高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练

1、高一数学正、弦定理知识点梳理和分层训练班级姓名bsin Bc2r或变形：a：b： c sinA:sin B:sin C .sin Ccos A2 a2.余弦定理：b22 cb22 ab22 c2 c2 a2bccos A2accosB2ba cosC3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、cosBcosC,222b c a2bc22. 2a c b2ac,222b a c2ab已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4 .判定三角形形状时，可利用正余弦定

2、理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5 .解题中利用 ABC中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin(A B) sinC, cos(A B) cosC, tan(A B) tan C,.A B CAB. Csin cos ,cos sin.2222表一：已知条件定理一般解法应用一边和两角正弦由A+B+C=180,求角A,由正弦定理求出 b与（如 a、B、C）定理c,在启 解时有一解。两边和一边的对角（如 a、b、A）正弦定理具体情况见表二两边和夹角余弦由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所（如 a、b、C）定理对的角，再由A+B+C=10 .求出另一

3、角，在有解时有一解。三边余弦由余弦定理求出角 A B,再利用A+B+C=180 ,（如 a、b、c）定理求出角C在有解时只有一解。表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解基础达标:1 .在 ABC中，a=18, b=24, / A=45° ,此三角形解的情况为A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D.无法确定2 .在 ABC中，若a 2,b 2”,c 娓”，则/A的度数是A. 3

4、0 ° B. 45° C. 60° D. 75°3 . ABC中，若 a2=b2+c2+bc,则/ A=A. 60 B. 45C. 120D. 304 .边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为A. 90B. 120° C. 135° D. 1505 .在 ABC中，已知 a 73, b 72, B=45 .求 A、C及 c.6 .在 ABC 中，若 B 45°, c 2近，b 443,求 A. 37 .在 ABC 中，若 a2 b2 c2 bc ,求 A.能力提升：8 .锐角 ABC中，若C=2B则工的取值范围是A.

5、(0 , 2) B. (<2,2) C. (V2J3) D. (V3,2)9 .已知在 ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4 ，那么 cosC 的值为A.B.1C.10 .等腰三角形底边长为6, 一条腰长12,则它的外接圆半径为A.行 B. 4、. 3 C.6.311 .在 ABC中，已知三边a、b、c满足 a b c a b c 3ab,则C =A. 15oB . 30oC45oD . 60o12.钝角 ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（A 、1、2、3 B 、2、3、4 C 、3、4、5 D 、4、5、613.在 ABC中,BC=3 AB=2 snC - (V6

6、 1),则/ A=14.在 ABC中，/ A=60° ,15.在 ABC中，/ B=120° ,sin B 5b=1, c=4,贝Ua一b-c sin A sin B sin CsinA:sinC=3:5 , b=14,则 a, c 长为综合探究:16.已知钝角 ABC的三边为:a k, bk 2, c k 4,求实数k的取值范围.17.在ABC中，角A、B、C的对边分别为2卜2a、b、c,证明：-2一 csin(A B)sin C13周周练参考答案:基础达标:1.B2.A3.C4.B5.解析：解法1:由正弦定理得：sin Aasin Bb3sin45 .3A=60 或 1

7、20当 / A=60 时，/ C=75 ,bsin Csin B、2 sin 75sin 45当 / A=120 时，/ C=15 ,bsin Csin B，2sin15sin 456. t b-,sin B sin C,八 csin B 2、2 sin 45o一 sinC ,/ 0 C 180°,C 60o或 C 120o 当 C 60。时，A 75。；当 C 120。时，A 15。，;所以A 75。或A 15。.7. bc b2 c2 a2 ,由余弦定理的推论得:cqsA2bc 0 A 180。， A 60。.能力提升:8.C9.A10.C11.D.由 abcabc3ab,得 a

8、2 b2 2ab c2 3ab由余弦定理的推论得:cQSC2ab 0 C 180。，C 60Q.12.B;只需要判定最大角的余弦值的符号即可。选项A不能构成三角形；22 32 421选项B中取大角的余弦值为 - 0,故该二角形为钝角二角形;2 2 34222选项C中最大角的余弦值为：3 4 5 0,故该三角形为直角三角形；2 4 3.22 c24选项D中最大角的余弦值为4 5 61 0,故该三角形为锐角三角形2 4 5813.12014. 2 .3915.6,103综合探究：16. 1 ABC 中边 a k,bk2,ck4,a k 0,且边c最长,ABC为钝角三角形.二当C为钝角时2. 22a b c一 cosC 0,2ab.a2.a b / 2sin B A sin C 2sin B cos A21 cos A csin Csin Csin A cos B sin B cos A sin(A B)sin C证法三：也可以从右边证到左边，过程略b2 c20,即 a2b2k2 (k 2)2 (k 4)2,解得2 k 6,又由三角形两边之和大于第三边：k (k 2) k 4,得到k 2,故实数k的取值范围：2 k 6.17.证法一：由正弦定理得：2sin(B A)sin(B