圆形工件的检验论文.

1、产品检验问题某工件为圆形 , 半径为 10mm 0.1mm, 超出此范围即为次品 . 测量仪器自动 在每个工件的圆周上测量 36 个数据. 假定测量出的二维数据 (xi, yi) 是足够 精确的, 要求建立一个合理的检验正 /次品的模型, 对每个工件的 36 个数据进行 计算后给出判断。面是 5 个工件的测量文件 , 存放顺序为其中( xij, yij ) 表示第个工件第 j 个测量数据 (1i 5, 136)。如第一个工件中x11= 31.270,y11= 34.290, x12 = 31.227, y12= 36.554, x1,35 =30.964,y1,35= 31.517,x1,36

2、 = 31.105,y1,36= 32.743(x11,y11)，( x12,yl2)， (x1,36, y1,36)( x21,y21)，(x22,y22)， (x2,36, y2,36)( x31,y31)，( x32,y32)， ( x3,36, y3,36)( x41,y41)，( x42,y12)， (x4,36, y4,36 )( x51,y51)，( x52,y52)， (x5,36, y5,36)第一个工件31.27034.29031.22736.55430.66038.20530 27639.37529.13440.92827.80842.31726.07843.50324

3、92843.92222.92244.47821.18844.71319.45444.45918.09644.12616.01643.19514.96342.26513.51340.77012.95439.89111.95738.06011.57836.18611.42034.28911.55532.55112.16230.91912.73229.45013.96327.97314.61527.14116.49525.85317.97225.31819.97124.72821.71224.64823.27424.80624.44125.16626.64726.18127.86027.16328.

4、98128.24430.20229.93730.96431.51731.10532.743第二个工件 32.30318.082 32.49619.96832.62221.015 33.62323.257 34.56124.30435.93025.629 37.20926.523 38.46227.11640.63127.703 42.18227.989 44.27327.74945.73627.168 47.11726.457 48.93525.40949.97024.216 50.90222.743 51.42021.64252.15719.489 52.23018.260 52.09016

5、.51751.59414.296 50.73112.772 49.68611.15248.32210.049 47.11726.457 45.7838.52844.2498.184 42.5297.963 40.2788.11639.0648.313 36.8709.408 35.54010.53334.76111.227 33.57612.738 32.88014.15132.40716.009第三个工件 14.7112.000 14.7613.40115.3175.612 16.0537.212 17.3468.64618.2749.691 19.73110.653 21.28911.44

6、623.15811.910 24.55212.068 26.62711.77328.48811.307 29.71110.633 31.1359.63632.4838.281 33.3187.368 34.0075.56234.6853.577 34.6292.346 34.526 0.08333.938 1.721 33.2523.327 32.678 4.21231.481 5.501 29.4476.877 27.990 7.47626.819 7.840 25.0808.114 22.826 7.77921.278 7.476 19.7236.667 18.537 5.92317.29

7、4 4.693 16.2283.107 15.293 1.43414.9200.447第四个工件13.87337.35713.651 35.09213.164 33.40612.60532.31111.671 31.04610.304 29.4528.53728.3067.097 27.6605.903 27.3753.99327.1431.924 27.4360.103 27.986 1.15328.572 2.857 29.7683.856 30.742 4.97232.508 5.387 33.4636.138 35.605 6.19236.832 6.045 39.2785.671 4

8、0.265 4.83542.178 3.985 43.2782.810 44.543 1.43045.5810.533 46.7222.434 47.0334.16547.1005.570 47.1156.936 46.7788.77645.76910.028 45.13011.382 43.75712.24342.44613.147 40.76313.517 39.243第五个工件27.3566.44027.2057.65026.7329.31726.27810.83125.31812.30524.11113.58522.31614.66821.07715.28318.74015.88517

9、.01716.01915.64215.85214.25315.66412.23714.62311.06013.8759.97212.7468.60710.9458.1189.8267.5278.1827.3776.2657.6044.0168.0792.7128.8730.7859.664 0.14411.159 1.85112.3882.52813.949 3.29115.439 3.81017.190-3.83019.095-3.72621.112-3.18622.475-2.41623.771-1.54524.813-0.38426.1631.41226.7943.02727.1494.

10、011圆形工件的检验内容摘要某种圆形工件需要一个检验正 /次品的方法，本论文针对该问题，给出了三个合理、有 效的模型：I）图像分析模型；n）聚焦搜索模型；川）规划模型；我们利用这三个模型，分别对题目所给的5组数据进行判断，得到了一致的结论：第1个和第4个零件是正品，第 2, 3和第5个零件是次品。结论的一致性，证明了三个模型的正确性。 为了进一步验证模型的稳定性和有效性，我们利用随机生成的10000组数据，对模型n）和模型川）进行模拟检验，结果令人十分满意。 在模型的进一步讨论中，我们首先讨论了模型的“小区域状态”，并给出了合理的分析，得出了有益的结论： 在实际生产中“小区域状态”出现的概率是

11、相当小的；接着，我们给出了对产品优劣程度的更精确的判别标准，并对所给的5组数据进行了排序：工件1工件4工件3工件2工件5。（其中表示优于）最后我们分别对三个模型进行了评价：模型一：直观，可以做到一目了然。模型二：精度高，而且从理论上来说能够搜出任意小区域内存在的圆心。模型三：速度快，使用灵活。关键词图像分析模型 聚焦搜索模型 规划模型 小区域状态问题的重述与分析某工件为圆形，半径为 10mm ± 0.1mm ，超出此范围即为次品。测量仪器自动在每个工 件的圆周上测量 36 个数据。假定测量出的二位数据数足够精确的，要求建立一个合理的检 验正 /次品的模型，对每个工件的36个数据进行计

12、算后给出判断。本问题是一个通过采样评定工件正/次品等级的问题。问题的 数学实质 在于判定：36 个离散的点能否位于一个 r=9.9mm ， R=10.1mm 的同心圆环之间 。 也就是说，我们要做的，是判断对每组数据，能否找到这样一个点，使得题目所给的36 个点能够被包含于以该点为圆心，分别以r=9.9mm ， R=10.1mm 为半径的圆环之间。我们首先考虑到一种基于图形的分析法， 通过直接观察 做出判断。 之后， 为了寻找一种 更通用、更精确的方法，我们考虑一种逐步加细步长的搜索法。但问题的关键和难点在于， 如何尽可能小的确定初始的考查范围 （在此处，我们从第一种方法中获得了一些启发） 。

13、另 外，还存在着更为快速、有效的算法。在模型川中我们把对半径的限制转化为某一目标函数的约束条件，进而利用惩罚因子，建立无约束的优化模型，并利用Matlab 在此方面的强大功能，顺利求解。尽管三种模型对所给的五组数据都做出了准确地判断， 但是我们的求解在一般情况下仍 不能做到绝对地精确 。因为在进一步研究中我们发现当圆心的 解的存在区域很小时 （特别 是仅有一个点满足要求时） ，三种模型几乎同时失效。 （我们将这种情况成为 小区域状态 ）因此， 在具体设计和实现算法时， 我们只能在尽可能精确的前提下进行。 但如果在计算 机截断误差允许的范围内， 仍然没有找到满足条件的解， 我们便认为， 不存在满

14、足条件的解， 即此工件为次品。事实上，（1）题中所给出的 5 组数据的小数部分都只保留了三位（0.001mm ）， （2）实际生产中存在着测量误差（由仪器精度和随机误差决定） 。由此我们认为小数部分更多的有 效数字是 没有实际意义的 。因此，我们的模型中保证误差在± 0.0001mm 的条件下求解的做 法是相当精确的， 若要求进一步的精确模型则只需 改动步长参数 即可。但是不可逾越计算机 所能容忍的误差为限度 10-16量级（线精度） 。但为了改善模型我们还是利用模拟检验论述了小区域状态问题。得出了结论： 在实际生产中“小区域状态”出现的概率是相当小的（见模型的进一步讨论 ）。基本假

15、设V1 . 36个数据采样已经能够判定此工件是否为正品； 2不考虑测量误差，即认为所给的数据是足够精确的；V3 数据采样点是比较均匀的分布在圆周上（见封面）,以保证采样的全面性，有效性。4半径在 10mm±0.1mm 的范围内的工件 为正品，其余为次品。5当某工件用我们的模型无法判断是正品或次品时，我们就认为该工件是次品。符号说明Oi（ai ， bi） ：若第 i 个工件是正品，用所给 36个点所确定的半径为 10mm±0.1mm 的圆 的圆心；Aij (x/ij, y/ij):我们首先将第i组的36个数据在坐标系下表出，以该组的第一对数据为起点,按照顺时针的方向依次标定为

16、Ail, Ai2，Ai36 ( K i< 5);Li :由Ail , Ai2,Ai36 , Ail按顺序首尾相连而形成的闭合折线；r : r = 9.9mm,即工件半径的下限；R : R三10.1mm，即工件半径的上限；模型的建立与求解2.模型I)图像分析模型我们设计了一种能够直观判断Oi存在与否的方法。首先利用平面几何的知识，我们得到下面两个有用的引理：引理1.分别以Aii, Ai2,Ai36为圆心，r=9.9mm为半径作圆，若 Li中存在与任何圆 Aij (K j w 36)都不相交的区域，贝VOi (存在的话)必然在此区域中。证明:记上述区域为 S？。显然，Oi应位于Li围成的区域

17、中。下用 反证法：反右定理不成立，即存在某jo (1 wjoW 36),使得Oi在圆Aijo中。则显然，|Oi Ajo|v r=9.9 ,这与Oi的存在性，即工件是正品的假设矛盾，因此定理得证。类似地，有以下结论：引理2.分别以Am , Ai2,Ai36为圆心，R=10.1mm为半径作圆，若这 36个圆在L i中有 公共的交域(记为 S(2)i),则Oi (存在的话)必然在此区域中。综合上述两个引理，我们得到一个判断Oi存在与否，即工件是不是正品的充要条件：定理1. Oi存在s？n s(2)?工。并且，当s？ns(2)?工时，Oi s(1)?ns(2)?。为了便于应用我们给出以下两个推论：推论

18、1.若s(1)i=时Oi不存在。推论2.若S3i=时Oi不存在。在定理1的基础上，我们可以采用图像分析法直接判断Oi的存在性。当我们用Matlab实现上述做法时，我们为便于直接观察，具体步骤如下：(1) 我们首先将以r为半径的圆的内部涂色， S(1)i由于不属于任何以 Aij为圆心，r为 半径的圆，它仍然是白色的；此时由 推论1知，若此图中不存在白色区域， 说明Oi不存在， 我们可以下结论，该工件是次品。否则，我们进行下一步；(2) 在另一幅图中，我们以R为半径的圆的外部涂色，Si由于属于所有以 Aij为圆心，R为半径的圆，因而它也仍保持白色；此时由 推论2知，若此时不存在白色区域，说明Oi不

19、存在，我们可以下结论，该工件是次品。否则，我们进行下一步；(3) 使这两部分区域叠加，看是否仍然存在空白区域，若是，则认为工件是正品，否 则为次品。放大前-50510152025303540对5个工件，我们用图像分析法检测如下（所给均为放大后的图）2.工件1第一组1=10.1 半径作圆弟一组数括尸9、亡lnm的合成图346934.6B3JLE7 34B6 34LB5 別皿 3J.E3 34.6221 3221.34 ZI 3521.3S21 4由图知，(21.37mm , 34.64mm ) S(1)? n S(2)?，即同时存在于两个空白区域，因此它 可以作为一个满足要求的圆心位置。2.结抡

20、一:工件1是正品。工件2第组数据匸=9 .勺rrar第二组 R 二 lO.lnm2.结论二：工件2是次品。工件3因为r=10.1mm时，空白区域为空集，即Si=。由推论2 知:结论三：工件3是次品。2.工件4四组数据3?二g. 9m-37.1-37.25-37 15-37.23 753.83.S53937.15-37.1637.1737133719-37 237 21第四组R二10.1mm3.763.83.323.843.662.工件5第七组数据工二9. 9mm1717.217.417.5笫五组 R -10. lirni17.3217.3417.3517 36如图，(3.83,-37.18)

21、S(1)? n S？，即同时存在于两个空白区域，因此它可以作为一个满足要求的圆心位置。结论四：工件4是正品。6.136.126.116.16D96.066.076.06因为r=9.9mm时，空白区域为空集，即S(1)i=。由推论1知:2.结论五：工件5是次品。小结:工件1工件2工件3工件4工件5正品次品次品正品次品2.模型H）聚焦搜索模型基本思想： 因为圆心到测量仪器 所测的36个点中任意一 个点的距离都必须小于R=10.1mm，如果工件合 格，工件的圆心必然落在 以36个点中任意一个点 为圆心，R=10.1mm 为半 径的圆的内部。我们只要 找到这36个圆的共同区 域，在这个共同区域内划 分

22、网格，遍历这些点去搜 索是否有满足条件的点作 为工件的圆心。关键和难点：找到一个尽量小的区 域，不至于因为搜索范围 过大而导致搜索时间太 长；又要使这个尽量小的 区域包含了这 36个圆的 公共区域，不至于漏掉可 能存在满足条件的圆心的 区域）。方法摘要：我们先设 法找到这样一个比较小的 考查区域，并且分别给出 判断该工件为正品和次品 的一个充分条件，作为后 面的判定准则；而后，在 这个小区域内均匀的选取 有限个点加以考查，如果 可能的话，根据这有限个点得到的信息，判断这些点是否满足上述某一个充分条件，从而断定该工件为正品或次品。 而对于所有被考察点信息都无法满足这两个条件中任何一个的情况（实际

23、上这种情况会出 现，但出现的概率很小，一般能在满足两个条件中的一个），我们通过缩小考查区域和改变步长来对这种情况进行更进一步的探讨。聚焦搜索算法步骤如下：（1）首先，我们要确定一个相对较小的初始搜索区域。如图所示，我们先找4个在工件圆周上分布较均匀的点画圆，例如，可以将Aii,Ai2,Ai36 分为 9 组： A i1 , A i10 , A i19 , A i28 , A i2 , Ai11 , Ai20 , Ai29， A i9 , A i18 , A i27 , A i36。 这样，依次以其中一组的 4点为圆心，R=10.1为半径作圆。由于 Oi所在的S（2）i必然含于这 4个圆的相交区

24、域中，所以若该工件合格，其圆心Oi只能存在于放大的图上的阴影区域，也就是4个圆的公共区域中。（2）接下来，我们要量化地确定该阴影区域。为了避免求解非线性方程组带来的繁琐工作以及对解的准确性的影响，我们考虑用切线包围，以直代曲，并用过切线交点的坐标轴平行线再包围的方法，用一个较小的直线围成的区域（该区域包含该阴影区域）来代替该阴影区域。具体做法如下：A119如右图所示，取工 件圆周上面测量的点为 A i1，Ai10，Ai19，Ai28。 在包围阴影区域的圆弧 上面做 平行于Ail和Ai19 两点连线的两条圆弧切 线k3和k4；做平行于 Ai10和Ai28两点连线的 两条圆弧切线ki和k2。 这样

25、四条切线总共有四 个交点（图中四个较大 的黑点）。过最右边的点 和最左边的点做两条平 行于y轴的直线a和b； 过最上面的点和最下面 的点做两条平行于 x轴的直线c和d。从图上容易看出：直线a, b，c, d包围的区域一定包含该阴影区域。一个工件的测量数据都有 9个像这样的组合，每个组合都算能得到一组（4条）直线a，b，c，d，每一组直线都得到一个围域，共9个区域，然后取这9个区域的交集。如果交集为空集，那么可以肯定该产品为次品；如果不是空集，我们在这个交集区域内继续下面的搜 索算法。2.第三步，我们在已经求得的小区域内进行搜索，看是否存在这样一个点，使得它到工件上测量数据的 36个点中任意一个

26、点的距离都在9.9mm与10.1mm之间。先给出一个 工件为正品的充分条件 （条件1）：对于给定的一个点，它到工件上测量数 据的36个点的距离最大值小于10.1mm ;最小值大于9.9mm，则该工件合格。因为题目中所给数据 小数点后面 只有三个有效数字， 我们首先取步长为0.001mm。将所得到的小区域划分网格，对于每一个网格点，我们判断该网格点是否满足条件1。如果满足，则输出该点的坐标，并且判断该工件为正品；如果不满足，我们记录下该网格点到36个点的距离的最大值和最小值，分别存入向量 MA和向量Ml，然后继续搜索下一个网格点，直到遍历所有的网格点。如果遍历完所有网格点都没有找到满足条件1的点

27、，我们也不能就此断定该工件一定是次品，因为我们只遍历了有限个离散的点，而该小区域仍可能存在满足 条件1的点，只是我们没有搜索到。这样我们给出判断该工件为次品的一个充分条件：判断该工件为次品的一个充分条件 （条件2）:以0.001为步长进行搜索时，遍历完所 有点之后，如果MA的最小值大于 10.1015mm（ 10.10075）或者Ml的最大值小于 9.8985mm（9.89925），则该工件是次品。用反证法证明如下：假设小区域内存在一点P满足条件1，使该工件为正品，又不妨设MA的最小值大于10.1015,设A为P点所在的网格的一个网格点，因为网格边长为0.001，所以AP w、. 2 X 0.

28、001 v 0.0015因为MA的最大值大于10.1015，所以36个点中一定存在一个点，设为B点，使AB的长度大于10.1015。那么在三角形APB中PB> AB AP > 10.1015-0.0015 = 10.1这与P点满足 条件1矛盾。当Ml的最大值小于9.8985mm时，同理可证明。2.遍历完所有点之后，如果无法判断该产品为正品，也不满足条件2，也就是说 MA的最小值介于10.1mm到10.1015mm之间而且 Ml的最大值介于 9.8985到9.9之间， 那么在步长为0.001mm的条件下我们无法判断出该工件为正品还是次品（尽管它已经很靠近正品的要求）。这样我们可以有两

29、种选择方案：第一个方案 是判断该产品为次品，这是本着 宁缺勿滥的原则，宁可将正品判为次品， 也不能将次品判为正品。第二个方案是找出可能存在满足 条件1的网格区域一一可能满足条件1的网格区域是这样的网格区域，该网格区域的四个顶点中每个点到36个数据测量点的距离的最大值在10.1mm和10.1015mm之间；最小值在 9.8985mm和9.9mm之间（该区域 相对前面找出来的小区域又小了很多）一一在这些网格区域内将步长变为原来步长的1/10;这样，虽然步长变短了，但因为区域大大缩小，搜索时间也不会增加。这样我们可以相应的改变条件2的判断标准（步长为0.0001时，MA的最小值大于 10.10015

30、mm或者Ml的最大值小于 9.89985mm ,则工件为次品），继续用搜索法判 断正品还是次品，如果还是不能判断，重复上面的方法，一直做到步长逼近计算机 的截断误差限；而此时仍然不能判断，再算下去也没有意义，我们可以实施方案1, 也就是将该工件判为次品。用聚焦搜索法判断题中给出的5个工件，结果如下：参数 工件号ai (mm)bi (mm)max|OiAj| (1 w j w 36)min| 0 iAj | (1W j w 36)是否为 正品判断时间（S）121.357434.635110.09999.9016是v 12p否v 13否v 143.810237.174910.09909.9001是

31、v 15否v 3也就是说，5个工件中，只有第1个和第4个是正品，这与图像分析法的结论一致。2.模型皿）规划模型解决问题的另外一种思路，是将它视为一个在一定约束条件下，求解非线性规划问题极值的问题：min (xj ai) 2 + ( yj bi) 2 r i22j 122s.t.9.9 Xij aiyijbi10.19.9 ri 1°.1利用惩罚函数，我们又可以将其转化为一个无约束的优化问题:36ri2 22 2 min入 ij (xij ai)+( yj bi)j 1其中，入ij三12 108当9.9 Xij ai 2 yij其他情形2bi10.1,并且 9.9 ri 10.1 时这

32、样，问题就转化为求解一个无约束的优化问题了。当（1）中条件得不到满足时,入j作为惩罚因子，必然导致（2）中的最小值超过某一阈值。因此，只要恰当的选取惩罚因 子，下结论就会变得非常容易。由于当9.92Xij ai2yijbi 10.1 并且 9.9 仃 10.1 时36(Xij ai) 2 + ( yij bi) 2 r 2 2 < 36 X( 10.1 2 9.9 2 ) 2 w 576 j 1而若以10-3为精度记，入j须满足:min （ 10.10012 10.12） 2 , （9.92 9.89992） 2 xx ij > 576因此，我们 取入ij = 2 x 108，而以

33、576为阈值。依次将题目中的5组数据代入模型，我们将得到的结果列入下表（见下页）：参数 工件号优化问题的解max|OiAj| (1 w jw 36)min| OiAj |(1 wj W36)函数 最优值是否为 正品ai (mm)bi (mm)ri (mm)121.367336.64909.99329.909210.097747.6809是2-42.210717.90999.90019.855210.09963.1438*10 8否3-24.73452.010810.10009.900210.13061.3783*10 8否43.8167-37.181310.03579.901310.09108

34、1.5669是517.37756.09759.90009.863910.09541.3861*10 8否同样地，规划模型的结论是：5个工件中，第1个和第4个是正品，其余 3个是次品。模型的检验题目的问题具有较强的实际应用背景，因而有必要就其在一般情况下的有效性，或者说稳定性进行检验。2.对模型n）聚焦搜索法模型的 随机检验我们的程序只算到了步长最短为 0.0001的情况，也就是在步长为 0.001基础上只加细 了一次，我们需要知道在这个步长控制范围内不能判断是正品还是次品的概率，为此我们做了以下的仿真检验：首先，我们选取的随机模型，其中正品大约占到90%，次品占到10%，这样一组数据是比较接近

35、工厂实际生产中的产品的正、次品比例的。具体做法是确定原点（0, 0）为圆心，将2圆心角36等分，每等分确定一个点，到原点的距离满足10mm,. 0.042正态分布。我们模拟了 10000组工件半径的数据， 随机检验的结果是：步长为0.001时，93% 的工件可以判断出正品还是次品，剩下的7%全部可以在步长加细为0.0001后判断出正品还是次品（正品为 89.5%，次品为10.5%,既能够作出判断的数据所占比例为89.5%+ 10.5%=1 ）。从检验的结果可以看出，在标准半径为10mm，与工厂实际正品合格率比较靠近的情况下，我们的算法取最小步长为 0.0001mm时是基本有效的， 也就是说这时

36、检测 10000个工 件一般不会出现检验不出正品还是次品的情况。如果对检验有更高的要求，可以通过继续变小步长的方法达到，而且算法程序的修改很方便，运行时间基本不变（每次变小步长增加的 网格点是几百个到几千个，增加运算的时间很少）。2.对模型川）规划模型的检验在对模型川）进行随机模拟检验时，考虑到此模型不存在无法判定正、次品的情况，也不会将次品误判为正品，所以，我们采用了与模型n）的检验不同的数据模型一一我们对每个工件所选取的36个数据均为正品的半径数据，也就是说，数值在 r=9.9到R=10.1之间， 从而考察规划模型将正品误判为次品的概率大小。我们首先将半径取为满足10,0.034的正态分布，这样半径落