直线与圆锥曲线相交(一)

1、直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。题型一：条件和结论可以直接或经过转化后可用两根之和与两根之积来处理1. 福建 直线，为平面上的动点，F(1,0)过作直线 的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值；本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力满分1

2、4分PBQMFOAxy解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，2所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即2. (全国卷)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解：设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在椭

3、圆上，即由（1）知又，代入得故为定值，定值为1.3.如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、Bl绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以, 即1 因此，椭圆方程为()设()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为：整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即

4、恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,解得a>或a<(舍去)，即a>,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|

5、2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2

6、)+ k2=(1+k2).由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；当a2- a2 b2+b2=0时，a=;当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）解法1中的转化才是亮点。4. 2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于

7、两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知设是的中点，则，由题意可知即即而所以即又因为且所以。所以的取值范围是。原点在以线段为直径的圆内，也可以像第3题一样处理，利用且不反向。5. （2010浙江文数）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点F在直线上。（I）若m=2，求抛物线C的方程（

8、II）设直线与抛物线C交于A、B，A,的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。也可以用第3题的思路6.（2009全国卷）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得（1）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即。解这个方程组得.（II） 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法1：由三次均值

9、有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为7. (2009湖北卷理)（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。 （）当时，求证：；（）记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

10、解：依题意，可设直线MN的方程为，则有21世纪教育网 由消去x可得 从而有 于是 又由，可得 （）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时 可得证法1： 21世纪教育网 证法2： ()存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有 将、代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立 证法2：如图2，连接,则由可得,所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O又设则8. （2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分) 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（）证明：点F在直线BD上；（）设，求的内切圆M的方程 .9. （2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.用焦半径不行吗？10.（2010山东文数