数列找规律（课堂PPT）

1、1找找 规规 律律潘潘 建建 明明常州市初中数学教育潘建明名师工作室企划常州市初中数学教育潘建明名师工作室企划主题拓展性学习主题拓展性学习江苏省常州金坛市华罗庚实验学校江苏省常州金坛市华罗庚实验学校21 1观察下列各组数，尝试写出第观察下列各组数，尝试写出第n n个数：个数：（1 1）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5， n n数列：数列：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，2n一、自觉体悟一：探究体验一、自觉体悟一：探究体验2n若无特殊说明，本节课中的字母若无特殊说明，本节课中

2、的字母n n都表示都表示正整正整数数，并且，并且n n从从1 1开始开始。3（2 2）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n数列：数列：2 2，4 4，8 8，1616，3232，（1）经历了一个）经历了一个类比类比的过程，体验了的过程，体验了类比类比的数学思想。的数学思想。数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！2n2n（2）经历了一个）经历了一个从特殊到一般从特殊到一般的过程，体验了的过程，体验了从特殊从特殊到一般到一般的数学思想。的数学思想。4生活模型生活模型1 1

3、折纸：层数折纸：层数2 2拉面：根数拉面：根数基于哲学的思考：基于哲学的思考：不能孤立、静止地看问题，加强不能孤立、静止地看问题，加强事物（事件）之间的联系，特别是与生活的联系。事物（事件）之间的联系，特别是与生活的联系。2n2n248248数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！5（3 3）有一列数：）有一列数：1 1，3 3，6 6，1010，1515，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n数列：数列：1 1，3 3，6 6，1010，1515，1=11=1，1+2=31+2=3，1+2+3=61+2+3=6，1+2+3+4=101

4、+2+3+4=10，1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15，1+2+3+1+2+3+（n-1n-1）+n=+n=数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！) 1(21nn) 1(21nn) 1(21nn6生活模型生活模型2圆形物体堆放的圆形物体堆放的层数层数与与总个数总个数的关系的关系1 13 36 61 1线段的条数线段的条数1 13 36 6) 1(21nn) 1(21nn71 1观察下列各组数，尝试写出第观察下列各组数，尝试写出第n n个数：个数：（1 1）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，则第则第n n个数是个数是 ；（2 2）有一列数：）有一

5、列数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，则第则第n n个数是个数是 ；（3 3）有一列数：）有一列数：1 1，3 3，6 6，1010，1515，则第则第n n个数是个数是 ；2n2n) 1(21nn温故知新：什么是找规律？温故知新：什么是找规律？初步感知：初步感知：我们试图用我们试图用一个代数式一个代数式表示出一个数列表示出一个数列的的演变准则演变准则。核心概念一：核心概念一： 找出找出一个代数式来表示某事物（或事件）一个代数式来表示某事物（或事件）的演变准则的演变准则的过程的过程叫做找规律。叫做找规律。要关注找规律的方法的多样性要关注找规律的方法的多样性8（4）有一列数：）有一列

6、数： ， ， ， ， ，第，第n个数个数 ； 21521031742651) 1(2nnn操作感悟：操作感悟：说说你探究的步骤有哪些？说说你探究的步骤有哪些？（1 1）分析；（）分析；（2 2）尝试；（）尝试；（3 3）归纳；（）归纳；（4 4）验证。）验证。核心知识二：核心知识二：找规律步骤：析、试、归、验找规律步骤：析、试、归、验1 1、观察分析：与序号联系；、观察分析：与序号联系；2 2、推理尝试：纵横向类比；、推理尝试：纵横向类比；3 3、猜想归纳：写出关系式；、猜想归纳：写出关系式；4 4、验证规律：取多值验证。、验证规律：取多值验证。9（4）有一列数：）有一列数： ， ， ， ，

7、，第，第n个数个数 ； 21521031742651) 1(2nnn也可以表示成：也可以表示成：（1 1）当）当n n为奇数时，第为奇数时，第n n个数为个数为 ；（2 2）当）当n n为偶数时，第为偶数时，第n n个数为个数为 ；12nn12nn体现了体现了分类思想分类思想102 2暴露差异：暴露差异：观察下列各组数，请尝试写出第观察下列各组数，请尝试写出第n n个数：个数：（1）有一列数：）有一列数：-3，-5，-7，-9，-11，则第，则第n个数是个数是 ；（2 2）有一列数：有一列数：1，4， 9，16，25，则第，则第n个数个数 ；2121) 1() 1(nnnn或2n-（2n+1）

8、 当当n n为奇数时，第为奇数时，第n n个数为个数为 ； 当当n n为偶数时，第为偶数时，第n n个数为个数为 。2n11二、自觉体悟二：做中感悟二、自觉体悟二：做中感悟 问题：问题：一张矩形纸条的面积为一张矩形纸条的面积为1 1个平方单个平方单位，对这张矩形纸条进行平行方向连续位，对这张矩形纸条进行平行方向连续n n次对次对折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量是变化的？将提出什么问题？是变化的？将提出什么问题？ 序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n层数：层数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，面积：面积： ， ，

9、， ， ，折痕：折痕：1 1，3 3，7 7，1515，3131， 2n-1214181161n212n32112经验升华：建立联系经验升华：建立联系已知：一张矩形纸条的面积为已知：一张矩形纸条的面积为1 1个平方单位，现将纸个平方单位，现将纸条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，填写下表：填写下表：对折次对折次数数所得层数所得层数（层）（层）单层面积（平方单层面积（平方单位）单位）折痕条数（条）折痕条数（条）1 1 2 2 3 3 4 4 n n 13经验升华：建立联系经验升华：建立联系已知：一张矩形纸条的面积为已知：一张矩形纸条的面积为1

10、1个平方单位，现将纸个平方单位，现将纸条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，填写下表：填写下表：对折次对折次数数所得层数所得层数（层）（层）单层面积（平方单层面积（平方单位）单位）折痕条数（条）折痕条数（条）1 1 2 2 1 12 2 4 4 3 33 3 8 8 7 74 4 16 16 15 15 n n 2 2n n 2 2n n-1-1214181161n21说说你有什么感悟？说说你有什么感悟？14三、变式引领三、变式引领例例1 1观察：观察：9 91=21=24 4；25251=41=46 6；49491=61=68 8；81811

11、=81=81010；按；按此规律写出第此规律写出第n n个等式是个等式是 。你的解题策略是什么？你的解题策略是什么？ 15例例1 1观察：观察： 9 91=21=24 4； 3 32 21=21=24 4； 1 1 25251=41=46 6； 5 52 21=41=46 6； 2 2 49491=61=68 8； 7 72 21=61=68 8； 3 3 81811=81=81010； 9 92 21=81=81010； 4 4 ；第第n n个等式是个等式是（ ）2 2-1=( )-1=( )（ ）。 你的验证策略有哪些？你的验证策略有哪些？左边左边=4n=4n2 2+4n+1-1= 4n+

12、4n+1-1= 4n2 2+4n+4n；右边右边= 4n= 4n2 2+4n=+4n=左边；所以等式成立。左边；所以等式成立。 解完这道题你有什么感悟？解完这道题你有什么感悟？ 数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！2n+12n2n+216例例1 1观察：观察： 9 91=21=24 4； 3 32 21=21=24 4； 1 1 25251=41=46 6； 5 52 21=41=46 6； 2 2 49491=61=68 8； 7 72 21=61=68 8； 3 3 81811=81=81010； 9 92 21=81=81010； 4 4 解法分析解法分析1 1改变已知等式的改变

13、已知等式的排列形式排列形式利于观察分析；利于观察分析；2 2抓住抓住变与不变变与不变利于推理尝试；利于推理尝试；3 3紧扣与紧扣与序号序号关联关联利于猜想归纳；利于猜想归纳；4 4归纳是否正确归纳是否正确一定要一定要验证验证。体现了数学中的体现了数学中的转化思想转化思想第第n n个等式是个等式是 （2n+12n+1）2 2-1=2n-1=2n（2n+22n+2）。17例例2 2下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：房子： 观察图形的变化规律，则第观察图形的变化规律，则第n n个小房子用个小房子用的石子块数为的石子块数为 个个nnnn412) 1(2218解法

14、分析解法分析1 1观察、分析，观察、分析，分离图形分离图形；2 2分类推断分类推断；3 3组合归纳组合归纳；4 4验证验证。体现了体现了分解与组合分解与组合的数学的数学思想思想19例例2 2下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：房子： 观察图形的变化规律，则第观察图形的变化规律，则第n n个小房子用个小房子用的石子块数为的石子块数为 个个nnnnn4) 1(322021如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形：（1）拼一个金鱼需要 根火柴；（2）拼三个金鱼需要 根火柴；（3）拼n个金鱼需要 根火柴。8=6+28=6+220=36+2 6n+2四、形成测试四、形成

15、测试22解法分析解法分析1 1观察、比较观察、比较各个图形间的关联各个图形间的关联；2 2分离出分离出基本图形；基本图形；3 3每一个每一个基本图形与火柴棒数量的关系；基本图形与火柴棒数量的关系；4 4基本图形的数量基本图形的数量与序号的关系与序号的关系。体现数学中的体现数学中的基本图形思想基本图形思想23五、自觉回归五、自觉回归2 2知识结构分析知识结构分析探求数列的规律探求数列的规律探求图形的规律探求图形的规律探求等式的规律探求等式的规律1 1概念回顾概念回顾 找出找出一个代数式来表示某事物（或事件）的演变一个代数式来表示某事物（或事件）的演变准则准则的过程的过程叫做找规律。叫做找规律。2

16、43找规律步骤：析、试、归、验找规律步骤：析、试、归、验（1 1）观察分析：与序号联系；）观察分析：与序号联系；（2 2）推理尝试：纵横向类比；）推理尝试：纵横向类比；（3 3）猜想归纳：写出关系式；）猜想归纳：写出关系式；（4 4）验证规律：取多值验证。）验证规律：取多值验证。25有一列数：有一列数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n数列：数列：2 2，4 4，8 8，1616，3232，（1）经历了一个）经历了一个类比类比的过程，体验了的过程，体验了类比类比的数学思想。的数学思想。2n2n

17、（2）经历了一个）经历了一个从特殊到一般从特殊到一般的过程，体验了的过程，体验了从特殊从特殊到一般到一般的数学思想。的数学思想。4数学思想回顾数学思想回顾26例例1 1观察：观察： 9 91=21=24 4； 3 32 21=21=24 4； 1 1 25251=41=46 6； 5 52 21=41=46 6； 2 2 49491=61=68 8； 7 72 21=61=68 8； 3 3 81811=81=81010； 9 92 21=81=81010； 4 4 解法分析解法分析1 1改变已知等式的改变已知等式的排列形式排列形式利于观察分析；利于观察分析；2 2抓住抓住变与不变变与不变利于

18、推理尝试；利于推理尝试；3 3紧扣与紧扣与序号序号关联关联利于猜想归纳；利于猜想归纳；4 4归纳是否正确归纳是否正确一定要一定要验证验证。（3）体现了数学中的）体现了数学中的转化思想转化思想第第n n个等式是个等式是 （2n+12n+1）2 2-1=2n-1=2n（2n+22n+2）。27解法分析解法分析（4）分解与组合的数学思想）分解与组合的数学思想28解法分析解法分析（5）基本图形思想）基本图形思想29七、自觉创新：七、自觉创新： 你能否自编你能否自编(或改编或改编)一题探索规律一题探索规律问题给同学来求解吗？问题给同学来求解吗？30评价关注点评价关注点1 1、自我评价；、自我评价；2 2、同伴互评；、同伴互评；3 3、老师点评；、老师点评；4 4、优秀协作小组评选；、优秀协作小组评选；5 5、“创新之星创新之星”评选。评选。31 作作 业业A A组题：组题：1将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表，则an_（用含n的代数式表示）所剪次所剪次数数 1 2 3 4n正三角正三角形个数形个数4710 13 an322观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规观察下面的点阵图和相应