数值分析考试复习总结

1、(3) 第一章 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题： 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些 阶段将有哪些误差产生？ 答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差： 建立数学模型过程中产生：模型误差 参数误差 选用数值方法产生：截断误差 计算过程产生：舍入误差传播误差 6设 a 0.937 关于精确数x有 3 位有效数字，估计a的相对误差.对于f (x) .1 x，估计 f(a)对于f(x)的误差和相对误差. 解a的相对误差：由于 1 3 x a | E(x) | x a - 10 . Er(x) - , 2 x 1 2 1

2、 2 Er(x) - 10 2 10 2. (Th1) 2 9 18 f(a)对于f(x)的误差和相对误差. | Er(f)| 10 3. 1 a 4 10 3 . 2 有效数字 基本原则：1 两个很接近的数字不做减法： 2： 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题： 4改变下列表达式使计算结果比较精确： I E(f )| | .、1 x 1 a|.1 : 2 10 3 2 0.25 =10 解 2x2 (1 x)(1 2x). 1 cosx sin 2 x sin x .x 1 x) (3) x(1 cosx) 1 cosx(1) 1 1 x 1 2x 1 J x (2) .x 丄

3、1 J x x (3) 1 cos x 对x J x 对 I x | 1； 对x 1; 0,|x| 1. 第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1） 插值基函数（因子）可简洁表示为 n n 其中： n（X） （X Xj）, n Xi （X： Xj）. j 0 j 0 j i 例 1 n=1 时，线性插值公式 R（x） y （X X1） （X X0）， （Xo Xi） （Xi Xo） 例 2 n=2 时，抛物插值公式 牛顿（Newton）插值公式 由差商的引入，知 （1） 过点X0 , X1的一次插值多项式为 其中 （2） 过点X0, X1, X2的二次插值多项式 为 其中 重点是分段插值： 例题：

4、 1.利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）： (1) -1 0 1/2 1 -3 -1/2 0 1 (2) -1 0 1/2 1 -3/2 0 0 1/2 解： 方法一.由 Lagrange 插值公式 可得： L3（X） X2（X 1.2） 方法二令 3 1 由L3（ 1） ， L3 （1），定 A， B （称之为待定系数法） 2 2 15.设f （x） X2，求f（x）在区间0,1上的分段线性插值函数fh（x），并估计误差，取等距 节点，且h 1/10. 解 f（x） X2， Xi ih ， i 0,1, , 10 ， h 110 设 Xi X Xi 1

5、 ，贝U: 误差估计: |f(x) fh(x)I 2p max(x ih)(x (i 1)h). 第三章 最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形： 1. 连续意义下 在空间L2a, b中讨论 2. 离散意义下 在 n 维欧氏空间Rn中讨论，只要求提供f的样本值 1. 最佳逼近多项式的法方程组 设 L2a,b的 n 1 维子空间 Pn =span1,x, x2 ,xn, 其中1,x,x2 ,xn是L2a,b的线性无关多项式系 n 对f L2a,b， 设其最佳逼近多项式 可表示为： aixi i 0 由(f *,)0, Pn n * - 即 (xxjaj (f ,xi), i 0(1

6、)n (*2) j 0 其中 称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组) . 由xin0的线性无关性，可证明G正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 11、求f (x) cos x ， x 0,1的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 P1* (x) a0 a1x ， P2*(x) b0 b2x2 分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。 内积 (f,g) f(x)g(x)dx 计算如下内积： W)1 , (1, x) 12 , (1,x2) 13 (x, x) 13 , (x, x2) J4 , (x2, x2) 15(1, f ) 0 (X, f) 2 2 (x2, f

7、) 建立法方程组: 1 为什么要进行数值积分 答：梯形复化求积公式和 2:方法好坏的判断：代数精度 误差分析 1代数精度的概念 对 m 1 次多项式不精确，则称(*)具有m次代数精度。 等价定义 若求积公式(*)对1, x, x2, ,xm是精确的，但对xm 1不精确，则(*)具有m次 代数精度。 3:误差 1 等距剖分下的数值求积公式： 公式特点：节点预先给定，均匀分布，系数wi, i 0(1)n待定 利用插值多项式pn (x)近似代替f (x)，即得插值型求积公式 Newton-Cotes 公式 2 给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式： Gauss 求积 公

8、式 公式特点：系数wi,i 0(1) n和节点xi,i 0(1)n均待定ao (1) 1 2 a0 1 a1 0 2 (13)a1 得: ao 12 2 ai 24 2 于是 * 12 P1 (x)二 24x b0 (12)b1 (2) 丄 5 2 3 4 4b1 解得: b0弋 ，b1 24 2 b2 0, 于是: P2(X) 12 24 x 2 2 第四章 ?常用哪些公式，方法？ simps on 复化求积公式. 定义若求积公式 f (x)dx a ， n Wjf(Xj) (* )对所有次数 i 0 m 的多项式是精确的，但 0 2 2 2 2 3 分段插值多项式n(X)近似代替f(X)(

9、分段求积)复化求积公式 复化求积公式 通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值 分而治之： 分段+低次求积公式 - 称为复化求积法 两类低次(n 4)求积公式： 1. Newton Cotes 型：矩形、梯形、Simpson Cotes 公式 分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式 2. Gauss 型： 一点、两点、三点 Gau 称为复化一点、两点、三点 复化梯形公式(Tn) Tn h f (X0) f(xj f(Xj h n 1 hf (a) 2 f(Xk) f(b), 2 k 1 生公式：(每个ek 上用辛甫生公式求积) Sn h f(x) 4f(X) f (X1 ) f (

10、xn 1) 4 f(xn 1 2 h n n 1 Gauss公式 fg) f(Xn 1) f (Xn) (X1) 4S) f(X2) f (Xn) h f (a) 4 f (xk 1) 2 f (Xk) f (b) 6 k 1 2 k 1 其中 h b一丄，Xk 1/2为ek的中点 n 复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。 常采用其等价形式： 复化柯特斯公式 b a 其中，h ,xk 1为収“必订的中点， n 2 Xk 4 ， Xk -4为xk 1, xk 的四等分的分点 自适应复化求积法 计算时，要预先给定n或步长 h，在实际中难以把握 因为，h 取得太大则精度难以保证，h 太小则增加计算

11、工作量 自适应复化梯形法的具有计算过程如下： 复化辛甫 步 1 n 1, h b a, T1 -f(a) f (b) 2 步 2 步 3 判断|T2 T1 | ?若是，则转步 5; 步 4 n 2n,h h/2, T1 T2，转步 2； 步 5 输出T2 . 第五章 1:常用方法： (1) .直接解法： Gauss 逐步(顺序)消去法、 Gauss 主元素法、矩阵分解法等； (2) .迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解 经典迭代法 Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛(SOR 迭代法等； .Krolov 子空间的迭代法 根据A的对称性，又分为： A对

12、称正定 共轭梯度法 A非对称 - BICG 、GMRes 最小残量法) 解一类特定背景问题的迭代法 多重网格法 2:几类迭代法优缺点比较： 3:迭代方法 目标： 求解Ax b 其中，A非奇异。 基本思想： 把线性方程组Ax b的解 x，化为一个迭代序列极限解 关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。 构造迭代格式基本步骤： 1. 将A分裂：A: B C，其中，B非奇异 2. 构造迭代格式 其中G B 1 C，称之为迭代矩阵，g B 1b 其中，b Ax(k)为x(k)的残余向量 此时，G I B 1A, g B 1b 常用的迭代方法(1 A D L U 其中 0 0 0 a12 a 21 0

13、 L U 0 a n1 an,n 1 0 0 Jacobi 迭代方法 若aH 0，迭代格式 x(k 1 Gj x(k) g 其中 Jacobi 迭代矩阵： GJ D 1(L U) 式可写为分量形式 1 n Xi(k1)丄bi (k) i ajx) ,k 0. (*1) 将A (aj)分裂为 aii j 1 j i a 1n a n 1, n 0 方法(*1 )或称为 Jacobi 迭代方法. Gauss Seidle 迭代方法 若aH 0，迭代格式 x(k 1) GG x(k) g 其中, Gauss-Seidel 迭代矩阵：GG (D L) 1U 其分量形式 x(k 1) 1 bi a i

14、1 (k 1) ajXj j 1 (k) aijXj , i 1,2, 1 (*2) 即, 在计算新分量Xi(k1)时，利用新值 x(k1)，j 1,2, ,i 1 迭代法(*2 )或称为 Gauss-Seidel 迭代方法 超松弛方法(SOR)方法 定义 SOF 方法的迭代格式如下： r (k 1) zi 丄 g aii 1 (k aij x j 1) Xi (k 1) _(k 1) zi (k) )Xi i 1,2, ,n (*3) 称为松弛因子， 1 即为G S方法. 其矩阵形式 其中， SOR 法的迭代矩阵：G (D L) 1(1 )D U g (D L) 1b . 第七章 1:解非线

15、性方程与方程组的方法： 1. 准确方法 女口：用求根公式对n 4次的代数多项式求根。 但：绝大多数的方程并无准确方法可用。如： n 5 次的代数多项式并无求根公 式。 2. 数值方法(实际中大多采用) 基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。 (1) .区间套法二分法。 (2) .迭代法： .简单迭代法； .Newton 迭代法； .割线法； 加速算法。 2:收敛条件： 二分法无条件 简单迭代法条件： 定理 1 如果 (x)满足以下条件： 1) x a,b, (x) a,b; 2) 常数 L: 0 L 1,使得对任意两点 x2 a,b,都有 (xj (X2) LX1 X2 , 则：方程

16、(*)在a,b上的解 存在唯一,且对任给的初值X。，由迭代过程(* *)所产 生的序列xk收敛到. 例题： 2.为求方程x3 x2 1 0在X。1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建 立相应的迭代公式： (1) X 1 1/X2，迭代公式 Xn 1 1 1/x2 (2) X3 1 X2，迭代公式 Xn 1 (1 X；)1/3， (3) X2 1/(x 1)，迭代公式 Xn1 1 (Xn 1)1， 试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？ 解：取X。 1.5的邻域1.3,1.6来考察 (1) (x) 1 1/x2 , (x) 2/x3 2/1.33 0.901 1，故

17、迭代公式（1）收敛 (x) (1 x2)3, (x) 2x/3(1 x2)2/3 2 1.6/3(1 1.32)2/3 0.5515, 故迭代公式(2)也收敛。 (x) 1/(x 1)1/2 , 故迭代公式(3)发散. 第八章 2 阶常微分方程边值问题的差分方法 由于（X。）越小，越快地收敛于根 ，故（2）式收敛最快。口 解一阶常微分方程的常用方法：Euler 方法 Run ge-Kutta 方法 1. 三类边值问题 第一类边值问题: y (x) f (x, y(x), y (x), (3.1 ) y(a) y(b) (3.2) 第二类边值问题: y (x) f (x, y(x), y (x)

18、, (3.3) y (a) y(b) (3.4) 第三类边值问题: y (x) f (x, y(x), y (x), (3.5 ) y(a) oy(a) y(b) 0y(b) (3.6) 其中，0, 0 , 2. 差分格式的建立 针对方程(3.1 )而言. Step 1 取a,b的离散节点： a x x! XN b，第m步步长hm xm xm 1, 一般可取等 步长：hm h, m 1,2, N. y(Xm) g) 2y(Xm)畑1), m 1,2, N， h ， / 、 y(Xm 1) y(xm 1) M y (xm) ,m 1,2, N . 2h 理由：由 Taylor 展开，有 两式相加得 2 y(Xm) y(XmJ 2y(Xm)1)y4)( m), m 1,2, N 1， h 12 其中， Xm 1 m Xm . 两式相减得 2 “ 、y(Xm 1) y(xm 1) h “、 “， y(xm) 2 y ( m), m 1,2, N 1， 其中， Xm 1 m Xm . 2 Step 3 略去O(h )项，并记ym y(xm),则由方程(3.1)有： . (3.7) 所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式：