计算电磁学义

1、第一章计算电磁学概述引言 计算电磁学应用术计算电磁学应用图示§ 1.1数学模型在自然科学领域内，利用数学来阐明自然现象是科学的发展趋势， 人们应用单纯的数学 关系式描述自然法则， 求其解答，并在与实验和观测结果比对的基础上， 去理解和应用自然 现象，可见理解宇宙的原理是数理。随着计算技术的发展，数学应用已深入到各工程及物理学领域，并进一步向经济、生 态、人口和社会等非物理学领域发展。许多工程设计问题正以相关的计算机辅助工程（CAE）和计算机辅助设计等为工具进行有效的定量分析及优化，同时，一些以定性方法为基础的学科也正转向定量化的发展道路。 众多边缘学科的出现也使数学在生产、经营管理及

2、各自然科学学科中的重要性日益为人们所理解，也促进了应用数学及相关学科的同步发展。当应用数学方法解决上述物理及非物理问题时，必须建立与问题相应的数学模型，并 在此基础上进行分析和研究。因此，所建立的数学模型必须精确地逼近所探讨的问题。数学模型是对客观事物的抽象模拟，它按事物固有的规律性，通过数学语言描绘出客 观事物的本质属性及其与环境的内在联系。必须指出，通常与客观事物完全吻合的数学表达并不多见，因此实际的数学模型往往是在一些理想化或工程化的条件下给出的数学描述。重要的是，数学模型的确立必须有实验及测试结果来证实，或能被推广乃至预测为人们所公认的结果，如牛顿力学就经受了对哈雷彗星的研究及海王星发

3、现等大量事实的证明。麦氏方程也为百多年来电磁学科的发展进程所公认，证明它是宏观电磁现象普适的数学模型，因而奠定了经典电磁理论的基础。根据数学建模的方法分类，模型可分为微分方程模型、积分方程模型、优化模型和控制论模型等。按实际问题中变量特征分类，数学模型又可分为确定性模型和随机模型，而由变化情况分类，则可分为连续型模型和离散型模型，此外，线性模型与非线性模型；静态模 型与动态模型等这里就不一一赘述。必须指出数学模型的分类并不具有特殊意义，但物理概念的引入要便于理解，模型的建立应有助于综合利用各种数学工具，从各个侧面分析出客观事物的本质。电磁计算学就是以宏观电磁理论高度概括的麦克斯韦方程组为数学模

4、型，结合实际问 题的初始条件和边界条件，给出具体电磁学问题的解。数学模型及宏观电磁学理论模型见图 1.1。图1.1数学模型与宏观电磁理论的数学模型§ 1.2电磁数值计算的任务电磁数值计算的任务是基于麦克斯韦方程组，建立逼近实际问题的连续型数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理，将连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型，由离散数值构成的离散方程组（代数方程组），应用有效的代数方程组解法，求解出该数学模型的数值解（离散解）。电磁场数值计算流程图如图1.2所示。绫药 二三 一/g、 d非 系 I纂 二g-一 匚全一 性 连计算电磁 学问题4理想化假设理想化物理7模型EM方程与

5、崎初始、边界条件5 / 7典型问题-严格解级数表示法数值计算法GO PO GTDPTD UAT 积分方程问题（已知媒质、定解条件求源分布）（已知纯量泛函，求极值）代数方程组解法离散的数学模型（代数方程组）* （数据处理）离散解（数 值 解）（后处理）线性 非线性离散系统结果校验和比对积分方程型积分方程型 微分方程型 微分方程型待求物理量和电磁参数解答与显示图1.2电磁场数值计算流程图由流程图可见，除了各种数值方法为核心内容外，分析人员必须具备一定的数学、物理基础及相应专业的专门知识，建模中还需实践知识和经验的积累，合理地利用理想化或工程化假设，准确地给出问题的定解条件（初始条件、边界条件）并在

6、计算流程的前处理、数 据处理和后处理等计算机编程和应用方面具备相应的基础。电磁数值计算的核心是各种实用的数值计算方法，它们是将原连续型数学模型转化为 离散型数学模型的基础。目前常用的数值方法有：应用于微分方程型数学模型的有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）应用于积分方程型数学模型的模拟电荷法（CSM : Charge Simulation Method）、矩量法（MOM）和边界元法（BEM）基于直接积分运算关系式的数值积分法 混合法一一各类数值计算方法的组合§ 1.3麦氏方程组宏观电磁现象的基本规律可以用麦克斯韦方程组表示，即、 H>:D.:t'、E =.:B:t(

7、1)此外，描绘运动电荷守恒的电流连续性方程和洛仑兹力公式可表示为:(2)(3)(4)'、B=0式中，E 电场强度（v：m）;H 磁场强度（Am）D 电位移矢量（Cm2 ）； B 磁感应强度（T ）J 电流密度（Am）；-电荷密度 （C m3）为表征电磁场作用下的媒质宏观电磁特性，媒质本构方程为J » E式中；为介电常数，为磁导率，二为电导率。f 二 q(E v B)式中f为运动电荷的洛仑兹力，q为运动电荷电量，v为运动电荷的速度矢量。与麦氏方程微分形式对应的积分形式表示为:(#)iH dl 7 dS ； sD dSB dS:t ssB dS 二 0s D dS 二 v SV&

8、#167; 14场向量微分方程对于线性、均匀且各向同性媒质，当场域中无自由电荷分布时，由式（1）取旋度可得:-u2 uU ： H 八（；E）（巳徨徨渔2v： H 八 C H ） _ 2H 二 -'、2H则同理可得(7)' 2 E = 0(10)式和为场向量H,B,E和D满足的一般化齐次波动方程。在特定情况下可归纳为：理想介质（；-0）中的波动方程/V2.:t2(8)导电媒质（；）中的涡流方程H(9)%2 _M_Lb=0J J无空间电荷分布（:，-0）时的静态电场方程无传导电流分布（J =0）的恒磁场方程§ 15位函数与定解条件通常电磁场求解问题中的场向量微分方程对应着

9、三个标量微分方程，在场点处，待求场的自由度数为3，离散化处理后的等价离散数学的自由度数一般相当可观，为有效地减少待 求量的自由度数，提高计算效率，在电磁计算中引入和应用如下动态位，即(12)式中A为矢量位函数，为标量位函数。 A和T满足洛仑兹规范:(13)'、4 二亠：A和'分别满足如下位函数波动方程(14)方程、和（14）阐明了场量及位函数的“共性”数学描述。对不同的实际电磁问题而言， 实际物理问题的背景一一电磁问题的“个性”描述一一定解条件是数学模型构造的另一个重要因素。即由给定方程与定解条件组合才能构成有唯一解的偏微分方程的定解问题。定解条 件包括待求场函数 u（r,t）

10、的初始条件和边界条件。初始条件：初始瞬间待求场函数u（r,t）在场域处的值，即以及场域各处u对时间的变化率=f2(r)t=0边界条件：场域边界S上待求场函数u的边界值 a.场域边界S上的场函数值（第一类边值问题）us =血：t)式中厂为相应边界点的位矢 b.场域边界上场函数的法向导数值（第二类边值问题）=f2（r；t）SC.场域边界上场函数及其法向导数的线性组合（第三类边值问题）二 f4（r ,t）S不同媒质分界面上的边界条件就位于分界面上的场点而言，麦克斯韦方程组的微分形式已失去意义，为此，必须按媒质的物理性质，分域定解处理。这样，作为定解条件的又一方面，必须给出不同媒质分界面上的边界条件。的法向分量一般是不连续的，其不连续值相当于在界面上可能存斤（D1 一 D2）= ： s在的面电荷密度