运动学习曲线所代表的意义

1、運動學習曲線所代表的意義以跳舞機運動為例陳秀惠ã本校體育學系助理教授摘 要本研究的目的在分析跳舞機運動的學習過程，以探討全身動作協調的學習行為。研究中以八名大學女生（平均年齡19.5歲）進行每天12次，共7天的跳舞機運動練習。將結果表現分數對練習次數作圖，再以對數函數和指數函數分別對這些學習曲線作適配，同時配合進步率的檢查來決定學習函數。研究結果顯示，以動作表現結果而言，跳舞機運動的學習行為是一個單一變化率的指數行為，這個行為代表系統正朝著固定點接近中。指數學習行為除了出現於表現結果曲線，也反應於系統的暖身效應中。以動力系統理論為根據來分析學習行為，使得學習曲線的解釋與應用有了理論基

2、礎，同時對於全身動作協調過程的探討也提供一個量化的方法。關鍵詞：動力系統、學習曲線、跳舞機運動運動學習曲線所代表的意義以跳舞機運動為例陳秀惠壹、研究背景練習是使表現趨向完美的不二法門。所以，不論是教學者、訓練人員或是學習者本身在學習過程中最為關切的問題之一就是：練習所帶來的效果如何？ 因此，將在練習時的表現對時間作圖的學習曲線，便成為學習過程中有關行為改變的重要的參考依據。 然而，就定義而言，學習是一個透過經驗或練習，造成行為上長久性改善的過程；而技能的純熟是來自內在、持續的變化所產生的外在表現（Magill, 1998）。 因此，許多運動學習的研究者認為，表現結果與練習次數或練習量的關係所作

3、成的圖或曲線，雖然記錄了練習的過程，卻不能完全代表學習（Schmidt & Lee, 1999）。這樣的論點除了定義上的考量，也部分來自於實驗設計之影響。例如，Schmidt & Lee(1999)就舉出了受試者間的差異、天花板效應以及不夠敏感的測量值等因素皆可能造成推論的誤差，凸顯出區分表現變項與學習變項的意義與必要性。透過學習曲線所呈現出的系統演進過程，在傳統的運動學習理論閉鎖環理論和基模理論中也未受到重視。例如，檢驗閉鎖環理論的研究中，實驗者操弄結果獲知的程度或延遲的時間以證明偵誤機制的存在（Schmidt & White, 1971），將練習的結果視為學習後必然

4、的產物。而在基模理論的實驗中，主要則是透過不定練習的安排來檢驗理論是否得到支持（Van Rossum,1990）；在此，遷移測驗或保留測驗結果的比較是研究者所重視的，相對之下每次練習後所產生的行為改變在這兩個理論中很少有討論的空間。 雖然暖身減低（Adams, 1961）或高原期等現象，是早就為研究者所熟悉的現象，但也一直沒有被當作是一個嚴肅的問題來探討（Adams, 1987）。 而在實際的學習情境中，指導者所關心如：需要多久的時間才能達到預定表現？為什麼認真的練習卻退步了？等由學習曲線所反映出的問題，在運動技能學習的研究領域中，又受限於理論和研究方法一直欠缺有系統的探討（Adams, 19

5、87）。 因此，若侷限於學習的定義是或技術上的因素而捨棄這個了解學習過程的途徑，那麼對於形成運動技能的過程之認識將不得其門而入，永遠停留在表現曲線或學習曲線等名稱界定問題之無謂爭議上。學習曲線的樣式很多，一般常見的有對數曲線（powerlaw曲線）、S型曲線和指數曲線（exponential曲線）等（Mazure & Hastie, 1978; Newell & Rosenbloom,1981; Newell, Liu & Mayer-Kress, 2001 ）。在眾多曲線中，以對數函數最為人所認同，甚至有研究者將它用來作為篩檢學習函數（Logan, 1988）的標準。

6、其基本的函數形式如公式一。Y = y0 + a N r(公式一)Y是表現結果，y0是一個常數，N是練習次數，r是改變率。當N等於1時，N r也等於1；這時y0 + a就是起始的表現值（A. Newell & Rosenbloom, 1981; Mayer, Newell, & Liu, 1998）。舉例而言，如果A生100公尺跑技巧的學習屬於對數曲線，如果他最快可以跑12秒，且在第一次練習時成績是14秒，其進步的空間就是2秒，隨著練習以練習次數0.1次方的改變率進步，經過1000次練習後的跑步的成績可以達13秒左右，他的學習曲線就如圖一所示。圖一：對數曲線而相對於對數曲線的是指

7、數曲線。其基本函數形式如公式二所示：Y=y0+a e -r (n+n0) (公式二)在這個函數中y0是漸近值，代表最佳表現；a是起始的表現；r 是進步率；n代表練習時間(或次數)。如果上述A 生的跑步學習過程屬於指數函數，則曲線就如圖二所示。與對數曲線不同的是，指數函數中的跑步成績在30次內就接近最佳表現值了。從這個例子中可以發現指數和對數行為各擁有不同的特性：指數曲線快速接近漸近值（asymptote）而對數曲線則緩慢但持續的下降；當然，更改進步率或最佳值等參數後也會到不同的差異現象。圖二：指數曲線另一種常見的曲線是S型曲線。在開始的時候行為幾乎沒有改善，接著突然有明顯的進步。以動力系統理論

8、觀點來看，系統的演進會趨向一個稱為固定點（fixed point）的穩定值，在固定點中的行為保持穩定狀態。當系統接近固定點時行為改變率會呈現出固定的情況，也就是指數函數所描述的行為。當這一個固定點因控制參數的改變(例如練習時間增加) ，使得系統產生型態的改變或固定點的穩定性動搖等質性變化時，系統便不再靠近固定點轉而離開它，這種現象稱為動力的分歧（bifurcation）(Garnet, 1997)。這種情況就像是在跑步機上進行走步的運動，當履帶的速度變快時，這個人的動作型態便由走變成跑了。再以騎腳踏車的距離為例，初學者因為還未掌握到正確的平衡型態，所以距離幾乎都是零，等到他學到如何平衡並且採踏

9、板後，騎車的距離便大增了。這種行為可以用公式三來表示：x(t) = ax(t) 1-x(t)(公式三)公式三中a是進步率，在這個例子中是，x(t)是每次的表現結果，t是練習次數。曲線如圖三所示。圖三：S型曲線雖然以對數曲線作為運動學習曲線獲得相當多的支持，但是以這個函數來作為決定其他形式的曲線是否可以被稱作學習的唯一依據之做法是值得商榷的(Chen, 2002)。早在1978年，Mazur & Hastie(1978)就指出各種學習函數都可以找得到符合的資料，而近年來，也陸續有研究者提出過去以群體或區組的方式將資料加以平均的做法容易使得結果偏向對數函數（Myung, Kim &

10、 Pitt, 2000）。而暖身效應（warm-up decrement）、噪音等過去被視為無意義的短暫行為改變，在近年來也有研究證實是具有學習意義的（Newell, Liu & Mayer, 2001）。因此，以往直接認為學習符合對數函數，完全不加以檢驗的做法有待改進。而就了解曲線所代表的學習過程的角度看，建構一個可以解釋學習過程的理論則更加顯得重要(Chen, 2002)。對於人類的運動學習，動力系統理論提出了一套理論架構來解釋過程中所產生的行為改變。根據動力系統理論，組成全部的各個子系統都有其變化的速率和時間刻度。多個子系統的時間刻度重疊或連續皆會造成表現符合對數型態時間序列的情

11、況。而指數曲線所表現的則是單一時間刻度的行為。動力分歧呈現出的特性之一便是無固定變化率，這個現象可以經由對數曲線反映出來（Newell, Liu & Mayer-Kress, 2001）。在學習的過程中，透過學習曲線來分析進步的情形，可以大略的認識學習過程中的行為。在過去區辨對數行為或指數行為的研究中，通常以函數適配的R-square值來決定行為應屬與哪一種函數。但是實際上，卻有不少的研究中出現兩者的適配結果相近的情形(Chen, 2002; Liu, Newell & Mayer-Kress, 2003 )。此外，所研究的動作也大多是簡單肢段的操作，少有涉及全身動作的檢測。L

12、iu, Newell & Mayer-Kress( 2003)以動力系統理論，針對時間刻度（學習改變率）所代表的意義，提出另一種檢驗學習函數的方法。他們將常見的學習函數以改變率來分類分成指數函數和對數函數兩類；指數函數是指固定的學習率，而在對數函數中學習率卻隨著練習時間而改變。如果將每次的進步率對時間作圖，在指數函數的學習行為中，我們會得到一條近乎水平的直線，而對數函數的學習行為中則會出現曲線。利用這種稱為每次改變率的檢驗方法，使學習函數的區辨得以更為正確且符合理論基礎。跳舞機運動(Konami Corporation, 1998)為風行一時的運動遊戲，在軟體的執行下，參與者配合畫面和

13、音樂節奏在一個接收踏板上作出各個方向和時宜的運動。本研究採用指數與對數兩種函數適配的方式來檢驗每次練習後的表現。從動力系統的觀點來看，這種包含多個子系統的全身性協調運動如果各自擁有不同的進步率，在整體上將出現對數曲線的特性，也就是進步率不固定的現象。而在行為表現上，早在19世紀，Kraeplelin等研究者就針對身體動作在剛開始進行時明顯的進步而後改善幅度漸緩的現象有系統的加以觀察。在眾多研究者中，以Thorndike對warm-up decrement的定義較為明確，他將暖身效應界定為在休息後表現效率的提昇。這裡的表現效率指的是，在休息後的前幾次的進步的幅度明顯的比尚未休息前還好。Iron的

14、實證研究中，也以休息後明顯進步的表現的斜率大於之後進步減緩的斜率作為warm-up decrement的證據，而這個方法也多為往後的研究者所採用（Adams,1961）。暖身效應在過去的研究中並未獲的重視，但這個發生於學習初期以及在過程中可能產生變化的現象，將會對整個學習曲線產生響，是探討運動學習過程時應該加以考慮的重要因素。貳、研究問題根據上述背景，本研究的問題為一. 跳舞機運動的學習屬於對數行為還是指數行為？二. 跳舞機運動學習過程是否出現暖身減緩現象？三. 跳舞機運動學習過程是否出現動力分歧現象？參、研究方法以八名大學女生(平均年齡18±0.5歲)為受試對象，她們的身體動作能力

15、正常且沒有從事跳舞機練習的經驗。實驗中，受試對象從事每天12次(每次時間為一分三十秒，中間休息三十秒)，共7天的跳舞機運動練習。在每次的練習中，受試對象站在感應墊上，同時面對電腦螢幕做好練習準備，接著配合軟體呈現練習畫面與音樂作動作。當畫面上的箭頭記號到達目標位置時就會發亮；這時，受試者必須同時踩在正確的位置上，遊戲軟體將依照受試者的腳踩踏墊的位置和時間的正確性給予完美、優良、好、差、失誤等五個層級的分數(圖四)。將前三者分別給予3,2,1的加權來計算該次試作的得分，加權得分的計算方式為：得分完美個數×3優良個數×2好個數×1；將加權得分除以總分即為表現結果得分。

16、 圖四 跳舞機實驗操作以每次試作總分進行非線性適配分析，再配合得分變化比率（時間刻度）的比較分析來決定描述跳舞機運動的學習函數。以公式一和修改自公式二的公式四作為適配的函數。Y=y0+a (1-e -r (n+n0) ) （公式四）另外，計算每次進步率（公式五），分析其斜率作為判定學習函數的另一個方式。進步率(Pn-Pn+1)÷(Pn-A) （公式五）Pn為第n次得分，Pn+1為第n+1次得分，A是最佳表現。在暖身效應現象的檢驗上，本研究採前三分之一的斜率與後三分之二的斜率做比較來決定是否出現暖身效應。而學習過程中是否出現動力分歧的現象則取決於表現曲線和實際動作的觀察。本研究所採用的

17、舞曲約可分為四個等級的難度，在第一級的難度中，動作方向規律，節拍比較慢（一拍一步）而且規律。在第二級難度中，方向雖然規律，但增加成為四個方向，節拍則不變。第三個難度在空間上為不規則四個方向的變化，半拍一步且有空拍的情形。到了第四級難度，時空間上的要求與第三級類似但是空拍出現的時機不規律。這四個等級的難度在每次舞曲中依固定順序出現，在第一至第七個八拍中難度約在第一至第二級之間，到了第八個八拍時難度三出現了，約到了十三個八拍時又回到較簡單的難度二，到第十五個八拍又進入難度四，從第十六到二十三個八拍難度恢復簡單的二級，在結束前的第二十四個八拍又出現難度四級然後以簡單的難度二結束，全曲共有二十五個八拍

18、。研究中所使用的踏墊經過測試在一致性及準確性皆上達.95以上。肆、結果與討論一、結果（一）表現結果曲線表現得分與練習次數的關係如圖五所示。整體看來隨著練習表現有明顯的進步，尤其是在前兩天的練習中，每位受試者都有明顯的進步。隨後的幾天中，進步的幅度會緩和下來，有些人的進步情況會持平然後再有大幅度的進步，如受試對象1、2、6、7、8等四人的曲線。以二因子重複量數變異數分析後，在練習天數這個變項中有顯著的效果(F(6,516)=485.16,)P.001。圖五表現結果得分曲線與適配結果。實線為對數函數，虛線為指數函數。受試對象在七天的表現得分與練習次數作圖後適配的結果如表一所示。將全體平均分數作圖的

19、團體曲線都比個人曲線有較高的r-square值。而個人學習曲線中可以看出兩種函數的適配出的r-square值皆相當接近，所得出的參數除了編號1,5,7, 4的受試對象有較不同的的學習率(前三者較快,末者較慢)和y0, a 值外，其餘四名都很接近。表一 跳舞機學習表現分數的平均數和標準差受試對象編號最小值最大值平均數標準差12345678另外，把個人每天的學習曲線適配後得到表二的結果。雖然兩種函數在r-square值上並無顯著的差異( t(55)=-1.061) ，但指數函數似乎有比較好的適配值。以公式五求得受試對象在整個學習過程中的每次改變率來作圖，其斜率與0作t考驗之結果為t(7)=,p=.

20、569（雙尾），未達顯著的差異，表示曲線很接近水平線。表二 兩種函數適配結果函數受試者編號Y=A-B e r (n+n0)Y =a + b N- rr_squareABr_squareab12345678（二）暖身效應暖身效應反映於個人每天的學習率中，從表二中可以發現個人的學習率每天都有相當大的差異。將每日練習的前四次與後八次的斜率加以整理作進一步的分析如表三。整體而言，前面四次斜率顯著的大於後八次的斜率，統計結果為t(47)=3.4, p=.001（雙尾），出現明顯的暖身效應。而斜率減低的情形與表現曲線所反應出來的行為頗為一致，當結果表現呈現較為穩定時，斜率就會降低，而在學習的初期和表現開始

21、出現不穩定時，斜率又會隨著升高。表三每日練習前四次試作與後八次試作斜率練習天數受試者編號二三四五六七前4後8前4後8前4後8前4後8前4後8前4後812345-36178（三）動作型態在四個等級的難度中，受試對象的動作型態之變化大致以規律節拍、方向的腳眼協調最先學會。也就是說，能夠隨著拍踩到正確的踏墊位置。在動作的型態方面，則採取踩步或點踏步等兩類方式。而在面臨難度高時，一開始以雙腳上下快跳的方式因應，熟練後則會試圖配合節拍，採取忽略半拍出現的箭頭只抓前後拍的策略。在方向的轉換上，隨著練習，踩步方式的受試對象會用轉身、流暢的方式來跳；而墊步式的人則以較輕快的併步方式來做轉換方向的動作。大部分的

22、人經過84次的練習，在前兩個難度上皆能完全掌握，而後兩個難度則只有分數較高的3號和7號等兩人做得到。以踩步的方式來跳的人的表現結果曲線上可以發現較為明顯的停頓後或退步後再大幅度進步的曲線，如1,2,6,7,8號受試對象的曲線。比較明顯的進步曲線來自於對簡單難度的掌握，而在難度三附近時，拿到的分數就很少，甚至為了某些新的嘗試動作而使得一些低難度的分數也錯過了，反映於學習曲線上的就是持平或是退步的情形，而這種現象在採用併步者的動作上比較少出現。二、討論（一）跳舞機運動的學習函數以學習曲線的適配上來看，對數和指數兩種模式都可能是描述實驗技能的函數，但是透過每次試作改變比率的分析則發現指數函數比較適合

23、用來描述跳舞機運動的學習行為。另外，對數函數的適配結果都呈現正值，這代表所描述的行為並無漸進值，也就是說只要不斷的練習，表現將會無止盡的進步，這與人類的動作學習表現有所出入。從適配的結果與每次的進步率之分析結果來看，跳舞機運動學習應屬於指數行為，與本研究的先前假設不符。換言之，本研究中的受試對象在七天的練習過程中，是以固定的進步比率來學習跳舞機運動技能的。根據動力系統理論，單一時間刻度的學習行為代表系統正處於固定點附近（Newell, Liu & Mayer, 2001）。跳舞機運動中在不同的位置踩踏墊的動作要求雖然需透過全身肢段的協調，但是並無特定的動作型態之限制，只要使原有的協調結

24、構配合音樂節拍踩到正確位置就可以得分。從結果表現分數所反映出的能力來看，這種透過原有腳眼協調的純熟就能符合動作要求的技能，其學習過程符合將動作結果映像（map）至一個吸引子的某一特定的平衡區域中的函數行為，是一種單一時間刻度的指數函數的行為（Kaplan & Glass,1995）。Liu, Mayer & Newell（2002）指出，在短時間的練習下因為沒有系統的重整下而出現的指數行為，在短期間的學習過程中因為沒有發生系統的重整而比較容易觀察到，但如果把練習時間延長，則可能因動作景觀的重整而出現對數行為。而在本研究中，特地將其中三名受試對象（編號4,5,6）的練習時間與以延

25、長至十二天後，表現分數曲線的適配結果還是符合指數行為。可見，雖然增加的練習量不見得足夠使景觀重整的現象出現，但是可以肯定的是結果分數所反應出來的是原有的動作協調的熟練過程，因此出現指數的行為。（二）暖身效應從動力系統的觀點來看，在表現曲線中十分明顯的暖身效應所呈現的是系統的回覆動力（relaxation dynamic）。當穩定的動作型態受到阻礙（休息）後，會產生一些波動。而當阻礙移除後需要一些時間來回復，這段時間稱為回復時間（relaxation time），所以就出現了曲線上的暖身效應（Wallace,1996）。就理論上而言，如果系統處於較為穩定的狀態，回覆會比較快；反之，慢的回覆動作代

26、表著系統的不穩定狀態。本研究中的表現結果曲線和每日前四次表現的斜率趨勢存在著一致性，當結果表現呈現較為平穩的曲線時，斜率就會降低；而在練習的初期或曲線的變異增大時，斜率則會升高。降低的斜率也為指數行為提供了證據。（三）動力分歧現象動力分歧的現象從結果分數的曲線來看並不明顯，然而從動作型態來看則有明顯的不同。對於動作型態的改變，傳統的研究大多以主觀評分的方式來進行，雖然能將型態改變的數字化，但是這些概括性的數字很難用來分析造成動作型態的各個肢段系統的變化情形。在運動學分析技術的進步後，對於動作型態的改變逐漸能以影片分析或者光電系統(optoelectric system) 的方式來擷取運動學資料

27、來加以分析。而這也是往後的研究全身複雜肢段的重要資料收集過程。五、結論與建議以動作表現結果而言，本研究中的跳舞機運動的學習行為是一個單一變化率的指數行為，反應出原有協調結構的熟練過程；指數學習行為除了出現於表現結果曲線，也反應於系統的暖身效應中。為了進一步了解動作型態，以及探討系統中所存在的動力分歧現象，對於多肢段複雜動作的探討，應該過多種測量途徑來分析，尤其是肢段的運動學資料的蒐集。參考文獻Adams, J. A. (1961). Warm-up decrement in performance on the pursuit rotor. American Journal of Psycho

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