结果。样本自相关图所得到的结果。1( 0.94)(2.44)(0.42)789.47 278.630.014031ttCtC 残差项v考虑到扰动项可能存在序列自相关，我们把考虑

48、到扰动项可能存在序列自相关，我们把 Ct-1和和 Ct-2引入方程（引入方程（7.8）式中，我们可以得）式中，我们可以得到：到： （7.9）v由于由于Ct-1 系数的系数的t统计量仍然没有超过相应的统计量仍然没有超过相应的5临临界值（界值（-3.6032），因此我们在考虑扰动项二阶自），因此我们在考虑扰动项二阶自相关时仍无法拒绝相关时仍无法拒绝Ct 非平稳的零假设。非平稳的零假设。112( 1.19)(2.07)( 0.37)(5.38)( 2.85)951.38 220.740.0101.0120.571ttttCtCCC残差项v我们也可以检验其一阶差分序列是否平稳。我们也可以检验其一阶差分

49、序列是否平稳。令令 ，运行以下的回归：，运行以下的回归： （7.10）ttCC 1(1.09)( 0.22)431.66 0.020ttCC残差项1(1.07)( 3.65)281.39 0.731ttCC残差项表表7.1 Dickey-Fuller检验检验Null Hypothesis: CONSUMPTION has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Fixed)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.422328 0.9983T

50、est critical values:1% level-4.3393305% level-3.58752710% level-3.229230*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(CONSUMPTION)Method: Least SquaresSample (adjusted): 1979 2005Included observations: 27 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Erro

51、rt-StatisticProb. CONSUMPTION(-1)0.0140310.0332230.4223280.6765C-789.4701841.2434-0.9384560.3574TREND(1978)278.6287114.09852.4420030.0223R-squared0.743859 Mean dependent var3506.630Adjusted R-squared0.722514 S.D. dependent var2984.976S.E. of regression1572.395 Akaike info criterion17.66303Sum square

52、d resid59338198 Schwarz criterion17.80701Log likelihood-235.4509 F-statistic34.84918Durbin-Watson stat0.676174 Prob(F-statistic)0.000000v 系数的系数的t统计量为统计量为0.22，大于，大于5的显著性水的显著性水平平2.9810，因此我们无法拒绝一阶差分序列，因此我们无法拒绝一阶差分序列 单位根存在的假设。单位根存在的假设。 系数的系数的t统计量为统计量为3.65，小于小于5的显著性水平的显著性水平2.9862，也就是说，我们，也就是说，我们拒绝了二阶差分序列

53、拒绝了二阶差分序列 单位根存在的假设。这单位根存在的假设。这也印证了我们在图也印证了我们在图7.7和图和图7.8中所给出的中所给出的 Ct、2Ct 样本自相关图所得到的结果，于是可以得出样本自相关图所得到的结果，于是可以得出结论，结论， Ct 是是I（2）过程。）过程。1tCtC1tCtCv上述所有的单位根检验都是以序列非平稳作为零上述所有的单位根检验都是以序列非平稳作为零假设，而以序列平稳作为备择假设。由假设，而以序列平稳作为备择假设。由Kwaitowski等（等（1992）、）、Leybourne 和和McCabe（1994）给出的两个单位根检验以序列平稳作为）给出的两个单位根检验以序列平

54、稳作为零假设，而以序列非平稳作为备择假设。前者就零假设，而以序列非平稳作为备择假设。前者就是是KPSS检验，类似于检验，类似于DickeyFuller检验；后者检验；后者是是LeybourneMcCabe检验，类似于扩展的检验，类似于扩展的DickeyFuller检验。检验。7.2.2 趋势稳定和差分稳定趋势稳定和差分稳定v许多宏观经济数据都有以下两种上升趋势之一：许多宏观经济数据都有以下两种上升趋势之一：趋势稳定：趋势稳定： （7.11）差分稳定：差分稳定： （7.12）其中其中 t是稳定的。是稳定的。ttxt1tttxxv模型（模型（7.11）式包含一个确定性趋势和一个平稳）式包含一个确定

55、性趋势和一个平稳过程，过程， ，随，随t变化而变化。而模型（变化而变化。而模型（7.12）式是一个带漂移项的随机游走过程。式是一个带漂移项的随机游走过程。v(7.12)式中的位移参数式中的位移参数 和（和（7.11）式中的）式中的 参数参数作用相同，两者都使作用相同，两者都使 xt随时间推移而向上移动。随时间推移而向上移动。模型（模型（7.11）式的作用类似于在回归中引入时间）式的作用类似于在回归中引入时间趋势，使得回归变量去除趋势而变得平稳。只有趋势，使得回归变量去除趋势而变得平稳。只有当每个回归变量都服从式（当每个回归变量都服从式（7.11）式的过程时，）式的过程时，去除趋势才是有意义的。

56、去除趋势才是有意义的。 tE xtv此外，模型（此外，模型（7.12）式需要经过差分才能得到平）式需要经过差分才能得到平稳序列。去除趋势和差分法是使时间序列平稳的稳序列。去除趋势和差分法是使时间序列平稳的两种完全不同的方法。选择（两种完全不同的方法。选择（7.11）式或（）式或（7.12）式应基于单位根检验。关于这两个模型更多的理式应基于单位根检验。关于这两个模型更多的理论可参考论可参考Nelson和和Plosser（1982）以及）以及Stock和和Waston（1988）。）。vNelson和和Plosser对美国的所有宏观历史数据进行对美国的所有宏观历史数据进行了了DickeyFulle

57、r检验，发现除失业率外的所有时检验，发现除失业率外的所有时间序列都是差分稳定的。间序列都是差分稳定的。Plosser和和Schwert（1978）也认为分析大部分宏观时间序列时，最好先进行也认为分析大部分宏观时间序列时，最好先进行差分，而不应不作任何处理。差分，而不应不作任何处理。v原因是，如果这些序列是差分平稳的，那么对原原因是，如果这些序列是差分平稳的，那么对原数据回归所得到的统计量将不再适用，其分布发数据回归所得到的统计量将不再适用，其分布发生了变化。此外，如果原数据是趋势稳定的，那生了变化。此外，如果原数据是趋势稳定的，那么对模型差分后得到的误差项是移动平均形式的，么对模型差分后得到的

58、误差项是移动平均形式的，忽略该问题会使模型的估计量无效。忽略该问题会使模型的估计量无效。v需要强调的是，如果回归变量不平稳，则标准渐需要强调的是，如果回归变量不平稳，则标准渐近理论不再适用，而用这些变量回归得到的近理论不再适用，而用这些变量回归得到的t和和F统计量也不再服从标准分布，具体参见统计量也不再服从标准分布，具体参见Durlauf和和Phillips（1988）。）。vGranger和和Newbold（1974）探讨了对非平稳时间）探讨了对非平稳时间序列回归所产生的一些问题。他们指出，如果序列回归所产生的一些问题。他们指出，如果 xt和和 yt是相互独立的随机游走过程，将是相互独立的随

59、机游走过程，将 yt对对 xt回归，回归，应该会发现应该会发现yt 和和 xt间没有明显关系，也就是说，间没有明显关系，也就是说，估计回归方程估计回归方程 中的中的 ，估计值应该，估计值应该会接近于零且会接近于零且t统计量不显著。统计量不显著。tttyxv然而，实际情况并非如此，对容量为然而，实际情况并非如此，对容量为50的随机样的随机样本进行试验且重复本进行试验且重复100次，次，Granger和和Newbold发发现现|t| 的概率为的概率为23， 2|t|4 的概率为的概率为53。Granger和和Newbold（1974）称这）称这种现象为伪回归，因为回归所发现的显著关系实种现象为伪回

60、归，因为回归所发现的显著关系实际上并不存在。际上并不存在。v所以，当时间序列包括单位根时，回归要特别谨所以，当时间序列包括单位根时，回归要特别谨慎，尽管慎，尽管OLS回归可得到较高的回归可得到较高的R2 和显著的和显著的t统计统计量，但结果可能并无实际意义。量，但结果可能并无实际意义。vPhillips（1986）研究了伪回归的渐近性质，并肯）研究了伪回归的渐近性质，并肯定了上述结论。实际上，定了上述结论。实际上，Phillips证明了当证明了当 T时，对假设时，对假设H0:=0 检验的检验的t统计量依概率收敛于统计量依概率收敛于 。这意味着当。这意味着当 T时，时，t统计量拒绝原假设统计量拒