六二次型ppt课件

1、二次型二次型一一. 化二次型为规范形化二次型为规范形化二次型为规范形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法. 442),( 132212221321用的正交变换矩阵化为标准形，并求出所用正交变换法将二次型例xxxxxxxxxf,020212022 A二次型的矩阵为解；的特征值为得，由2, 4, 1 )2)(4)(1(20212022| 321AEA们单位化，得两两正交，将它互异，故，因为其对应的特征向量为 , , )2 , 2 , 1 (,) 1 , 2 , 2(,)2 , 1 , 2( 321321321TTT.31,31,31332211,21222112231 Q阵为于是所求正交

2、变换的矩.24 232221yyyQyx，则二次型化为标准形令注：将二次型 f 用正交变换化为规范形的普通步骤为： 写出二次型 f 的矩阵 A；(2) 求出 A 的全部相异特征值 1, 2, m，对每一个 ri 重特征值i，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ + rm =n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，那么 Q 为正交阵且 Q1AQ=QTAQ= 为对角阵；作正交变换 x=Qy，即可将二次型化为只含平方项的规范形： f=xTAx=yT (QTAQ)y=yT y. 22 222),( 2232221

3、323121232221321QkyyyQyxxxxxxkxxxxxxxf及正交阵，求：化为标准形经正交变换设二次型例,1111111 kkA二次型的矩阵为解. 1 012 4| 2 , 1, 2 212 2kkkAAA，解得，由此得，故的特征值为正交相似，即与由题设.111111111A,21,31,61 )0 , 1 , 1 (,) 1 , 1, 1 (,)2 , 1 , 1( 332211321，并将它们单位化，得为的对应的特征向量分别求得TTTA.03162213161213161 Q所求正交阵二二. 正定二次型及正定矩阵的断定正定二次型及正定矩阵的断定主要有三种方法(1) 利用特征值

4、断定；(2)利用充要条件断定；(3)利用计算顺序主子式断定.1. 利用特征值断定注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来断定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.为负定阵？取何值时，问为实常数，设例 .1000031101310113 32BkkkEABA. 4 , 4 , 1 , 1 的特征值为为实对称阵且显然解AA.16 ,16 ,1 ,1 2kkkkBBkEAB的特征值为也为实对称阵且，故由于.16 kB负定的充要条件为因此2 利用充要条件断定. , 3阶正定阵也为阶正定阵，证明：均为设例nBAnBA. 0)( 0, 00 , 也为正定阵从而，故都有，元向量的阶正定阵，所以对任意都为

5、因为证BABxxAxxxBAxBxxAxxxnnBATTTTT3. 利用顺序主子式断定是正定的？取何值时，二次型例 4225),( 4323121232221321xxxxxtxxxxxxxft，二次型的矩阵为解5212111 ttA. 054 . 054 04511 01, 0123221时，二次型是正定的故当得，得tttttt注：这类题一定用顺序主子式做.三三. 证明题证明题. , 5BAABABnBA为为正定阵的充要条件阶正定阵，证明均为设例. )( .)( BAABBAABABABABABABTTTT，故又为对称阵，从而为正定阵，故因为”“证. )( 为对称阵，即知：由”“ABABBAABABBAABTTT. 1相似与，即，进一步，从而，使逆阵为正定阵，所以存在可又BPPABBPPABPPBPPABPPAPATTTT. 0)()(0 0 1是正定的值也全大于零，所以的特征而的特征值全大于零；从为正定阵，因此，也就是，必有，为对称阵且对任意的为正定阵，故有由于ABABBPPBPPPxBPxBPxPxPxxBPPBTTTTTnT. . 6baBAbnBanA的特征值都大于证明：大于阶实对称阵，特征值都也是；征值都大于阶实对称阵，所有的特为设例也是正定阵，均为正