平面向量的数量积

1、三好高中生(ID： sanhao-youke),为高中生提供名师公开课和精品资料。平面向量的数量积【学习目标】1 .理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2 .了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3 .掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4 .能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1 .平面向量数量积(内积)的定义r rr. r r rr r已知两个非零向量 a与b,它们的夹角是，则数量a|b cos叫a与b的数量积，记作 a b ,即有a b a|b cos 0.并规定0与任何向量的数量积为 0.rr r2

2、.一向量在另一向量方向上的投影：b cos叫做向量b在a方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.r rr r r r(2) (3)所不分别是两向量rOB |b| cos ,它的意义遑一/一 oZj >A事实上，当为锐角时，当900时，由于cosa,b夹角为锐角、钝角、直角时向量 b在向量a方向上的投影的情形，其中rr rumrumr a£,向量 b在向量a方向上的投影是向量 。目的数量，即 OB1 OB, -a-.|a|K- U由于cos 0,所以OB1 0；当 为钝角时，由于c

3、os 0,所以OB1 0；0,所以OB1 0,此时。与B1重合；当00时，由于cos 1 ,所以(2)两个向量的数量积称为内积，写成 数量的积，书写日要严格区分.符号“ (3)在实数中，若a 0,且a brb 0.因为其中cos后可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当 r时投影为0;当 =0时投影为b ;当要点二：平面向量数量积的几何意义 r rrr ra b；今后要学到两个向量的外积 a b,而a b是两个向量的”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替.rr r0 ,则b 0;但是在数量积中，若 a 0,且a b 0 ,不能推出为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当

4、为直角=180时投影为 b .rrr rb表示a的长度|a|与b在a方向上的投影 b cos的乘积，这是 a b的几何意义三好高中生，学习方法/提分干货/精品课程/考试真题，你需要的这里都有!OBi |b|;当 1800时，由于 cos1 ,所以OB要点三：平面向量数量积的性质设a与b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.r1. er2. a3. 当a与b同向时,cosr ra与b反向时,rr rb .特别的a aa2或4. cosr r a b abr r5. a b要点四:向量数量积的运算律r1 .交换律：a2 .数乘结合律:3 .分配律:要点诠释:1.已知实数a、b、c(bw0),贝U

5、 ab=bcr a=c.但是ar br r a c;2.在实数中,r(a b)c=a(b c),但是 ar显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与ra共线的向量，而一r r般a与c不共线.要点五：向量数量积的坐标表示r1 .已知两个非零向量a(X,y1)， b (X2,、2), a b x也 yy?rrr 2 .设 a (x, y),则 |a| x y 或 |a| Jx2 y2r3 .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1, y1)、 (x2, y2),那么r| a | J(x1 x2)(y1 y2)(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平

6、行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件a/b a b(b 0)(为必)(x2,yz)(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件r r r ra b a b 0xx2 yly2 0求夹角问题.r rr r r r由向量a , b数量积可知，若它们的夹角为，则a b | a |b | cosr r利用 cos abr、X2 yiy2a| bXi2 y； . X22 2,(X2 X1)2 (y2 y1)2r ,-TT uuuu(4)求线段的长度，可以利用 a a或PP2【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念r r r例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为() ab

7、= ±|a|-|b| a/b;a、b 反向 a - b =| a | |b |； a，b |a + b |=|a b |； r rr r r r|a|=|b|a - c|=|b - c|.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】(1) : a b =|a | |b|cos ,由ab = ±|a| |b及a、b为非零向量可得cos = ± 1,， =0 r r或兀，a / b ,且以上各步均可逆，故叙述是正确的.r rr rr r r rr r(2)若a、b反向，则a、b的夹角为兀，a b =| a | | b |cos兀二一| a | |b

8、 |且以上各步均可逆，故 叙述是正确的.r rr rr r(3)当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a+b|=|ab|.反过来，若|a+b|=|ab|,则 r rr r以a、b为邻边的四边形为矩形，a ± b ,故叙述是正确的.r r r rr rr r r rr r r r(4)当|a|二|b|,但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|w|b c|,反过来的由|a -c|=| b -c| r r也推不出|a |=|b |.故叙述是不正确的.综上所述，在四个叙述中，前 3个是正确的

9、，而第 4个是不正确 的.【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.举一反三： r r r r r 【变式1】如果a - b = a , c,且aw。，那么()r r r r r r r r rA. b = c B.b= c C. b ± c D. b、c在a方向上的投影相等【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例 2.已知 |a |=4, |b |=5,当(1)a / b , (2) a ± b , (3) a与b的夹角为30°时，分别求数量积.【思路点拨】 已知向量|a|与|b|,求a b,只需

10、确定其夹角【解析】r r(1)当a / b时，有 =0°和 =180°两种可能.r r若a与b同向，则r r r=0° , a - b =| a | |b|cos0° =4x5x1=20；r r若a与b反向，则=180° , a - b=|a| |b |cos180° =4x 5x (1)= 20.r r(2)当 a，b 时,=90 ， a - b =| a|b |cos90° =0.(3)当a与b的夹角为30°时,a - b 二| |b |cos30。=4X 5X 21073 .r r【总结升华】(1)在表示向量

11、的数量积时，a与b之间必须用实心圆”来连接，而不能用“x”连接，也不能省略.(2)求平面向量数量积的步骤是：求 a与b的夹角 ，C0。，180° .分别求A|和|b|.r求它们的数量积，即 ar r r, b =| a | |b | - cosrr r rb=,求(a + b ) a .举一反三:【变式1】已知|a |=5, |b |=4, a ,【答案】35【解析】r r| a |b | cos =35r r求b在a方向上的投影;r r r r rr rr 2(a + b) a = aa a b |a |例 3. (1)若 |a|=4, a b=6,r rr r(2)已知|a|=6

12、, e为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出a在e方向上的正投影，并画图说明.3【答案】(1) 3 (2)略2【解析】(1) -1 a - b=|a|b|cos =6,又|a|=4,，3- 4|b |cos =6, |b|cos-.(2) a在e方向上的投影为| a | cos .r rr如上图所示，当=60°时，a在e方向上的正投影的数量为|acos60° =3；当=90°时，a在士方向上的投影的数量为|a| - cos90° =0；当=120°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|

13、- cos120° =-3.r rr r【总结升华】要注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是不同的.类型三：平面向量模的问题例4. （2015春 甘肃临夏州期末）已知向量rb的夹角为60°r|a|r2, |b| 1,r r(2)求 |a b|.J 二(1) 1； (2) |a b | 77r r(1) a br r| a |b | cos60r(2) |ar 2 rb|2 (ab)2r2 ar 2ar2 b=4+2 x1+1=7 r r 所以|a b| 7举一反三：【高清课堂：平面向量的数量积395485 例 4】 r【变式1】已知|a | 2,| b| 5,a b

14、r b|,|,35,23【解析】r r 2(a b)2r2 ar r r22ab b 4 25r35, |ar b|, 35r同理，| ar b|【变式2】（2016广西钦州月考）设向量 a,b满足|a|b| 1 及 13ar2b |r r（1）求a, b的夹角大小;r r(2)求13a b|的值.【答案】（1） ; （2） J13.3【解析】（1）设a与b夹角为以向量a,b满足 |a| |b| 1 及13ar2 9ar 2 r r 4b 12a b 7 ,9X1+4X1 12X 1 x 1 X cos Q =711 cos 一 .2r(2) |3ar b|F2 F2 rT9ab6a b 9

15、11 cos J133类型四：向量垂直（或夹角）问题r r例5.已知a, b是两个非零向量，同时满足r r r rbl ,求a与a b的夹角.【思路点拨】利用cos【解析】法一:a2两边平方得r ab2,r rX1X22a则cosa (a b)Tryfr-ra r ar bL br 2 a-ra.,-3 a法二:数形结合法如图,a b构成一个等边三角形，向量yy2=求出两个向量的夹角. 2y2是向量a与向量b夹角的角平分线，所以向量 a与向量r r r故a与a b的夹角为30° .所成的夹角为30° .【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法 举一

16、反三：【变式1 （2015山东高密市月考）已知 |a| 4, |b| 3, (2a 3b) (2a b) 61 ,r r（1）求a与b的夹角r(1,2),且 ar c,=120° ; (2),8、,5 4-5. 8 54、5、(丁7 或丁 )5555r【解析】(1) . (2ar r3b) (2 ar2 r rb) 4a 4a br2 3b4 163 cos2 =120° .r(2)设 a2 y2y8.5"V4558/5"V4、55所以,a、b都是非零向量，且8.55a +3b 与 7a 5b 垂直,a 4b 与 7a 2b 垂直.>r ra与b的

17、夹【思路点拨】由题意知，a 3b 7a 5b0,r ra 4b7a 2b =0,解得 |a |=|b |【解析】: a +3b与7a 5b垂直, (a+3b) - (7a -5b)=0.r r r ra 4b与 7a 2b垂直,(a 4 b) (7a 2 b )=0.2 7a 于是有r27ar 16ar 30ar brbr2 15br2 8b由一得r2a b = b2.将代入得a2=b2,cosra-b|a|b|2|b|2,-0° &< 180° ,=60°【总结升华】 正确理解和把握向量数量积性质的运用,以及向量夹角的范围，由r2a r rb=b2

18、,不能rb垂直，则得出2 a = b ,同样由a 2= b2,也不能得出a = b或a =- b -【变式1 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向 a+b与向量kak=.【答案】1r r r r r r r r r r rr r【变式2】设非零向量a,b,c,d ,满足d (ags)b (a$)c,求证：a dr r r r r r r r r r r r r r r r r【证明】Qagd ad(a5)b (ago)c (a5)(ag) (ago)cga/ r、，r .r、 / r、，r J、 (agc)(agb) (agc)(a*)类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7.已

19、知向量a与b同向，b=（1,2）, a - b=i0.r（1）求向量a的坐标；rr r r（2）若 c=（2, 1）.求（b c） a .【解析】（1） a与b同向，又b=（1, 2）,r r r，设 a = b,贝 Ua=（, 2 ）.r r又 a - b=10,1 +2 - 2 =10,解得 =2>0.r rr=2符合a与b同向的条件，a=（2,r rr r r r(2) .1 b - c=1 x 2+2 X (1)=0, /. ( b , c) , a = 0 .【总结升华】（1）注意本题由a与b共线且同向的设法及验证;（2）通过本题可以看出r r r r r r(b c)a=0,

20、(a b).C=10X (2, 1) = (20, 10),显然(b . c) . arc,即向量运算结合律一般不成立.举一反三:r【变式1】已知向量a（耳 1）和b （i,T3）rr , r - c ,试求模为V2的向重c的坐标.设 c= (x, y),贝U a c(、3, 1) (x,y) 、,3x y,b c (1,3)(x,y)x x/3y ,3 123 12_3 1.r r r r r ,3x y x、.3y .一 x 2-x由a-c=b-c及|c| 72,得 yy ,解得 2 或x2 y2 23 1y 丁 yr 3 1 '3 1 Tr .3 1.3 1所以c ,或c ,22

21、22【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的 模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标 运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解.例 8.已知三个点 A (2, 1), B (3, 2), D ( 1, 4).(1)求证：AB XAD ;(2)要使四边形 ABCD为矩形，求点 C的坐标以及矩形 ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.利用向【思路点拨】(1)先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明.(r r量相等求出 C点的坐标，利用 cos,1a, br, dx1x2-y1y2求出两条对角线的夹角.a| b,x； y；国 y；4【答案】(1)略(2)5【解析】(1) . A (2, 1), B (3, 2), D (1, 4),uuruuur AB (1,1), AD ( 3,3).uuu umr又. AB AD 1(3) 13 0 ,uuu uuurAB AD ,即 AB ±AD .uuruuu(2