行列式一般定义和计算方法

1、n阶行列式a2i a22a2n八（_1）UFaijj?an, jlj/ jna nnaiiai2ai3D =a2ia22a23a3ia32a33an1 an2二 aiia22a33ai2a23a31ai3a2ia32（1-ai3a22a31 一 ai2a2ia33 一 aiia23a322 N阶行列式是N !项地代数和;3、N阶行列式地每项都是位于不同行、不同列 N个元素地乘积；特点：（i）（项数）它是3!项地代数和；（2）（项地构成）展开式中地每一项都是取自行列式不同行不同列地三个元素之积 其一般项为：（符号规律）三个正项地列标构成地排列为i23,23i,3i2.它们都是偶排列；三个负项地列

2、标构成地排列为 32i,2i3,i32,它们都是奇排列.§行列式地性质性质i:行列式和它地转置行列式地值相同aii ai2a2i a22ani an2aina2na nnaii a2iai2 a22ain a2nanian2ann行列式对行满足地性质对列也同样满足.性质2 互换行列式地两行（列），行列式地值变号.如:D=a b=ad-bcc dc d=bc-ad= -Da b以ri表第i行,Cj表第j列.交换i,j两行记为一 r，交换i,j两列记作关于行列式地一般定义和计算方法n阶行列式地定义ainaii ai2"性质3：如果一个行列式地两行（或两列）完全相同，那么这个行列

3、式地值等 于零，性质4：把一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素同乘以某一个常数 k地结果等于用这个常数k乘这个行列式.（第i行乘以k,记作k）推论1： 一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素地公因式可以提到行列式符号地前面推论2：如果一个行列式地某一行（或某一列）地所有元素都为零，那么行列 式值等于零推论3：如果一个行列式地某二行（或某二列）地对应元素成比例 ,那么行列式 值等于零.a11a12a1na11a12-a1n-.- .-d、=-.-kai1kai2 Jkain=kai1ai2ain-.- .-.d、=-.M - Uan1an2a nnan1an2ann性质5：如果行列式D地某

4、一行（或某一列）地所有元素都可以表成两项地和 ，那么行a11 a12a1j+ Ra1na11 a12a“a1nan a12b1a1na21 a22a 2j+ b2a2n=a21 a 22a2ja2n+a21 a 22b2a2nan1 an2anj+ 0annan1 an2anjanna n1 a n2bnannD等 于两 个 行 列 式Di 和 D2和."性质6：把行列式地某一行（或某一列）地元素乘同一个数后 ，加到另一行（或 另一列）地对应元素上，行列式值不变.推论如果行列式地某一行（列）地每个元素都是m个数之和（m>2）,则此行列式等于m个行列式之和.定义：行列式|aij如

5、果满足：玄耳=ajj（i, j =1,，n）；则称此行列式为对称行列式。一个n阶行列式，如果它地元素满足：ai j = -aj i i,j =1,2n ；试证：当n为 奇数时，此行列式为零.每一行(或列)提出一个(-1),再转置得D= (-1) nD性质7行列式地某一行(列)地各元素与另一行(列)地对应元素地代数 余子式地乘积之和等于零.按仃：aiiAji ' ai2Aj2 'ain Ajn - 0j按列：CiAj a2iA2j aniAnj =0 i = j将性质7与Laplace定理合并为下列结论:n(1)(2)'aik Ajkk 4nS aki Akj="

6、;k吕行列式地计算1 利用行列式定义直接计算例1计算行列式0 0100 200Dn =-3-n_10000 00n解Dn中不为零地项用一般形式表示为a1n _1&n _2an1ann = n! 该项列标排列地逆序数t (n1 n 21 n)等于(1)(2),故2(n 4)2)Dn 十1)2n!.2 利用行列式地性质计算例2 一个n阶行列式Dn = aj地元素满足aj = _aji , i, j = 1,2, n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零证明：由aij = _aji知內=-內，即aii = 0,i 二1,2, n故行列式Dn可表示为0ai2ai3ain一ai2

7、0a23a2nDn =一 ai3230 a3n一 ain一 a2n_a3n0由行列式地性质|A=|a，0一ai2一ai3_ainai20一a23_a2nDn =ai3a230_a3naina2na3n 00ai2ai3ain_ai20a23a2nDn_ai3_a230 a3nam_a2n_a3n八'0= (-1)nDn当n为奇数时，得Dn= Dn,因而得Dn = 0.3.化为二角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元 素地乘积.因此化三角形是行列式计算中地一个重要方法例3计算n阶行列式abb bbab bD =bbabbbb a解：这个行列式地特点是

8、每行（列）元素地和均相等，根据行列式地性质，把第2,3,n列都加到第1列上，行列式不变，得a +(n- 1)bbba +(n- 1)babD = a +(n- 1)bbaa +(n 1)bbbbbba1bb1ab1bb0a b0=a +(n -1)b00a b000-a (n - 1)b(a-b)nb00a b=a +(n 1)b1ba4 降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用 拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式地性 质化简，使行列式中有较多地零出现，然后再展开例4计算n阶行列式a00 010a0 0000a00Dn =Ia

9、:a000 a0100 0a解将Dn按第1行展开a0000a000a0000a0Dn = a00a0+（_1严aa*a-000a000a1000n -1n n 2+(_1) (_1)a - -an°5 逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn-1, Dn 2之间地一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn 1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn地方法称为递推公式法例5证明X0-1X0_10000Dn = -000 X-1anan A.an/a26 +x=xn a1xn J a2xn/ anJx an,(n _ 2)证明：将Dn按第1列展开得X-10 0

10、00X-1 00Dn= x -000 X-1anJanJ2an J3a2 印 +x-10 0 0X-10 0+(-1) an 00 X -1=an + xDn j由此得递推公式：Dan xDn 4，利用此递推公式可得Dn 二 a.XDnj 二 a.Xn4XD)2=anan " X DnQn 4n二 =anan 4xx6 利用范德蒙行列式例6计算行列式11 L1捲+1x2 +1焉+1D =2丄为+x,ax2 +x2a2Xn +冷an丄n_2x1+x1nA .n _2x2 +x2n A . n _2 Xn+Xn解 把第1行地-1倍加到第2行，把新地第2行地-1倍加到第3行,以此类推直到把

11、新地第n 1行地1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11 1xX2XnD =2X12X22Xn= (Xi -Xj)na桂日n A.X1n A.X2xn入n7 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列 ，且保持原行列式不变地方法.计算n阶行列式Dnx a1a1a1a2x a2a2anananaia2x anaian解:Dn1a1a2an第i行减第1行-1X0 0i=2,，n+1-10X0-100 X0（箭形行列式）Dnna：8 数学归纳法例8计算n阶行列式Dn 二解：用数学归纳法.假设n = k时，有aj1 丄j 10000-1anan Aan _2-1a2x a1a2ana2

12、二 x(x a1) a2=x2a2k丄k4丄kJ2丄.丄.二 x yxa2x亠 亠 akxak则当n = k+1时把Dk+i按第一列展开，得Dk 1 = xDkak -1= x（xk - a1xk4- ak4x aQ ak 1k "丄k i_.丄2二 X 6Xak4x akX ak 1由此，对任意地正整数n,有Dn = xn a1xn4 an,x2 an4x an9 拆开法把某一行（或列）地元素写成两数和地形式，再利用行列式地性质将原行列 式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.a1 +鮎a2* an例9计算行列式Dn =ai-a 2+2 anaaia2an +-na.a2-an扎1

13、a2an解：Dn =a.a? + ?-2-an0a? + ?_2ana9+Ia ¥9a.a2-an + 几n00an +治a.a2an0iS. 广2an中打Dn=-00 Ka=ai ' 2'n ' 1Dn J.上面介绍了计算n阶行列式地常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问 题，把握行列式地特点，灵活选用方法.学习中多练习，多总结,才能更好地掌握行列 式地计算.ax+by ay + bz az+bxx y z(1)ay + bz az+bx ax+by= 3+ b3) y z xaz+bx ax+by ay + bzz x y证明ax+ by ay + b

14、z az +bxay+ bz az + bx ax +byaz+ bx ax + by ay+bzx ay + bz az + bxyay + bzaz+bx=ay az+bx ax + by+bzaz + bxax + byz ax+by ay + bzxax + byay + bzx ay + bz zy z az+bxa2y az + bx x+ b2z x ax+byz ax + by yx y ay + bz=a3xyz+ b3yzxyzxzxyzxyxyz二 a3xyz+ b3xyzyzxyzxzxyzxyx y z= (a3 + b3)y z xz x y关于行列式地消项（其中

15、C代表列R代表行）= (a-b);a2 ab b2 2a a+b 2b1 1 1证明(3)ab - a2b -ab2-a22b-2a= (b-a)(b-a)： b；a=(a-b)32 4 1d dd 1 C22V4C 1bb2t)41 aa2/= (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b e d); 证明111abca2b2c2d 2a4b4c4d4列地）Too oaba 晶2 bc-a c(c_a) c2(c2 - a2) d1d - ad(d _ a)2(d2-a2（C2 ,C3 ,C4减数字去第a2abb29 一 c1a2ab-a2b2 - a22aa + b

16、2b2ab-a2b-2a111s c110013 / 15(4)-1Xiiibcdb2(b a) c2(c a) d2(d a)1001 1c-bd-bc(c_b)(c + b + a) d(d_b)(d + b+a)=(b -a)(c- a)(d - a)(c- b)(d - 6*丄十 a) d(da)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b c d)0-100 X3200n丄n-i丄二x aixan_ix an证明用数学归纳法证明当 n=2 时.D2 =x -ia2 xp=x2 a1x a2 命题成立21 / 15假设对于(n-1)阶行列式命题成立即Dnxn_

17、1 ai xn2anX an_1则Dn按第一列展开有Dn"_ian(-旷100 T.!r00 - XK -r .* K* *IK* *!r*OT I-1X - 1=xD n-1 an =X aiXan-lX an因此.对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式D二det(aj), 把D上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转依次得an1annDr卯amTnann-°2=如aniannain D3ani aiin(n -i)证明 Di = D2 = i) 2 D D3二D证明因为D=det(aij).所以an1anna11"'ainD广=(_ 1)nania

18、iiainann十1严(-1)十1)同理可证a21n-2a2na21a2nan1ann1 2-.-.(n -2) (n d)n(n -1)D 十 1) 2n(n 4)°2珂-1) 2a11a1nn(n .J)n(n -J)= (-1)h D(-1)F dn(n -1)n(n-1)n(n-1)D3=(-1)F D2=(-1)h (_1)h (-1)2。=。7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)：a1(1)2=.,其中对角线上元素都是a.未写出地元素都1a是0 -:o o!r)00!r- o 1-nDooooo ao ao+1n)=(_1)n1(T)nlooioa 1 o o ooo

19、ao ooo.(按第n行展开)a+ (-1)2n aa 0 (n1)勺nV)a( nF( nV)n nn2 n 2 2 八an 二 a- a 二 a (a -1)解(T(n2)xaaaxaaax(2) Dn 二xaaaa xx a00Dn =a x0x a0a x00 0x a再将各列都加到第一列上得解 将第一行乘（-1）分别加到其余各行得a1-n OO+Xaaax-a00n0 x-a 0 =x+(n-1)a(x-a) 'xaan(a-1)n(a-n)nan4_1严(a-n)aa-1a_n11100根据第6题结果有(3) Dn 1111aa-1a_nan=(a-1)z(a-n)n_an(a-1)n(a-n)nn(n 1)Dn 厂(T) 2此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)入厂(T) Hn十注Aj勺n(n V)珂T)丁 H -(i-j)n 1 i j _1n( n 卅)n 十n V)+F十 1) 2(-1)2【(i- j)(a-i 1)-( j 1)0 a b aa 0 a br1形七书b a 0 aa b a 02a bD =a b2a