第二次数学建模作业

1、4. 根据表 1.14 的数据，完成下列数据拟合问题： 表 1.14 美国人口统计数据(百万人)年份17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年份18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年份195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4解答：（1）：（i）执行程序：t=1790:10:2000;x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,2

2、3.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;f=(r,t)3.9.*exp(r(1).*(t-1790);r=nlinfit(t,x,f,0.036)sse=sum(x-f(r,t).2)plot(t,x,'k+',1790:10:2000,f(r,1790:10:2000),'k')axis(1790,2000,0,300),legend('测量值','理论值')xlabel('美国人口/（

3、百万）'),ylabel('年份')title('美国人口指数增长模型图II')运行结果：>> Untitledr = 0.0212sse = 1.7433e+004即，拟合效果：r =0.0212；误差平方和为：1.7433e+004.拟合效果图（i）：(ii)由表1.14我们知道，当t=1800时，有，所以我们可以猜测，r=0.1, =2.5.对待定参数，r进行数据拟合同时进行绘图，其程序如下：t=1790:10:2000;x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,

4、92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;f=(r,t)r(1).*exp(r(2).*(t-1790);r0=2.5,0.1;r=nlinfit(t,x,f,r0)sse=sum(x-f(r,t).2)plot(t,x,'k+',1790:1:2000,f(r,1790:1:2000),'k')axis(1790,2000,0,300),legend('测量值','理论值',2)xlabel('美国人口/（百万）'),ylabel(

5、9;年份')title('美国人口指数增长模型图II')命令窗口显示的计算的结果如下：>> Untitledr = 15.0005 0.0142sse = 2.2657e+003即我们知道，拟合结果为：r=r(2)= 0.0142, =r(1)= 15.0005;误差平方和为:2.2657e+003.拟合效果图（ii）：(iii)由表1.14我们知道，当t=1900时，有，所以我们可以猜测，r=0.03, =19, =1800.对待定参数,，r进行数据拟合同时进行绘图，其程序如下：t=1790:10:2000;x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,1

6、7.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;f=(r,t)r(1).*exp(r(2).*(t-r(3);r0=19,0.03,1800;r=nlinfit(t,x,f,r0)sse=sum(x-f(r,t).2)plot(t,x,'k+',1790:1:2000,f(r,1790:1:2000),'k')axis(1790,2000,0,300),legend('测量值','理论值',2)

7、xlabel('美国人口/（百万）'),ylabel('年份')title('美国人口指数增长模型图III')命令窗口显示的计算的结果如下：>> UntitledWarning: The Jacobian at the solution is ill-conditioned, and some model parameters may not be estimated well (they are not identifiable). Use caution in making predictions. > In nlinfit

8、 at 224 In Untitled at 5 r = 1.0e+003 * 0.0159 0.0000 1.7939sse = 2.2657e+003即，拟合效果：r =0，=7.9，=1742.5；误差平方和为：2.2657e+003我们由MATLAB9给出的警告信息，知道这个拟合存在病态条件，所以数据可能拟合的不太好。拟合效果图（iii）：综上，经分析我们应该(ii)才是这个问题的最好的拟合方案，因为（i）和另两个比较他的误差平方和最大，而（iii）则存在不正常的条件，所以这三个中，(ii)是这个问题的最好的拟合方案。他的增长模型为：x(t)= 15.0005.*exp(0.0142.

9、*(t-1790).其拟合效果图如下：（2）对指数增长模型x(t)= .*exp(r.*(t-)两边求导数得：ln(x(t)=ln()+r.*(t-) 我们固定=1790 再令ln(x(t)=y, ln()=b(0),r=b(1), t-1790=x,于是原变式为：y=b(0)+b(1).*x. 转化成线性模型级拟合效果图的MATLAB命令如下： t=1790:10:2000c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,

10、281.4; x=t-1790;y=log(c);a=polyfit(x,y,1),x0=exp(a(2),r=a(1)f=(k,t)k(1).*exp(k(2).*(t-k(3);k=x0,r,1790;sse=sum(c-f(k,t).2)plot(-20:1:230,polyval(a,-20:1:230),'r',t-1790,log(c),'k+'),legend('理论值','测量值',2) 窗口计算结果为：a = 0.0202 1.7993x0 =6.0456r = 0.0202sse =3.4928e+004所以拟

11、合的结果为：x0 =6.0456，r =0.0202；误差平方和为：3.4928e+004。拟合效果图如下：（3）指数增长模型线性化拟合得误差平方和比非线性拟合大得多，拟合误差比较图的MATLAB命令如下：f=(r,t)r(1).*exp(r(2).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4; x=c-f(14.9940,0.0142,t);y=c-f(6.

12、045,0.0202,t);plot(c,x,'ro',c,y,'b+',0:.1:300,0,'k+'),legend('非线性拟合','线性拟合')axis(0,300,-160,40),xlabel('美国人口（百万）'),ylabel('拟合误差'),title('指数增长模型的拟合误差比较图')图如下：我们从这个拟合误差比较图可以看出，非线性拟合的误差比较稳定，而线性拟合的误差却人口的增长越来越大。出现这种情况的原因的当x(t)数值越大时，y的对数带来的损失

13、越大，使得线性拟合的误差越大。（4）（i）由题目给的表知道，当t=1870时，有,所以我们可以猜测N=40，r=.我们拟合待定参数r，N绘制拟合效果图的Matlab命令如下：f=(h,t)3.9.*h(1)./(3.9+(h(1)-3.9).*exp(-h(2).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;h0=40,9/722;h=nlinfit(t,c,

14、f,h0)sse=sum(c-f(h,t).2),N=h(1),r=h(2)plot(t,c,'b+',1780:.01:2010,f(h,1780:.01:2010),'k'),legend('测量值','理论值',2)axis(1780,2010,0,300)xlabel('美国人口/（百万）'),ylabel('年份')title('美国人口指数增长模型图')命令窗口显示的计算结果：>> Untitled1h = 342.3524 0.0274sse = 1.229

15、4e+003N = 342.3524r = 0.0274>>故，N= 342.3524，r=0.0274;误差平方和是：1.2294e+003。拟合效果如下图：（ii）由题目所给表知道，当t=1800时，有,所以我们可以猜测：N=10，r=0.05，=。我们拟合待定参数，r，N绘制拟合效果图的Matlab命令如下：f=(h,t)h(3).*h(1)./(h(3)+(h(1)-h(3).*exp(-h(2).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,1

16、06.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;h0=10,0.05,10/3;h=nlinfit(t,c,f,h0)sse=sum(c-f(h,t).2),N=h(1),r=h(2),x0=h(3)plot(t,c,'b+',1780:.01:2010,f(h,1780:.01:2010),'k'),legend('测量值','理论值',2)axis(1780,2010,0,300)xlabel('美国人口/（百万）'),ylabel('年份

17、9;)title('美国人口指数增长模型图')命令窗口显示的计算结果：>> Untitled1h = 446.5977 0.0215 7.7044sse = 459.9497N = 446.5977r = 0.0215x0 =7.7044即：N =446.5977，r =0.0215，x0 =7.7044。其拟合效果如下图：（iii）由题目所给表知道，当t=1890时，有,所以我们可以猜测：N=70，r=0.03，=,误差平方和为：457.7405.我们拟合待定参数，r，N，绘制拟合效果图的Matlab命令如下：f=(h,t)h(3).*h(1)./(h(3)+(h

18、(1)-h(3).*exp(-h(2).*(t-h(4);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;h0=70,0.03,630/19,1880;h=nlinfit(t,c,f,h0)sse=sum(c-f(h,t).2),N=h(1),r=h(2),x0=h(3),t0=h(4)plot(t,c,'b+',1780:.01:2010,f(h,1780:.01:2010),'k'),legend('测量值','理论值',2)axis(1780,2010,0,300)xlabel('美国人口