【线性代数教学资料】线性代数（5）

1、整理课件整理课件第 五 次 课v2.3 逆矩阵整理课件v目的要求：v1、了解逆矩阵的定义，掌握伴 随矩阵求逆法v2、讲解习题二整理课件v一、逆矩阵的定义 若方阵A、B满足等式AB=BA=I，则称矩阵A（或B）可逆，B是A（或A是B）的逆矩阵。记为A1B（或B1A）显然AA1A1AIv1、定义：整理课件v注意：（1）A、B、I必为同阶方阵。（2）不是方阵必不可逆。（3）A、B的地位对等，即A、B互为逆矩阵。整理课件v例1：0221 A设4223BBAAB则v因此，不能判断A、B是否可逆。I466742230221整理课件v例2：121011322A设461351341B4613513411210

2、11322AB则100010001整理课件v故A可逆。121011322461351341BAI100010001BAAB461351341BA1100010001整理课件v例3：单位矩阵可逆，且I-1=Iv例4：n阶零方阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用定义证）v性质1：若A可逆，则A的逆阵是唯一的这是因为对于任意n阶方阵B有OB=BO=0I整理课件v证明：设-1 AB则BA的逆矩阵是唯一的=BA =I=AC=CA=BI =B(AC)=(BA)C =IC =C又设-1 =C 整理课件v性质2：若A可逆，则A的逆阵也可逆，且(-1 )-1Av性质3：若A可逆，则A的转置T也可逆，且 (T )-1=

3、 (-1 )Tv证明：T(-1 )T(T )-1= (-1)T= (-1)T=IT=I整理课件v性质4：若A,B可逆，则AB也可逆，且(A B )-1B -1 A -1v证明：(AB)(B-1A-1)=AIA-1 (AB)-1= B -1 A -1v由性质可推广到：若A1，A2，,Ak为同阶可逆矩阵11121k1k21AAAAAA则= A(B B -1 ) A -1=A A -1=I整理课件v性质5：11AA，A则可逆若v性质6：11Ak1kA,)0k(kA，A且也可逆则可逆若v证明：1Ak1kA1AAk1kI整理课件v性质7：CB,ACAB,A,可得则由可逆即可逆矩阵满足消去律v证明：ACA

4、B由存在可逆1，AAv两边左乘A-1ACAABA11ICIBCB 整理课件v注意：111BABA 可逆矩阵的乘积、数量阵乘积都可逆； 但可逆矩阵的和差不一定可逆，即使可逆，在一般情况下，整理课件v例5：1001A1001B2002C但均可逆,C,B,A00000BA不可逆3003CA可逆，但I23CAI31CA111整理课件v例6：3120132111BA已知XBXAA求可逆且,v解：1112A1BXA 方程整理课件v 若不知道A是否可逆或不知道A-1是什么？怎么办？1A两边右乘1112312013BAX1212225整理课件v三、伴随矩阵求逆法1A153132543A的逆v（一）我们来看一个

5、实例v求：整理课件 ijbB 设有方阵v解：即使得IAB 100010001bbbbbbbbb153132543333231232221131211100010001bb5b3bb5b3bb5b3bb3b2bb3b2bb3b2b5b4b3b5b4b3b5b4b3332313322212312111332313322212312111332313322212312111整理课件v 由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：0bb5b30bb3b21b5b4b33121113121113121110531320543322212322212322212bbbbbbbbb1bb5b30bb3b20b

6、5b4b3332313332313332313（2）（1）（3）整理课件v用克莱姆法则，得第一个方程组的解：:)3(),2(),1 (的系数行列式为方程组153132543AA150130541b11801AA11A1513111整理课件A103102513b215A053032143b31子式中第一行元素的代数余为行列式其中AA,A,A131211A1312121AA12A53321311AA13整理课件A150131540b12A1554) 1(12AA2129A103112503b22A1353AA2218A053132043b32A5343) 1(32AA233整理课件v同理：29AA

7、b2112182222AAb32323AAb式第二行元素的代数余子中为行列式 AAAA232221,整理课件A151130540b13A113102503b23A153032043b33A1354) 1(13AA3111A1253) 1(23AA327A3243) 1(33AA331整理课件v同理：11AAb31137AAb32231AAb3333子式第三行各元素的代数余中为行列式 AA,A,A333231整理课件AAAAAAAAAAAAAAAAAAbbbbbbbbbA3323132322123121113332312322211312111332313232212312111AAAAAAAA

8、AA1AA1131718511298整理课件AAAAAAAAAAAAAAAAAAbbbbbbbbbA3323132322123121113332312322211312111332313232212312111AAAAAAAAAA1AA1根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵A可逆的条可逆的条件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。整理课件v（二）定义：的代数余子式为元素设ijijnnijaA,aATijAA则称TnnnnnnAAAAAAAAA212222111211nnn2n12n22121n2111AAAAAAAAA的伴

9、随矩阵为 A整理课件v例7：AdcbaA的伴随矩阵求二阶方阵v解：dd1A1111cc1A2112bb1A1221aa1A2222acbdAAAAA22122111整理课件v可得如下口决： 主对角元互换，副（次）对角反号（仅限于二阶方阵求伴随矩阵） 求二阶方阵A的伴随矩阵A的方法是把A的主对角元互换，不改变符号，次对角元改变符号，不改变位置整理课件v（三）定理：AA1A,A, 0AAn1且有是可逆矩阵则的行列式阶方阵如果v证明：有意义AA10Annn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211AAAAAAAAA aaaaaaaaaAA整理课件nnnn2n2n1n1n2nn

10、22n221n21nnn12n121n11n2nn222n211nn2n222222121n2n122122111n1nn122n111nn1n212221121n1n112121111AaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaA000A000A100010001AIAAAA1AA1A于是IIAA1整理课件v同理：IAAA1AA1A1IAAAAAv由此得到两个重要结论：)(A、1一可逆的充分必要条件方阵又称非奇异可逆此时称,A, 0A 又称奇异矩阵不可逆称,A, 0A :、2求逆矩阵的第一种方法伴随矩阵法AA1A1整理课件v例8

11、：753431A) 1 ( 判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出逆矩阵412513412A)2(221021132A)3(整理课件v解：不可逆不是方阵,A) 1 (不可逆方阵AA. 01210810128)2(06221021132) 3(整理课件422021A1111221011A2112421211A3113422131A1221521121A2222721321A3223整理课件202131A1331101121A2332121321A33333323133222123121111AAAAAAAAA61A616732616531313232整理课件v例9：d0000c0000b0000aA设

12、1A求v解：abcddcbaA000000000000不可逆当A, 0abcdA整理课件0abcdA当AA1A,A1且可逆abddbaA000000) 1(3333abccbaA000000) 1(4444bcddcbA000000) 1(1111acddcaA000000) 1(2222整理课件v问题：abc0000abd0000acd0000bcdabcd1A1d10000c10000b10000a1一般对角矩阵可逆的充分必要条件是什么？若A可逆，则A-1=?n21aaaA整理课件v例10：2513A已知312013B132321CCAYBXA且YX、求整理课件v解：012513A且可逆故

13、，A3512A3512AA1A1整理课件3512312013X81361001等式两端右乘A-1BXA 从而整理课件v等式两端左乘A-1CAY 对于1323213512Y1211510整理课件性质8：阶方阵均为若nB,A都可逆与则若BA, IABABBA11且整理课件v证明：IAB 由两边取行列式IAB 01BA可逆A0A 可逆B0B 整理课件v两边左乘A-1：IAABA11IABAA111AIB1AB整理课件v两边右乘B-1：11IBABB11IBBBA1BA整理课件v性质9：A1A1v证明：IAA1v两边取行列式IAA11AA1A1A1整理课件v性质10：若n阶方阵A可逆，则1nAAv两边

14、取行列式IAAA 由IAAAIAAAn1AAAn1nAA0AA可逆，证明： 整理课件v例11：A,A求已知若v解：IAAA 1nAA两边取行列式nAAA整理课件可逆阶矩阵：已知例An12求证：且可逆,A11AAv证明：IAAA 0A,A可逆IAAA 对A两边同除以IAAA1整理课件v对 两边取行列式可知：可逆A0AIAAA 1)(AIAAA两边右乘11)()(AIAAAA整理课件AA1A1IAAA111又AAAAA11111AA整理课件v 例13 证明：AAA2nv 证明：IAAAv 两边同时左乘A：IAAAAA1nAAAA已证) 1 (1nAAAAA2n 整理课件1)A(000n1n0000

15、2000010An 14.，求阶方阵已知例IAAA解：由IAAAAA)A(11n00020001) 1(nA 1n而)!1n() 1(n1n!n) 1(1n整理课件A!n) 1(1AA)A(1n1n00n1n00002000010!n1) 1(1n整理课件习 题 二v 1、试证奇数阶反对称 矩阵必不可逆反对称矩阵奇数阶阶为设)(nAv 证：AAT整理课件AATv 两边取行列式)n(A1An为奇数AA0A20A 不可逆A整理课件BAAB由 2.设A、B均为n阶方阵,且AB=A+B, 证明：证明：则AB=BA.IBAIABIIBAAB IIBIBAIIAIB 两边取行列式01IAIB也可逆可逆IB

16、IA, 0ABBA从而得到ABBABA整理课件则可逆若,Av3、v 证明：也可逆则可逆若阶方阵为设BAI,ABI,nB,A分二部分ABAAABI1BAA111BAAAA1ABAIA1ABAIAABI从整理课件v 两边取行列式1ABAIAABI0BAI可逆BAIX,A则存在实数不可逆若可逆使AXI 整理课件v 同理：AXIBIBAXII成立 上式是关于X的n次多项式，有无穷多个解，从而是恒等式，从而令X=00BAIABI即永远有可逆BAI整理课件v 4、设A、B、C为同阶方阵，且C 可逆，满足C-1AC=B为正整数nBCACnn1v 试证：v 证明：BACC1211BACACCC221BCAC3

17、31BCACCACBn1n整理课件v 5、设A是n阶反对称矩阵，B是n阶 对称矩阵，试证：TTT2AAAv （1）A2是对称矩阵v 证：已知AATTTT2AAA2AAA是对称矩阵2A整理课件TTTBAABBAABv （2）AB-BA是对称矩阵v 证明：TTTTBAAB BAABABBABAAB是对称矩阵BAAB整理课件v (3) AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BAv 证明：(必要性,即已知AB=BA,求证AB是反对称 矩阵) 由已知条件知AT=-A BT=B AB=BA (AB)T=BTAT=B(-A)=-BA=-AB AB是反对称矩阵 (充分性,由AB是反对称矩阵,求证AB=BA) 由已知条件知AT=-A BT=B (AB) T=-AB AB=-(AB) T=-BTAT=-B(-A)=BA整理课件v6.（2）设A，B是两个n阶反对称矩阵证明：AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA证明：“必要性”由于已知AT=-A,BT=-BAB=BA(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA=ABAB是对称矩阵“充分性”由已知AT=-A,BT=-B(AB)T=ABAB= (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BAAB=BA整理