《角的平分线的性质（2）》名师教案(人教版八年级上册数学）

1、12.3 角的平分线的性质2 杨香胜一、教学目标一学习目标1.了解角的平分线的判定定理；2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.二学习重点角平分线的判定及其应用.三学习难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.二、教学设计一课前设计1.预习任务1角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上2角平分线判定定理的符号语言：PAOM ,PBON ,PAPB12OP平分MON2.预习自测1到角的两边距离相等的点在 上.2到三角形三边的距离相等的点是三角形 A.三条边上的高线的交点 B. 三个内角平分线的交点C.三条边上的中线的交点 D.以上结

2、论都不对3在ABC中 ,C=90°,AD平分BAC ,BC=5cm,BD=3cm,那么D到AB的距离是_ ,B=40° ,那么CDA= .预习自测答案：1角平分线 2B 32cm ,65° (二)课堂设计1.知识回忆1角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？生 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上 ,结论是这个点到角两边的距离相等.2角平分线性质定理的作用是证明什么？生证明垂线段相等3填空 如图：OC平分AOB , OAAC,OBBC .AC=BC角平分线性质定理2. 问题探究探究一 角平分线的判定活动 回忆旧知 ,回忆类活

3、动把角平分线性质定理的题设、结论交换后 ,得出什么命题？猜测：它正确吗？ 由学生抢答 ,然后师生归纳：到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的.【设计意图】由性质到判定强化二者的关系活动 证明上面的猜测学生依据猜测写出、求证 ,并画图 ,而后独立写出证明过程.展示学生的学习成果： OMPA于A ,ONPB于B ,AP=BP求证： OC平分MON证明：PAOM ,BPONOAP=OBP=90°在RtAOP和RtBOP中RtAOPRtBOPHL1=2 OC平分MON【设计意图】进一步稳固全等三角形的判定.活动归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点 ,在这个角的平分线上.P

4、AOM ,PBON ,PAPB12OP平分MON【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究二 角平分线性质和判定的区别与联系活动现有一条题目 ,两位同学分别用两种方法证明 ,他们的做法正确吗？哪一种方法好？： CAOA于A ,BCOB于B ,AC=BC求证： OC平分AOB证法1：CAOA ,BCOBA=B在AOC和BOC中AOCBOCHLAOC=BOC OC平分AOB证法2：CAOA于A ,BCOB于B , AC=BCOC平分AOB角平分线判定定理先让学生答复 ,最后老师归纳：两种方法都正确 ,“方法2好 ,证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出 ,可直接运用角平分线判定定理.【设计意图

5、】让学生体会角平分线判定定理的作用.活动 学生结合图形完善表中内容 ,教师对个别学生教学指导.题设结论作用角平分线性质角平分线判定展示学生学习成果：题设结论作用角平分线性质12OP平分MON ,PAOM ,PBONPAPB证明垂线段相等角平分线判定PAOM ,PBON ,PAPB12OP平分MON证明角相等平分角【设计意图】为归纳角平分线的性质和判定的关系作铺垫.活动提问：角平分线的性质和判定之间有什么关系？先让学生答复 ,最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线判定的结论 ,角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等 ,角平分线判定的作用是证明平分角；角平分

6、线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究三 利用角平分线的判定进行证明与计算活动 根底性例题今天我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性 ,随着学习的深入 ,解决问题越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题 ,我们可以直接利用角平分线的性质 ,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等例1. ：如下图 ,CC90° ,ACAC求证：1ABCABC；2BCBC要求：不用三角形全等判定【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】由条件CC90° ,

7、ACAC ,可以把点A看作是CBC平分线上的点 ,由此可翻开思路【解题过程】 证明：1CC90° ,ACBC ,ACBC垂直的定义又ACAC ,点A在CBC的角平分线上到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上ABCABC2CC ,ABCABC ,180°CABC180°CABC即BACBAC ,ACBC ,ACBC ,BCBC角平分线上的点到这个角两边的距离相等【设计意图】区别角平分线的性质和判定.练习：如图 ,AB=AC ,DEAB于E ,DFAC于F ,且DE=DF.求证：BD=DC【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.【思路点拨】由DE

8、=DF ,可得BAD=CAD角平分线的判定 ,那么ADBADC ,所以BD=CD【解题过程】证明：DEAB ,DFAC ,且DE=DF BAD=CAD 又AB=AC ,AD=AD ADBADC BD=CD【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.活动2 提升型例题例2如图 ,ABC中 ,点O是ABC内一点 ,且点O到ABC三边的距离相等；A=40° ,那么BOC=A110°B120°C130°D140°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】由 ,O到三角形三边距离相等 ,得O是内心 ,再利用三角形内角和定理

9、即可求出BOC=的度数.【解题过程】由 ,O到三角形三边距离相等 ,所以O是内心 ,即三角形角平分线交点 ,AO、BO、CO都是角平分线 ,所以有CBO=ABO=ABC ,BCO=ACO=ACB ,ABC+ACB=180°40°=140° ,OBC+OCB=70° ,BOC=180°70°=110°应选A.【答案】A【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.练习：如图 ,ABC中 ,点O是ABC内一点 ,且点O到ABC三边的距离相等；A=52° ,那么BOC=A128°B116°C75°

10、;D52°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】根据三角形内角和定理求出ABC+ACB=128° ,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是ABC角平分线的交点 ,再根据角平分线的定义求出OBC+OCB的度数 ,然后在OBC中 ,利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解【解答过程】解：如图 ,A=52° ,ABC+ACB=180°-52°=128° ,点O到ABC三边的距离相等 ,点O是ABC角平分线的交点 ,在OBC中 ,BOC=180°-OBC+OCB=180°-

11、64°=116°故答案为：116°【答案】B【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.例3. ：如图 ,AD、BE是ABC的两个角平分线 ,AD、BE相交于O点.求证：O在C的平分线上.【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】由AD、BE是ABC的两个角平分线 ,可以得到垂线段OG与ON相等 ,OG与OM相等 ,再由垂线段ON与OM相等 ,得到O在C的角平分线上.【解题过程】证明：过O作OGAB ,OMBC ,ONAC ,AO平分BAC ,OG=ON ,BO平分ABC ,OG=OM ,ON=OM ,O在C的平分线上.【设计意图】进一步理解角平分线的

12、性质与判定的关系.练习：如图 ,BP是ABC的外角平分线 ,点P在BAC的角平分线上求证：CP是ABC的外角平分线【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF ,PD=PE ,由此可得PE=PF ,根据角平分线的判定可得PC平分BCE【解题过程】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF ,BP是ABC的外角平分线 ,PDAD ,PFBC ,PD=PF角平分线上的点到角两边的距离相等 ,点P在BAC的角平分线上 ,PDAD ,PEAE ,PD=PE角平分线上的点到角两边的距离相等 ,PF=PE ,PFBC ,PEAE ,CP是ABC的外

13、角平分线在角的内部 ,到角两边距离相等的点在角的平分线上【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系活动3 探究型例题例4. 如图 ,BE=CF ,DEAB的延长线于点E ,DFAC于点F ,且DB=DC ,求证：AD是BAC的平分线【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.【思路点拨】由BE=CF , DB=DC ,可得RtBDERtCDFHL ,所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是BAC的平分线【解题过程】证明：DEAB的延长线于点E ,DFAC于点F ,BED=CFD ,BDE与CDF是直角三角形 ,RtBDERtCDF ,DE=DF ,AD是BAC的平分线【设

14、计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.练习：如图 ,在ABC中 ,D是BC的中点 ,DEAB ,DFAC ,BECF. 求证：AD是ABC的角平分线.【知识点】角平分线的判定；三角形全等.【思路点拨】由D是BC的中点 ,BECF ,可得RtBDERtDCFHL那么DE=DF ,所以AD是ABC的角平分线.【解答过程】证明：DEAB ,DFAC ,BDE和CDF是直角三角形RtBDERtCDFHL ,DE=DF ,又DEAB ,DFAC ,AD是角平分线【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.3. 课堂总结知识梳理以课堂内容为根据 ,结合教学目标的几点要求 ,对涉及到的知识

15、细致梳理1能证明角平分线判定定理；2理解角平分线的性质和判定的关系；3能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.重难点归纳本节课的中心知识点在此进行回忆 ,对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨1理解角平分线性质与判定的关系；2灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.三课后作业根底型 自主突破1如图 ,AOB=60° ,CDOA于D ,CEOB于E ,且CD=CE ,那么DOC=_.【知识点】角平分线的判定【思路点拨】由CDOA ,CEOB ,CD=CE ,可得AOC=BOC=30°【解答过程】解：CDOA ,CEOB ,CD=CE ,AOC=BOCAOB=60

16、° ,【答案】30°2.如图 ,在RtABC中 ,B=90°,A=40° ,DEAC且DB=DE,那么BCD=_.【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。【思路点拨】由B=90°,A=40° ,可得ACB=50°由DEAC ,ACDE ,DB=DE,可得ACD=BCD=25°【解答过程】B=90°,A=40° ,ACB=50° ,DEAC ,ACDE ,DB=DE,ACD=BCD=25° ,即BCD=25°【答案】25°31如图 ,1 =2 ,DEAB

17、 , DFAC ,垂足分别为E、F ,那么 2DEAB ,DFAC ,垂足分别为E、F ,且DE = DF ,那么 【知识点】角平分线的性质和判定定理【思路点拨】1由角平分线的性质可得DE=DF；2由角平分线的判定可得1=2.【解答过程】11 =2 ,DEAB , DFAC ,DE=DF2DEAB ,DFAC , DE = DF ,1 =2.【答案】DE=DF1=24.PB ,PC分别是ABC的外角平分线且相交于P求证：P在A的平分线上如图【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】过P点作PE ,PH ,PG分别垂直AB ,BC ,AC由PB ,PC分别是ABC的外角平分线可得PE=PH ,

18、PH=PG ,所以PE=PG ,由此可得P点在A的平分线上【解答过程】证明：过P点作PE ,PH ,PG分别垂直AB ,BC ,ACPB ,PC分别是ABC的外角平分线 ,PE=PH ,PH=PG ,PE=PGP点在A的平分线上5. 如图 ,ABCD ,点P到AB、BC、CD距离都相等 ,那么P= °【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理.【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是ABC和BCD的平分线 ,再由ABCD ,可得ABC+BCD=180° ,即CBP+BCP=90° ,所以P=90°

19、【解答过程】点P到AB、BC、CD距离都相等 ,BP、CP分别是ABC和BCD的平分线 ,CBP=ABC,BCP=BCDCBP+BCP=ABC+BCDABCD ,ABC+BCD=180° ,CBP+BCP=×180°=90° ,P=180°-CBP+BCP=180°-90°=90°【答案】906. 如图 ,ABC ,AD是ABC的角平分线 ,DEAB ,DFAC ,垂足分别为E、F ,有以下四个结论：DA平分EDF； AB=AC； AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE ,AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等

20、其中正确的结论有A1个B 2个C 3个D4个【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等【思路点拨】由AD是ABC的角平分线 ,DEAB ,DFAC可得DE=DF,再由AD=AD, DE=DF,可得ADEADF可得EDA=FDA.【解答过程】AD是ABC的角平分线 ,DEAB ,DFACDE=DF,又AD=ADADEADFHLEDA=FDA即正确；AD上的点到DE和DF的距离相等 ,AD上的点到AE和AF的距离也相等 ,即正确根据条件不能证明AB=AC, AD上的点到B、C两点的距离相等也不成立.【答案】B能力型 师生共研1.如图 ,在四边形ABCD中 ,A=90° ,AD=5 ,连接

21、BD ,BDCD ,ADB=C假设P是BC边上一动点 ,那么DP长的最小值为 【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离【思路点拨】根据垂线段最短 ,当DPBC时 ,DP的长度最小 ,易证ABD=CBD ,根据角平分线的判定定理可得AD=DP ,即DP长的最小值为5【解答过程】解：当DPBC时 ,DP的长度最小 ,BDCD ,即BDC=90° ,又A=90° ,A=BDC ,又ADB=C ,ABD=CBD ,又DABA ,DPBC ,AD=DP ,又AD=5 ,DP=5【答案】52：如图 , ,是的中点 ,平分1假设连接 ,那么是否平分？请你证明你的结论21

22、34DCMBA2线段与有怎样的位置关系？请说明理由【知识点】角平分线的性质和判定；平行线的性质和三角形内角和定理【思路点拨】1过点M作MEAD于点E ,再根据角平分线的性质得到MC=ME ,由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB ,再结合MBAB ,MEAD即可证得结论；2根据角平分线的性质可得 ,由B=C=90º可得AB/CD ,即可得到ADC+BAD=180º ,再根据角平分线的性质求解即可.【解答过程】1平分证明：过点作 ,垂足为角平分线上的点到角两边的距离相等又 ,平分到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上2 ,理由如下：垂直于同一条直线的两条直线平行两直线

23、平行 ,同旁内角互补又 ,角平分线定义即2134探究型 多维突破1.如图 ,ABC中 ,ABC和ACB的外角平分线BP、CP交于P ,PEAC于E ,假设ABC的周长为12 ,PE=2 ,SBPC=3 ,那么SABC=_【知识点】角平分线的性质和三角形面积.【数学思想】利用割补法求三角形面积.【思路点拨】过点P作PFBC于F ,作PGAB于G ,根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2 ,BCP的高为2 ,那么BC长为3 ,AC+AB=9,那么四边形ABPCD的面积为9把四边形ABPCD沿AP分成两个三角形割补法 ,从而SABC=6【解题过程】如图 ,过点P作PFBC于F ,作PGAB于G

24、,ABC和ACB的外角平分线BP、CP交于P ,PF=PG=PE=2 ,SBPC=3 ,BC2=3 ,解得BC=3 ,ABC的周长为12 ,AC+AB=12-3=9 ,SABC=SACP+SABP-SBCP=×9×2-3 =9-3=6故答案为：62.如图 ,PB丄AB ,PC丄AC ,且PB=PC ,D是AP上的一点 ,求证：BDP=CDP【知识点】角平分线的判定定理；全等三角形的判定和性质.【思路点拨】去证明BDP和CDP或BDA和CDA所在的两个三角形全等.【解题过程】证明:PBAB ,PCAC ,PB=PCBAD=CAD在RtABP和RtACP中 ,RtABPRtAC

25、PHL ,AB=AC在ABD和ACD中 ,AB=AC ,BAD=CAD ,AD=AD ,ABDACDSAS ,BDA=CDABDP=CDP自助餐1到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点【知识点】角平分线的判定定理.【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.【解答过程】解：如图 ,OE=OF,OEBC,OFABO在B的平分线上 ,同理可得O在A的平分线上 ,O在C的平分线上 ,O为三条角平分线的交点.【答案】D2如图 ,ADOB ,BCOA ,垂足分别为D、C ,AD与BC相交于点P ,假

26、设PA=PB ,那么1与2的大小是A.1=2B12C12D无法确定【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定【思路点拨】易证PCAPDB(AAS) ,由此可得CP=DP,根据角平分线的判定定理可得1=2.【解答过程】ADOB ,BCOA ,ACP=BDP=90°APC=BPD,CP=DPPCAPDB(AAS) ,CP=DP,1=2.【答案】A3如图 ,PAON于点A ,PBOM于点B ,且PAPB ,MON50° ,OPC30° ,那么PCA 【知识点】角平分线的判定；三角形的外角性质【思路点拨】由PAON ,PBOM ,PAPB ,可得NOP=MOP=25°, 那么PCA=NOP+OPC=55°【解答过程】解：PAON