初等代数研究练习题

1、1、填空题1 已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)=_。322、 多项式x x2x 2表示成(x-1 )的幕的多项式的形式为 _3、_ 已知l0g35 =a,|og57 =b,则|og63105 =_。cot日tan日4、=cot日-cot 3日tan日-tan3日5、六本不同的书，按下列条件分配，各有多少种不同的分法(1 )分给甲乙丙三人，每人2 本，则有_ 种分法。(2)分成三份，每份 2 本，则有 _ 种分法。6、 线性规划问题中决策变量应满足的条件称为 _ .7、 将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，若第r 个约束条件为a”

2、Xi anXn乞br，则引入-变量Xn.r_08、 使目标函数达到 _的可行解称为最优解。9、 若原线性规划中有 n 个变量，则其对偶规划中一定有 _个方程。10、 用单纯形法解线性规划问题时，若检验数有负，则要进行 _。二、计算题3小2cos：=2,求sinsin a +cos132、 计算cos-arccot()的值。2423、 解方程x+3x 4 = 2x 1 14、设正方形 ABCD 的边长为 1, P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若 APQ 的周长为 2,求/PCQ。5、设正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为 a,试求 B 到平面 AB Q 的距离。6、用单纯性法

3、解线性规划问题maxS=80 x1+45x220 x1+5x40015 1 时，方程为x 3x -4 = 2x -2,即x 5x -6 = 0-1 717X二24、将厶 CDQ 绕点 O 旋转 90至厶 CBQ 如图则有 CQDCBQ 则有 CQ=CQ DQ=BQ 因为 APQ 的周长为 2,所以有 PQ=PB+DQ 故由PQ=PQ因此由及 PC 公边有 CPQCPQ则/ PCQ=/ PCQ 而/ QCQ 90 / PCQ=45 。5、 解：我们先证明 BD1丄平面 AB1C事实上因 ABCD A1B1C1D1为正方体，则 DD1丄平面ABCD。因此DD1丄 AC又因 ABCD 为正方形 AC

4、 丄 BD 而 DD1和 BD 相交 所以，AC 丄平面BDD1BD1在平面 BDD1上 因此 BD1丄 AC 同理 BD1丄 AB1所以 BD1丄平面 AB1C设垂足为 H，由于易知 AB1C 必为等边三角形，故易知 H AB1C 的中心，连接 BH，则/ BHB1=90由于 AB1= B1C=CA=、2a则 B1H=2 AB1= .2a=0a333解得X1八2，X2 /所以 x=11、n xn1 时，方程为2此时方程无解1-4 _ x 时，2(2)(3)2x 5x -6=0解得Xl6，X2/解得(4)x二_4时,方程为2 5x - 4 = 0解得x =-5 _ 412所以-5 - . 41

5、2综上知，方程的解为-5 - ,415这就是 B 到平面 ABiC 的距离。6、解：(1)将此线性规划问题化为标准形式maxS=80 x1+45x2广 20X,+ 5X2+x3=40015X,+10X2+X4=450.Xi,X2,X3,X40(2)进一步化为典式形式maxS.-20X1+ 5X2+X3=400(3)用下列表格表示上式20015-5104001001450S-80-45000得基可行解X(0)= (0,0,400,450)T(4)进行换基迭代由于 min-80,-45=-80,因此X1入基这时 20 为主元，将 20 框出把表中第一列除 20 以外都化为 0，后把 20 变为 1

6、10202所以BH=BBi-BiH3a.a)15X1+ 10X2+X4=450S-80X1-45X2=0X2，X3，-X1，X4-0由于 min4002045015=40020,所以X3出基601150S0-25401600迭代后，新基变量为X1，X4，而非基变量为X2，X37令X2=X3=0，得新基可行解X (20,0,0,150)T由于检验数仍有负数，重复上面工作-25 是X2系数，则X2入基444对上表施行行初等变换得10140124S00142200令X3=X4=0，得基可行解X2= (14,24,0,0)T(5)此时检验数均为正数，故X2为最优解，最优值为 2200三、证明题1、证明

7、：过 C 引 EF 的平行线交 AB 的延长线于 G,则由 EF / CG 得AE AFEC FG而 BD=DC ，故 BF=FG2、证明：连接 BF 得 Rt ABF再过 A 作 AP 的垂线交 CF 的延长线于 G,又得到 Rt APG AFPB 内接于圆/ 1 = / 2 AF=AG ABFAPG AB=AP 3、证明:(1) 令 x=y=0 ,则 f(0)=2f(0)所以 f(0)=0令 y=-x,贝 U f(0)=f(x)+f(-x)所以 f(-x)=-f(x)(2) m=0 时，f(0)=0;m=1 时，f(x)=f(x)m2 时，对 m 用数学归纳法证明f(mx)=mf(x)k=

8、2 时,f(2x)=f(x+x)=2f(x) 假设， f(mx)=mf(x)则 f(m+1)x=f(mx+x)=mf(x)+f(x)=(m+1)f(x) 所以 m2 时，f(mx)=mf(x)所以 m0 时，f(mx)=mf(x)mW-1 时，设 m=-n , n N又 min20 150150小t甘T 25= 25X出基，25为主元(1)代入(1)式得AEECAFBF8则 f(mx)=f(-nx)=_f(nx)=_nf(x)=mf(x)综上,m Z 时，f(mx)=mf(x)(3)可设r=巴，其中 m,n Z,且 n 0n于是nf (mx) = f (mx)二mf (x)n所以f (rx)二rf (x), r Q四、简答题Iinin1、解：令S=-S，X4启 0，X5KO，x3=x3-x3，X3，X320，于是 maxS= 2X+3X?-(x3-x3)X-X2+2(X3-x3)-X4=81n2X+X?-3(X3-X3)+X5=20InX1-X2-2(X3-X3)=2X!，X2，X3,X3,X4，XO1 1、Bi=P，P2=J3丿-1B2=P2，P3l-1 3丿对B1来说，X1,X3是基变量，X2是非基变量令X2=0 得约束方程的解X1=2.X3=2