曲面的基本形式与曲面上的曲率

1、第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5曲面上的曲率概念禾U用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面 上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体.定义1曲面S上的点P处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称 为曲面S在点P处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称 为曲面S在点P处的主方向.注记1 Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主 曲率和主方向. 当两个主曲率'i(P)-技2(P)时，曲面在点 P处有且仅有正交的两 组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量而当两个主曲率 

2、9;i(P) = 2(P)时，曲面在点 P处的任何非零切向都 是主方向， Weingarten 矩阵(P)二' i(p)l2，即门(P) = '-i(P)g(P).主曲率和主方向的计算，自然归结为 Weingarten变换的特征值和特征 方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算.即： 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵，之时，方程为(4.3)式，或直接写为(5.1) 12 = 0 ；等价地，当易知系数矩阵门和g之时，其方程可变形为(5.2) - g 二 0 . 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a" ri = 0为主方向，

3、即非零切方向a1：a2为主方向-4QAQAQ二 , (a , a )= (a , a ) , (a , a )(0, 0)Ararar二 ',(a , a )(a , a )g , (a , a ) - (0, 0)det.2 2(a)1 2 -a a1 2(a)giig12g22=00ii012022主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)2 2(du)gii1 2-du dug121 2(du)g225 / 5定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点.若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面.若脐点处的主曲率为零，则称之为 平点；若脐点处的主曲率不为零，

4、则称之为圆点.注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点全脐曲面主 方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式.二. Gauss曲率和平均曲率定义3 对于正则曲面 S，其在点P处的两个主曲率的乘积x，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均 值H，称为其在点P处的平均曲率.注记3注意到(4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)辽丨LN -M2g 二 EG - F2tr.B LG 2MF +NE(5.5) H = 2

5、二 2(EG - Fj .主曲率方程(4.3)式现可改写为2(5.6) - 2H 0 ;2其中H 2 一二丄 0 .4 Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下 不变，在反向参数变换下变号. 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7) . H2 -久,i 1,2处处连续，并且在非脐点处连续可微. 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值(留作习题) 平均曲率不是等距不变量 反例如圆柱面和平面.例1 证明可展曲面的 Gauss曲率K三0 证明对可展曲面 S的直纹面参数化 r(u, v) = a(u) v l(u)，由可展定义

6、得知三0 ,故其第二基本形式系数满足M = ru g v 三 0 , N = rv*nv 三 0 , 于是2EG - F2 - 0 上例中，若取准线使 基本形式系数矩阵同时对角化,a'd三0且| |三1，则可展曲面 S的第一和第二Weingarten矩阵则为特征值对角阵，而且L(5.8) 苗=巨,曲三0 三.Gauss映射和第三基本形式图4-5Gauss在考察曲面的弯 曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的 行为对于曲面弯曲状况 的反 映，并进一步明确了两者的 依赖程度，进而在曲面论中 做出了卓有成效的工作观 察熟知的一些曲面，比如平 面、圆柱面、圆锥面、椭球 面、双叶双曲面

7、、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为 和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系.定义4对于C3正则曲面S: r(u1, u2)及其单位法向量场 n(u1, u2)，曲 面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射(5.9)2G: S >S (1)1 2 1 2 1 2 r(u , u ) >G(r(u , u ) = n(u , u )称为曲面S的Gauss映射.二次微分形式(5.10)ID = dn *dn称为曲面S的第三基本形式性质 n i n 2 = < r 1 r2 . K(P) I = U收缩至P筈器，其中peuus , U为单连通区域,2A(G(U)是G

8、(U) S (1)的面积，A(U)是U S的面积. 川2H n < I 二 0 .证明由Weingarten公式得1 2 1 2ni n2 - -( ，1 n 亠心1 r2) -( 2 r 1 亠心2 r2)-r 1 也二久 r1 r 2 . A(U)r 1 r2 du1du2 ,r知)A(G(U)二 r *U) n1 n2r 1 r2 du1du2 .r如)而由积分中值定理，P U使rr 1 r 2 du1du2r 1 r2 du1du2 .故而limU收缩至PA(G(U)A(U)=P*mP结论用系数矩阵等价表示为（门 gg J）T - 2H_ - g 三 0=g1. 2H <

9、g= 0u 0 gQ g' 2HC g+K I2 三 0二 綁 一（tr.B）灼 + bib 三 0 .而最后的等式对于二阶方阵总成立（ 用特征值理论则知是显然的），用元 素计算可直接验证为-k -(tr< ) -i ：hj八1j 丄2j,1 丄2、j 丄,1221、=的(01+(0i如2 (国1十如2)軸 + (国1国21(02)6 = 0 .习题1. 对于螺面 r = （u cos v , u sin v , u 亠v），试求： 主曲率'-.1和'-2 ； Gauss曲率和平均曲率.2. 试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系.3. 试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即2jH(P) = k(P, 6) dT .4. 试证：直纹面的 Gauss曲率处处非正.5. 设正则曲面S: r(u1, u2)当常数足够小时1 一 2阳 泊仪.0 .按参数相同作对应曲 面S*: r*(,u2) =r(J, u2) - ''(u1, u2)，其中n为曲面S的单位法向量场.试证： S和S*在对应点具有相同的单位法向和法线； S和S*在对应点的 Weingarten矩阵具有关系式 冷=蛍(12 _曲) ； S和S*在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式f 一 反 2 H* _